1、第八章 常微分方程考試內(nèi)容常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 貝努利（Ber-noulli）方程 全微分方程 可用簡單變量代換求解的微分方程 可降階的高微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二姐常系數(shù)齊次線性微分方程 高于二階的某些齊次線性微分方程 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 Euler方程 微分方程的簡單應(yīng)用考試要求1. 了解微分方程及其階，解，通解，初始條件及特解等概念。2. 掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程。3. 會解Ber-noulli方程和全微分方程（數(shù)二，三不要求），會用簡單的變量代換解某些微

2、分方程。4. 會用降階法解下列微分方程：5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會街某限額高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7. 會解自由項多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非其次線性微分方程。8. 會解Euler方程（數(shù)二，三不要求）。9. 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。重點(diǎn)內(nèi)容和長常見題型1. 求五類典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當(dāng)然，有些方程不直接而屬于我們學(xué)過的類型，此時常用的方法是將x與y對調(diào)或作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原方程化為我們學(xué)過的類型;2. 求解可降階方程；

3、3. 求線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解；4. 根據(jù)實(shí)際問題或給定的條件建立微分方程并求解；通常是引用物理，力學(xué)的定律，幾何知識等，運(yùn)用數(shù)學(xué)的工具建立微分方程與相應(yīng)的定解條件（重要）。5. 綜合題，常見的是以下內(nèi)容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關(guān)，全微分的充要條件，偏導(dǎo)數(shù)等。8,1 一階微分方程的類型與解法一基本內(nèi)容一階微分方程的一般形式為其中為（x，y）的已知函數(shù)，可以缺x或缺y，或者兩者都缺。為x，y，的已知函數(shù)，x或y或（x，y）可缺，但必須含有。 微分方程的求解：認(rèn)清類型，按類型求解、一階微分方程最基本的類型,特征及其解法總結(jié)如下:類型通解的求法（1）可分

4、離變量的方程分離變量法：兩邊同時除以g（y）（0），把變量分離并求積分（2）一般線性方程相應(yīng)的齊次方程為1.常數(shù)變易法先用分離變量法求相應(yīng)齊次方程的通解將C改為C（x），令代入原非齊次方程求C（x）。2.積分因子法：方程兩邊同時乘積分因子有積分得3.公式法：非其次方程的通解為（3）全微分方程求原函數(shù)法：若求得u（x，y）使得，則通解為 u（x，y）=C。求原函數(shù)的方法通常有三種：1， 特殊積分路徑法：2， 湊微分法：P(x，y)dx+Q（x，y）dy=du（x，y03.不定積分法：由由此求出C（y）。評注：在微分方程中不定積分等只表示一個固定的原函數(shù)，積分常熟總是另外標(biāo)出，這是與不定積分不同的

5、習(xí)慣。在分離變量方程中，使g（y）=0的點(diǎn)為原方程的特解，在求解過程中不可丟棄。對一階線性微分方程，積分因子法避免了常數(shù)變易法的麻煩，又避免記錯一階線性方程解解的公式，希望考生掌握。 通過簡單變量代換化為三種基本類型的方程主要有（列表如下）類型通解的求法（1）齊次方程令y/x=u則于是原方程可化為，這是變量可分離方程（2）令u=ax+by+c，則原方程可化為這是變量可分離方程（3）Bernoulli方程令原方程化為線性方程，這屬于一階線性方程。評注：關(guān)于齊次方程的判定采用如下方法較為簡便：用tx和ty（t0）代替方程x和y，經(jīng)過化簡方程的形式不變，則方程應(yīng)判為齊次微分方程。二解題方法，技巧與例

6、題分析例8,1,1（1994，）填空題：微分方程的通解為（ ）。解：方程為可分離變量方程，變形為，兩端積分得通解為注：一般來說，當(dāng)y=0時，不能用y來除，所以y-=0是方程的特解，這是在方程求解中應(yīng)予注意，不過在這里只要允許C=0，特解y=0依然包含在通解之中。例8,1,2（1998,1，II）填空題：已知函數(shù)y=f（x）在任意點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)0時，的高階無窮小，y（0）=，則y（1）等于（ ）。解：由微分的定義可知：，這是一個可分離變量方程，注意到y(tǒng)（0）=，解得y（x）=，因此y（1）=。例8.1.3（2002，II）已知函數(shù)f（x）在（0,）內(nèi)可導(dǎo)，f（x）0. .且滿足 。求f（x）

7、。解：因為所以解之得f（x）=C。再由，可得C=1，因此f（x）=。例8,1,2（2004，II）函數(shù)f（x）在上可導(dǎo)，f（0）=1，且滿足等式。（1） 求導(dǎo)數(shù).（2） 證明：當(dāng)x 時，成立不等式：。解：（1）由題設(shè)知。上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)。得。于是，解上述方程可得：。再由f（0）=1和題中等式可得，因此。（3） 由，可得。注意到。當(dāng)。故知。例8,1,5（1992,1，II）填空題：微分方程的通解為y=（ ）、解：方程為一階線性方程，用乘以方程兩端，得兩端積分得.例8,1,6（1991，）求微分方程的特解。解:原方程可改寫為，因此對方程兩端從1到x積分得，故。 注：一般的，對求特解問題，先求通解

8、，然后利用定律條件確定通解中的積分常數(shù)，但是，在實(shí)際計算中，如果直接作定積分，可避免確定定積分常數(shù)，直接得到特解。例8,1,7（1999，）設(shè)微分方程試求在（）內(nèi)連續(xù)函數(shù)y=y（x），使之在內(nèi)滿足方程，且滿足條件y（0）=0.分析：所給方程為一階線性非齊次方程。非齊次項為分段函數(shù)，故應(yīng)分段求解。因y（0）=0.應(yīng)先在上求解，再注意到y(tǒng)（x）在（）上連續(xù)，即，即可得到在上的解。解：當(dāng)時，有因此由y（0）=0可得，因此y（x）在（）上連續(xù)，所以=。又當(dāng)x1時，有,故在1,x上積分可得，故得在（）的連續(xù)函數(shù)例：8,1,8（1996，）設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)， （1） 求初值問題的解y（x），其中a是正

9、常數(shù)；（2） 若（k為常數(shù)），證明當(dāng)。解：（1）在方程兩端同乘，得，故得（2）。例8,1,9（1993,1，II）求微分方程滿足初始條件y（1）=1的特解。分析：首先注意到所給的方程為齊次方程，故可按齊次方程的解法求解。又若將方程改寫為，可見方程也是Bernoulli方程，因此也可按Bernoulli方程的解法求解。解：因方程為齊次方程，令y=xu，方程化為分離變量后，積分得再利用y（1）=1得C=-1，故。解因方程為Bernoulli方程，令，解得。再利用y（1）=1得C=，故得解：原方程可改寫為。令u=xy，則，解得。因此。利用，故得。評注：本題的關(guān)鍵是判別方程的類型，解法是針對方程的具體

10、特點(diǎn)給出的特殊解法。例8,1,10（1997，II）求微分方程的通解。分析：可以判斷此方程既是齊次方程，又是全微分方程，故他有若下幾種基本解法。解：因方程為齊次方程，令y=xu，方程化為。解得，即解：因方程為全微分方程，可采用特殊路徑積分法。?。?,0）為起點(diǎn)，（x，y）為終點(diǎn)，可得其通解為。解：用湊微分方法求解如下：，所以，方程的通解為。解：用不點(diǎn)積分求解如下：設(shè)其通解為u(x,y)=C,則由第一式關(guān)于x積分得，代入第二個式子，得，由此可得因此原方程的通解為。評注：對于全微分方程，一般由上述三種解法，通常湊微分法比較簡便。例8，1,11（1994,1，II）設(shè)f（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（0

11、）=0，且。為一全微分方程，求f（x）及此微分方程的通解。解：由全微分方程的充要條件知。由f（0）=0.，可得。于是原方程為，其通解為。例8,1,12（1998，II）設(shè)函數(shù)f（x）在連續(xù)，若由曲線y=f（x），直線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為。試求y=f（x）所滿足的微分方程，并求該方程滿足條件的解。解：依題意得，即。兩邊對t求導(dǎo)得。此方程是Bernoulli方程，也是齊次微分方程。這里采用特殊解法：將方程化為。注意到f（2）=，兩端關(guān)于x從2到x積分可得。例8,1,13（2009，）設(shè)f（x）是可數(shù)函數(shù)，且f（x）0,已知曲線y=f（x）與直線y=0，x=1及x=

12、t（t1）所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體的體積是曲邊梯行面積值的倍，求曲線方程。解：由題設(shè)可知，兩邊關(guān)于t求導(dǎo)兩次可得。記y=f（t），則（2y-t），即，于是兩邊關(guān)于y在上積分可得。例8,1,12（2001，II）一個半球體的雪堆，其體積融化的速度與半球面面積S成正比，比例系數(shù)為K0.假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少時間？解：設(shè)雪堆在時刻t的體積V=，側(cè)面積，由題設(shè)知，于是積分得r=-Kt+C,又即 ，這樣K=,從而r=C-t 。因雪堆全部融化時r=0，故得t=6，即雪堆全部融化需六小時。 例8.1.

13、15（1998，I,II）從船上向海中沉放探測儀器，安探測要求，需確定儀器的下沉速度y（從海平面算起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器在重力的作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力與浮力的作用，設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k（k）0）。試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y（v）。 解：取沉放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，oy軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得 ，將 代入消去t，得v與y之間的微分方程。 分離變量，積分得。由初始條件=0定出常數(shù)C，可得所求函數(shù)關(guān)系式為 。 例;8.1.16(2000,II)某湖泊的水量

14、為V，每年排入湖泊內(nèi)含污物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，已知1999年底湖中A的含水量為5，超過國家固定指標(biāo)。為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過，問至少需經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量可降至以內(nèi)？（設(shè)湖水中A的濃度時均勻的） 解：設(shè)從2000年初（令此時t=0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為m，濃度為，則在時間段【t，t+dt】內(nèi)，排入湖泊中A的量為，流出湖泊的水中A的量為，因而在此時間段內(nèi)湖泊中污染物A的改變量為。注意到，可得，令，得t=6ln3，即至少經(jīng)過6ln3 年，湖泊中污染物A的含量降至以內(nèi)。 8.2 可降階的高階微分方程及其解法一基本

15、內(nèi)容可降階的微分方程主要有三種，其特征和解法總結(jié)如下：方程類型求解方法（1）型連續(xù)積分n次，既得通解（2）型（不顯含y）變量帶換法，令，則得為一階微分方程（3）型（不顯含x）變量帶換法，令，則得為一階微分方程二解題方法,技巧與例題分析 例 8.2.1(2007,II) 求微分方程滿足初始條件y（1）=（1）=1的特解。 解：令，則，于是，注意到x=1時p=1，所以，因此 例8.2.2（1991，I，II）在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)P（x，y）處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長度的倒數(shù)（Q是法線與x軸的交點(diǎn)），且曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸平行。 解：曲線y=y（x）在P（

16、x，y）處的法線方程是 （）。它與x軸的交點(diǎn)是（x +y，0），從而P點(diǎn)到x軸的法線段PQ的長度是 ，=0也滿足上式。根據(jù)題意得微分方程，即，且當(dāng)x=1時，y=1，=0.令=p，則，代入方程，得， 或 。兩端積分并注意到y(tǒng)=1時，p=0，即得，于是有 或 ，積分上式，并注意到x=1時，y=1得，因此，所求的曲線方程為，即。注：將代回原方程可得，從而 再由y（1）=1，可得 。 例 8.2.3（2002，I,II）填空題：微分方程滿足條件的特解是（ ）解：原方程可化為，兩端關(guān)于x從0到x積分得 即 兩端再對x從0到x積分得 評注：此題屬于類型（3）的可降介微分方程，但按一般解法比較復(fù)雜，根據(jù)方程

17、的特殊結(jié)構(gòu)給出的上述解法比較簡單。例8.2.4（1996，I,II）設(shè)對任意 x.0 ,曲線 y=f（x）上點(diǎn)（x，f（x）處的切線在y軸上的截距等于求f（x）的一般表達(dá)式。解：曲線y=f（x）上點(diǎn)（x，f（x）處的切線方程為. 令X=0，得截距。由題意知 ，即 。上式對x求導(dǎo)，化簡得 ，積分得 ，因此 . 例：8.2.5（1999，I,II）設(shè)函數(shù)y（x）（x0）二階可導(dǎo)且， y（0）=1，過曲線y=y（x）上任意一點(diǎn)P（x，y）作該曲線的切線即x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積即為，區(qū)間【0.x】上以y=y（x）為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)，求此曲線的y=y（x）的方程。解

18、： 曲線y=y（x）上點(diǎn)（x，y）處的切線方程為 。它與x軸的交點(diǎn)為，由于， y（0）=1，從而y（x）0,于是 又,故 兩邊對x求導(dǎo)并簡化得 ,則上述方程可化為 解之得 于是 。注意到y(tǒng)（0）=1, ,可得。例：8.2.6（1993.I,II）設(shè)物體A從（0,1）出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動，物體B從點(diǎn)（-1,0）與A同時出發(fā)，其速度大小為2v方向始終指向A，勢建立物體B的運(yùn)動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件。解： 軌跡如圖所示。設(shè)在時刻t，B位于點(diǎn)（x，y）處，則，兩邊對x求導(dǎo)得 。由于， 所以，要求的微分方程為 ，其初始條件為。 注：由方程和初始條件可以得到物體B的運(yùn)動軌跡

19、方程，作為習(xí)題。 8.3 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一基本內(nèi)容 這里只限于討論二階線性方程，其結(jié)論可推廣到高階的線性方程，二階線性方程的一般形式為 （1）當(dāng)f（x）=0時，有 （2）稱之為與（1）對應(yīng)的二階線性齊次方程，同時稱（1）為二階線性非齊次方程。 1.如果是齊次方程（2）的特解，則其線性組合 （，是任意常數(shù)） 仍是方程（2）的解，特別地，當(dāng)和線性無關(guān)時， （，是任意常數(shù)）是方程（2）的通解。2.如果 ，是非齊次方程（1）的兩個解，則-是齊次方程（2）的解。3.設(shè)是非齊次方程（1）的一個特解，Y是齊次方程（2）的通解，則y=Y+是非齊次方程（1）的通解4.設(shè)方程（1）中，而y分別是方程 與的特

20、解，則就是方程的特解。 注：結(jié)論2,3和4對一階線性微分方程也成立。 對于二階常系數(shù)齊次線性方程 （p，q為常數(shù)） （3）稱代數(shù)方程 為方程（3）的特征方程，特征方程的解稱為方程（3）的特征根。由特征根可得方程（3）通解的結(jié)構(gòu)如下表：特征方程特征方程的根的通解 不同實(shí)根相同實(shí)根=r共軛復(fù)根= 注：對高階線性常系數(shù)齊次微分方程有類似的通解結(jié)構(gòu)。二.解題方法，技巧與例題分析 例 8.3.1（1995，III）設(shè)是微分方程的一個解，求此微分方程滿足條件的特解。 解：以代入原方程，得，解出，將p（x）代入原方程得。由于是方程的一個特解，所以只需解其對齊次方程的解。將齊次方程分離變量，并積分得 ，即齊次

21、方程的通解為，所以，原方程的通解為 把代入，得，故所求特解為 。 例 8,3,2（1989，I,II）選擇題：設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊次線性方程的通解是【】 （A） (B) (C ) (D) 分析：根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)定理知，對本題中的二階線性方程，非齊次方程的通解為,其中和是對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，是非齊次方程的特解，又由于非齊次方程兩個解之差事齊次方程的一個解，由此很快求出和。 解：由題設(shè)-和-是對應(yīng)齊次方程的兩個解，且-與-線性無關(guān)。事實(shí)上，若令 ，則 由線性無關(guān)，則必有=0，因此-與-線性無關(guān)。從而 y= 是原方程的通解。故應(yīng)選（D）

22、。例 8.3.3 （1997，II）已知，是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程。 解：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知-=，為相應(yīng)齊次微分方程的特解。因此，相應(yīng)齊次方程有兩個線性無關(guān)解與，是線性非齊次方程的一個特解，故是所求非齊次方程的童鞋，從而有 ，消去，得所求方程為。 解：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知與是相應(yīng)齊次方程的兩個無關(guān)解，是線性非齊次方程的一個特解，故可設(shè)此方程為。將代入，得。因此所求方程為。例 8.3.4 （2000，II）選擇題：具有特解的三階常系數(shù)線性微分方程是【】 （A） （B） (C ) ( D) 解：甴題設(shè)知r=-1,-1,1 為所求齊次線性微分方程對應(yīng)特征方程

23、的三個根，而，故應(yīng)選（B）. 評注：此題的另一種解法是，由條件知所求方程的通解為，然后通過消去 ， 得所求方程。 例： 8.3.5（2001，I）填空題：設(shè)（，為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為（） 解：由題設(shè)可知方程特征根為，則其特征方程為，故所求方程為。 評注：此題可先求出，然后消去和得出方程。 8.4高階微分方程的解法 一基本內(nèi)容 1.二階常系數(shù)線性微分方程的解法 二階常系數(shù)微分方程 ， （p，q為常數(shù)）當(dāng)f（x）=0時，其解可由特征方程的根和解的結(jié)構(gòu)定理直接得到。當(dāng)f（x）0時，其解法為：，其中為對應(yīng)齊次方程通解，為非齊次方程的一個特解。對某些特殊的非齊次項f

24、（x），特解可用待定系數(shù)法求出，它的形式如下：f（x）的形式的形式 0 不是特征方程的根 其中k= 1 不是特征方程的單根 2 不是特征方程的重根 其中m=maxl，n 0， 不是特征根k= 1， 是特征根 其中表示x的m次多項式。 評注：由韋達(dá)公式可知特征方程的根和滿足+=-q ， =q。因此方程 可以改寫為，即 。若令u（x）=，則二階常系數(shù)非齊次方程可化為方程組，進(jìn)行求解。2.Euler方程的解法 形如 ，（x）0）的方程稱為Euler方程，它的解法是做變換或，即將自變量換位t，則有 將這些關(guān)系式代入Euler方程，就換為n階常系數(shù)線性方程，從而可利用n階常系數(shù)線性方程的結(jié)構(gòu)得到它的解。

25、二解題方法，技巧與例題分析例 8.4.1（1993，III）設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程 的一個特解為。試確定常數(shù)，并求該方程的通解。解：由題設(shè)知原方程的特征根為1和2，所以特征方程為（r-1）（r-2）=0，即，故知， 為確定，只需將特解代入方程，得，由此可知，從而原方程的通解為. 評注：本題也可將特解代入原方程，比較方程兩端同類項的系數(shù)求出 例 8.4.2（1987，I）求微分方程的通解。解：該方程對應(yīng)的七次方程的特征方程為，其根為，則齊次方程的通解為 時； 時。由于r=0為特征方程的單根，則可設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程得 故原方程的特解為， 時； ， a=0時注：此題可令u=變?yōu)槎A線

26、性常系數(shù)方程進(jìn)行求解。 例 8.4.3（1998，I）設(shè)函數(shù)y=f（x）滿足微分方程，且其圖形在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線在該點(diǎn)的切線重合，求函數(shù)f（x）。 解：本題所給方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 =0，其根為，則齊次方程的通解為 ，由于r=1為特征方程的單根，則可設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程 A=-2 ， 故原方程的通解為 。 由題設(shè)曲線 與在點(diǎn)（0,1）處的切線重合可知，y（0）=1， ，則有 1=+ ， -1= +2-2，解之得=1，故所求的解為 。解：令，則得 解得 ， 因此 ，解得 以下過程同解法。例：8.4.4（1991，III）求微分方程 的通解。 解：由于方程的特征方程

27、，特征根為，故知原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程的特解為=Ax+B，代入方程得A=1，B=0，所以=x。設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程得E=0，D=,所以因此原方程的通解為例 8.4.5（1998 ，II）利用代換將方程 化簡，并求出原方程的通解。解：由 u=ycosx 兩端對x求導(dǎo)，得 ， 。 于是 原方程化為 ，其 通解為 。從而原方程的通解 為 。例 8.4.6 （2003，I,II）設(shè)函數(shù)y=y（x）在（）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，x=x（y）是y=y（x）的反函數(shù)。 （1）試講x=x（y）所滿足的微分方程變換為y=y（x）滿足的微分方程； （2）將變換后的微分方程滿足初始條件 y

28、（0）=0，的解 解：（1）由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式可知 ，代入原方程得 （*）設(shè)方程(*)的特解為y*=A+B，代入方程(*)求得A=0，B=-，故y*=-，從而的通解是 y(x)=C1ex+C2e-x-由y(0)=0，,得C1=1，C2=-1，故所求初值問題的解為 y(x)=ex-e-x- 補(bǔ) 充 習(xí) 題1填空題：（2005，III，IV）微分方程滿足初始條件y=2的特解為（2005，I，II）微分方程滿足初始條件的特解為（1996，III）微分方程的通解為（1995，III）微分方程的通解為（1996，I，II）微分方程ex通解為（1999，I，II）e2x的通解為（2004，I）歐拉方程的通解

29、為（2007，I，II）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為（2007，III，IV）微分方程滿足的特解為（2000，I）微分方程的通解為（2009，I）若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為y=（2011，I，II）微分方程滿足條件的解為y=（2012，II）微分方程滿足條件的解為2選擇題：（在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(1)（2013,II）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為（A） （B） （C） （D） 【】(2)（2011，II）微分方程的特解形式為（A） （B）（C）x （D） 【】3（1992，III

30、）求微分方程的通解4（1991，IV）求微分方程滿足條件的特解5（1993，III）求微分方程滿足初始條件的特解6.（1999，II）求初值問題 的解7.（1996，IV）求微分方程的通解8.（1990，II）求微分方程滿足條件的特解9.（2003，III）設(shè)，其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件：（1）求F（x）所滿足的一階微分方程；（2）求出F（x）的表達(dá)式。10.（1998，II）設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)（x，y）的曲率為，又此曲線上點(diǎn)（0,1）處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程，并求函數(shù)y=y（x）的極值11.12. （1）（1996，III）求微分方程的通解 （2）（2000，

31、III）求微分方程滿足條件，的特解13. （1）（1990，I）求微分方程的通解 （2）（1996，I，II）求微分方程的通解 （3）（1996，III）求微分方程的通解 （4）（1994，III）求微分方程的通解，其中常數(shù)a014. （1994，IV）設(shè)函數(shù)滿足條件求廣義積分15. （2005，II）用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解16. （1995，I，II）設(shè)曲線L位于第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線與y軸相交，交點(diǎn)記為A.已知，且過點(diǎn)，求L的方程17. （2003，IV）設(shè)y=f（x）是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A（0,1），B（1,0）的一段連續(xù)曲線，M（x，y）為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形OCMA