1、96棱柱、棱錐和球一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解棱柱、棱錐的有關(guān)概念，掌握棱柱、棱錐的性質(zhì)和體積計(jì)算；2.會畫棱柱、棱錐的直觀圖，能運(yùn)用前面所學(xué)知識分析論證多面體內(nèi)的線面關(guān)系，并能進(jìn)行有關(guān)角和距離的計(jì)算.3了解球、球面的概念, 掌握球的性質(zhì)及球的表面積、體積公式, 理解球面上兩點(diǎn)間距離的概念, 了解與球內(nèi)接、外切幾何問題的解法二建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)一、棱柱(1) 棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.(2) 棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱、側(cè)面、橫截面、縱截面的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

2、過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.(3)棱柱的分類：按底面多邊形的邊數(shù)分類：三棱柱，四棱柱，n棱柱.按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系分類:(4)特殊的四棱柱: 四棱柱 平行六面體 直平行六面體長方體 正四棱柱 正方體.請?jiān)凇啊鄙戏教砩舷鄳?yīng)的條件.(5)長方體對角線定理:長方體的一條對角線的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和.(6)棱柱的體積公式:,是棱柱的底面積,是棱柱的高.二、棱錐1.定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐.如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.2.正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱、側(cè)面的性質(zhì)和一些Rt

3、(1)各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形.(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個直角三角形.3.一般棱錐的性質(zhì)定理：如果棱錐被平行于棱錐底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和已知棱錐高的平方比.4.棱錐的體積: V=Sh，其S是棱錐的底面積，h是高.三、球1.定義：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體.球面是到定點(diǎn)的距離小于或等于定長的點(diǎn)的集合.過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間劣弧的長叫做兩點(diǎn)的球面距離.地球上的徑度是個二面角，緯度是個線面角。2.性質(zhì)：平面

4、截球所得的截面是圓.（1）球心和球面圓心的連線垂直于截面；（2）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系：3.S球=4R2；V球=R3.三、雙基題目練練手1.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在 ( )A.直線AB上; B.直線BC上; C.直線AC上; D.ABC內(nèi)部 A1ABB1CC12如圖，正三棱錐PABC頂點(diǎn)P在底面上的射影在ABC內(nèi)部，M是側(cè)面PAB上的點(diǎn)，且M到點(diǎn)P的距離等于M到底面的距離,則點(diǎn)M的軌跡是( )A橢圓的一段 B.雙曲線的一段 C.一段拋物線 D.直線段MCBAP3. (2005全國卷II)將半徑都

5、為1的4個鉛球完全裝入形狀為正四面體的容品里，這個正四面體的高最小值為 （ ）A B C D4.三條弦PA、PB、PC兩兩垂直的，且，則過點(diǎn)P、A、B、C的球面O的半徑R= ；5.斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為S，這個側(cè)面與它所對的棱的距離為d，那么這個三棱柱的體積為_.6.在三棱錐SABC中，ASB=ASC=BSC=60，則側(cè)棱SA與側(cè)面SBC所成的角的大小是_. ACSB7.地球的半徑為R,北緯450緯線上有2點(diǎn)A、B間的球面距離為大圓周長的，則A、B兩地間緯線長為 答案提示：1-3. AAC； 4.5. dS; 6 arccos; 7. 1提示：BC1在上底面的射影垂直于AC，必為AB.法二

6、：AC平面ABC1，從而平面ABC1平面ABC4先確定點(diǎn)P、A、B、C所在的球面及其直徑.5. 補(bǔ)上一個相同的棱柱成為平行六面體；或割成三個相同的三棱錐.四、經(jīng)典例題做一做【例1】如圖，設(shè)三棱錐SABC的三個側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60，又BAC=60，且SABC. ABCDSO（1）求證：SABC為正三棱錐；（2）已知SA=a，求SABC的全面積.證明（1）：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可.作三棱錐SABC的高SO，O為垂足，連結(jié)AO并延長交BC于D.ABCDSOEF因?yàn)镾ABC，所以ADBC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，從而O為ABC的

7、外心，OD為BC的垂直平分線，所以AB=AC.又BAC=60，故ABC為正三角形，且O為其中心.所以SABC為正三棱錐.解（2）：在RtSAO中，由于SA=a，SAO=600，所以SO=a，AO=a.因O為重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot600=a，OD=AD=a.在RtSOD中，SD2=SO2OD2=（a）2（a）2=，則SD=a.于是，（SSABC）全=（a）2sin603aa=a2.思悟探討（1）求正棱錐的側(cè)面積或全面積還可以利用公式S正棱錐底=cosS正棱錐側(cè)（為側(cè)面與底面所成的二面角）.（2）注意到高SO=a，底面邊長BC=a是相等的，因此這類正三棱錐還有高與底面

8、邊長相等的性質(zhì)，反之亦真.（3）正三棱錐中，若側(cè)棱與底面邊長相等，則可稱為正四面體，因此正四面體是特殊的正三棱錐，但正三棱錐不一定是正四面體.【例2】 三棱錐ABCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球半徑.解法一：易知內(nèi)切球球心O到各面的距離相等.設(shè)E、F為CD、AB的中點(diǎn)，則O在EF上且O為EF的中點(diǎn).在ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.解法二：設(shè)球心O到各面的距離為R. 則4SR=VABCD，S=64=12，VABCD=2VCABE=6.412R=6.R=.評述：正多面體與球的切接問題常借助體積求解.【例3】（2006邯鄲一模）已知，三棱柱ABC-A1B1

9、C1中，側(cè)棱與底面成600的角，ABAC，BC1A1C1，AB=4，AC=3. (1).求證：截面ABC1底面ABC；(2).求三棱柱ABC-A1B1C1的體積的最小值；(3).求三棱柱ABC-A1B1C1體積最小時，截面A1BC1與底面ABC所成二面角的大小.B1A1C1CBA證(1)：在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC A1C1,BC1A1C1, BC1AC,又 ABAC, AC面ABC1, 面ABC1面ABC. 解（2）：作C1H面ABC于H, 則H在AB上，連CH，則HCC1=600 當(dāng)H與A重合時CH最短，棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短三棱柱ABC-A1B1C1 的

10、體積V最小.此時，ACC1=600, C1H=AC1=3V=解（3）設(shè)面ABC交面A1BC1于直線 m,則 m為二面角的棱.ACA1C1 , AC面A1BC1, ACm , ABm, 又AC1面ABC,由三垂線定理知C1Bm,ABC1為所求二面角的平面角.在RtABC1中， tanABC1=【例4】如圖，三個1212 cm的正方形，都被連結(jié)相鄰兩邊中點(diǎn)的直線分成A、B兩片如圖（1），把6片粘在一個正六邊形的外面如圖（2），然后折成多面體如圖（3），求此多面體的體積.EDC解法一： 補(bǔ)成一個正方體，如圖甲，V=V正方體=123=864 cm3.甲 乙解法二：補(bǔ)成一個三棱錐，如圖乙，V=V大三棱錐

11、3V小三棱錐=864 cm3. 解法三：如圖（3）7設(shè)C是所在棱的中點(diǎn)，截面CDE把幾何體截成兩部分，沿DE把上部分翻轉(zhuǎn)過來可拼成正方體的下一半.思考討論補(bǔ)形的方法可將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化成規(guī)則的幾何體，這是求多面體體積的常用方法.五提煉總結(jié)以為師1.棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)是研究解決問題的依據(jù)，要能正確利用這些知識進(jìn)行圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的分析和計(jì)算；2.三棱錐的等（體）積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常見方法之一； “割”“補(bǔ)”是解決立體幾何，尤其是體積問題的常用技巧.正棱錐的四個“特征”直角三角形，是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的橋梁.3.球的概念和性質(zhì)以及面積、體積是解決有關(guān)問題的重要依

12、據(jù)；它的軸截面是解決問題的重要“場所”，球半徑、截面圓半徑、圓心距都在這個圖形內(nèi)，它把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.4.要正確地區(qū)別球面上兩點(diǎn)間的直線距離與球面距離.搞清緯度、經(jīng)度、緯度差、經(jīng)度差等概念.同步練習(xí) 9.6棱柱、棱錐和球【選擇題】1.P是長方體AC1上底面A1C1內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)AP與三條棱AA1、AB、AD所成的角為、，則cos2+cos2+cos2的值是 （ ）A.1 B.2 C. D.不確定2.長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點(diǎn)都在一個球面上,這個球的表面積是 （ ）A.20B.25C.50 D.2003各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的

13、表面積是（ ）A. B. C. D.【填空題】4.過棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比（自上而下）為_.5.（2004年北京）地球儀上北緯30緯線的長度為12cm，該地球儀的半徑是_cm，表面積是_cm2.6.已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為 . 答案提示： 1-3ACC； 4. 135; 5. 4 192; 6.距離為12.【解答題】7. （2006山東）如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90，設(shè)（1）求證直線是異面直線與的公垂線；（

14、2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；（3）求二面角的大小.ABCA1VB1C1證明（）平面平面， 又平面平面，平面平面，平面， ，又，.為與的公垂線.解（）：過A作于D， 為正三角形，D為的中點(diǎn).BC平面 ，又，AD平面，線段AD的長即為點(diǎn)A到平面的距離.在正中，.點(diǎn)A到平面的距離為.解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)，則平面，且=.由（）知，設(shè)A到平面的距離為x，即, 解得.即A到平面的距離為.則 到平面的距離為.(III)過點(diǎn)作于，連，由三重線定理知是二面角的平面角.在中， .所求二面角大小為arctan.8.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長度分別為a、b、c，設(shè)O為S在底面A

15、BC上的射影.求證：（1）O為ABC的垂心；（2）O在ABC內(nèi)； ABCDSOEF（3）設(shè)SO=h，則 + +=.證明：（1）SASB，SASC，SA平面SBC，BC平面SBC.SABC.而AD是SA在平面ABC上的射影，ADBC.同理可證ABCF，ACBE，故O為ABC的垂心.（2）證明ABC為銳角三角形即可.不妨設(shè)abc，則底面三角形ABC中，AB=為最大，從而ACB為最大角.用余弦定理求得：cosACB=0，ACB為銳角，ABC為銳角三角形.故O在ABC內(nèi).（3）SBSC=BCSD，故SD=，= +，又SASD=ADSO，= += +=.9.如圖，三棱錐VABC中，VA底面ABC，ABC

16、=90.（1）求證：V、A、B、C四點(diǎn)在同一球面上；VCBA（2）過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形.證明：（1）取VC的中點(diǎn)M，VA底面ABC，ABC=90，BCVB.在RtVBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，MB=MC=MV.同理，在RtVAC中，MA=MV=MC.MV=MC=MA=MB.V、A、B、C四點(diǎn)在同一圓面上，M是球心.（2）取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q，連結(jié)NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐VABC的截面，易證PQMN是平行四邊形.又VABC，QPVA，NPBC，QPPN.故截面MNPQ是矩形.10（1994全國

17、）如圖，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)(1)證明AB1平面DBC1；(2)假設(shè)AB1BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù)(1)證明：A1B1C1ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形連結(jié)B1C交BC1于E，則B1E=EC連結(jié)DE在AB1C中，AD=DC，DEAB1又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1(2)解：作DFBC，垂足為F，則DF面B1BCC1，連結(jié)EF，則EF是ED在平面B1BCC1上的射影AB1BC1，由(1)知AB1DE，DEBC1，則BC1EF，DEF是二面角的平面角設(shè)AC=1，則DC=ABC是正三角形，在RtDCF中，DF=DCsinC=，CF=DCcosC=取BC中點(diǎn)GEB=EC，EGBC在RtBEF中，EF2=BFGF，又BF=BCFC=，GF=， EF2=，即EF=tgDEF=DEF=45故二面角為45【探索題】1.（2006江西），在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與、分別截于、.如果截面將四面體分為體積相等的兩部分,設(shè)