1、一 圓周角定理1圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半應(yīng)當(dāng)注意的是，圓周角與圓心角一定是對(duì)著同一條弧，它們才有上面定理中所說(shuō)的數(shù)量關(guān)系2圓心角定理(1)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)，它與圓的半徑無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)在大小不等的兩個(gè)圓中，相同度數(shù)的圓心角，它們所對(duì)的弧的度數(shù)相等；反過(guò)來(lái)，弧的度數(shù)相等，它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)也相等(2)圓心角(AOB)與它所對(duì)的弧()的度數(shù)相等，不能寫(xiě)成AOB，正確寫(xiě)法是AOB的度數(shù)的度數(shù)3圓周角定理的推論(1)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(1)若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結(jié)論不成立(2)

2、相等的弧與相同度數(shù)的弧含義是不同的只有弧的度數(shù)和弧的長(zhǎng)度都相等的兩條弧才是等弧，即等弧一定有相同的度數(shù)，而有相同度數(shù)的弧不一定是等弧(3)“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”，應(yīng)用推論時(shí)要時(shí)刻記住這一點(diǎn)(2)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑與圓周角定理相關(guān)的證明已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，D，E在BC邊上，且BDCE，12.求證：ABAC.證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件，再由圓周角定理及其推論證明如圖，延長(zhǎng)AD，AE分別交O于F，G兩點(diǎn)，連接BF，CG，12，BFCG，F(xiàn)BDGCE.又BDCE，BFDCGE，F(xiàn)G，ABAC

3、.利用圓周角定理證明等量關(guān)系時(shí)，主要是分析圓周角、圓心角、弧、弦之間的等量關(guān)系，有時(shí)需添加輔助線構(gòu)造等弧、等角、等弦的條件1已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓的直徑求證：BAEDAC.證明：連接BE，因?yàn)锳E為直徑，所以ABE90.因?yàn)锳D是ABC的高，所以ADC90.所以ADCABE.因?yàn)镋C，BAE90E，DAC90C.所以BAEDAC.2已知O中，ABAC，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD交O于點(diǎn)E.求證：AB2ADAE.證明：如圖，ABAC，.ABDAEB.在ABE與ADB中，BAEDAB，AEBABD，ABEADB.，即AB2ADAE.利用圓周角進(jìn)行計(jì)算如圖，已知BC為半O的直徑，

4、ADBC，垂足為D，BF交AD于點(diǎn)E，且AEBE.(1)求證：；(2)如果sin FBC，AB4，求AD的長(zhǎng)BC為半O的直徑，連接AC，構(gòu)造RtABC.(1)證明：如圖，連接AC.BC是O的直徑，BAC90，又ADBC，垂足為D，BADACB.在AEB中，AEBE，ABEBAE.ABFACB，即.(2)設(shè)DE3x，ADBC，sinFBC，BE5x，BD4x.AEBE，AE5x，AD8x.在RtADB中，ADB90，AB4，(8x)2(4x)2(4)2，解得x1，AD8.與圓周角定理有關(guān)的線段的計(jì)算、角的計(jì)算，不僅可以通過(guò)計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來(lái)求相關(guān)的角、線段，有時(shí)還可以通過(guò)三角形相似、

5、解三角形等來(lái)計(jì)算3.如圖，直徑為10的A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)O(0,0)，B是y軸右側(cè)A弧上一點(diǎn)，則cosOBC的值為()A. B.C. D.解析：選B法一：設(shè)A與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接CD，如圖所示因?yàn)镃OD90，所以CD為A的直徑又因?yàn)镃BO與CDO為圓弧CO所對(duì)的圓周角，所以CBOCDO.又因?yàn)镃(0,5)，所以O(shè)C5.在RtCDO中，CD10，CO5，根據(jù)勾股定理得OD5.所以cosOBCcosCDO，故選B.法二：連接AO，AC，因?yàn)镺C5，ACAO5，所以ACO為等邊三角形，CAO60，CBOCAO30，所以cosCBOcos 30.4.已知，如圖，ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)D是上任意

6、一點(diǎn)，AD與BC交于點(diǎn)E，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的長(zhǎng)解：，ADBCDE.又，BADECD.ABDCED.，即.ED2.5 (cm)5.如圖，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SADAE，求BAC的大小解：(1)證明：由已知條件可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsin BAC，且SADAE，所以ABACsin BACADAE.則sin BAC1.又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90.課時(shí)跟蹤檢測(cè)(

7、六)一、選擇題1如圖，ABC內(nèi)接于O，ODBC于D，A50，則OCD的度數(shù)是()A40B25 C50 D60解析：選A連接OB.因?yàn)锳50，所以BC弦所對(duì)的圓心角BOC100，CODBOC50，OCD90COD905040.所以O(shè)CD40.2如圖，CD是O的直徑，弦ABCD于點(diǎn)E，BCD25，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()AAEBE BOEDE CAOD50 DD是的中點(diǎn)解析：選B因?yàn)镃D是O的直徑，弦ABCD，所以，AEBE.因?yàn)锽CD25，所以AOD2BCD50，故A、C、D項(xiàng)結(jié)論正確，選B.3RtABC中，C90，A30，AC2，則此三角形外接圓的半徑為()A. B2 C2 D4解析：選B由推論

8、2知AB為RtABC的外接圓的直徑，又AB4，故外接圓半徑rAB2.4如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，若CD3，AB4，則tan BPD等于()A. B. C. D.解析：選D連接BD，則BDP90.CPDAPB，.在RtBPD中，cos BPD，tan BPD.二、填空題5如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，AB為O的直徑，點(diǎn)D在O上，ADC68，則BAC_.解析：AB是O的直徑，所以弧ACB的度數(shù)為180 ，它所對(duì)的圓周角為90，所以BAC90ABC90ADC906822.答案：226如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC4，ADBC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F

9、，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖，連接AB，AC，由A，E為半圓周上的三等分點(diǎn)，得FBD30，ABD60，ACB30.由BC4，得AB2，AD，BD1，則DF，故AF.答案：7如圖所示，已知O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于點(diǎn)D，若AD4，則AE_.解析：連接CE，則AECABC.又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.答案：9三、解答題8如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在O上，1C.(1)求證：CBMD；(2)若BC4，sin M，求O的直徑解：(1)證明：因?yàn)镃與M是同一弧所對(duì)的圓周角，所以CM.又1C，所以1M，所以CBMD(內(nèi)錯(cuò)角相等，

10、兩直線平行)(2)由sin M知，sin C，所以，BN4.由射影定理得：BC2BNAB，則AB6.所以O(shè)的直徑為6.9.如圖，已知ABC內(nèi)接于圓，D為的中點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)E.求證：(1)；(2)ABACAE2EBEC.證明：(1)連接CD.13，45，ABECDE.(2)連接BD.，AEDEBEEC.AE2BEECAE2AEDEAE(AEDE)AEAD.在ABD與AEC中，D為的中點(diǎn)，12.又ACEACBADB，ABDAEC.，即ABACADAE由知：ABACAE2EBEC.10.如圖所示，O是ABC的外接圓，BAC與ABC的平分線相交于點(diǎn)I，延長(zhǎng)AI交O于點(diǎn)D，連接BD，DC.(1)求證：BDDCDI；(2)若O的半徑為10 cm，BAC120，求BCD的面積解：(1)證明：因?yàn)锳I平分BAC，所以BADDAC，所以，所以BDDC.因?yàn)锽I平分ABC，所以ABICBI，因?yàn)锽ADDAC，DBCDAC，所以BADDBC.又因?yàn)镈BIDBCCBI，DIBABIBAD，所以DBIDIB，所以BDI為等腰三角形，所以BDID，所以BDDCDI.(2)當(dāng)BAC120時(shí)，ABC為鈍角三角形，