1、第二章 第二節(jié)等差數(shù)列第二課時(shí)等差數(shù)列性質(zhì)（導(dǎo)學(xué)案）目標(biāo)定位：1.進(jìn)一步了解等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的規(guī)律。 2.理解等差數(shù)列的性質(zhì)。（重點(diǎn)） 3.掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。（難點(diǎn)）等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)已知an為等差數(shù)列，a3a4a5a6a7450.求a2a8的值(2)(2012江西高考)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列若a1b17，a3b321，則a5b5_.(1)解a3a4a5a6a7450，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)解析法一：設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1

2、)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)列anbn也構(gòu)成等差數(shù)列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案35類題通法1利用通項(xiàng)公式時(shí)，如果只有一個(gè)等式條件，可通過消元把所有的量用同一個(gè)量表示2本題的求解主要用到了等差數(shù)列的以下性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq.對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.活學(xué)活用1(1)已知an為等差數(shù)列，a158，a6020

3、，則a75_.(2)如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28 D35解析：法一：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為其第四項(xiàng)，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.法二：因?yàn)閍15a114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.(2)a3a4a512，3a412，則a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故選C.答案：(1)24(2)C靈活設(shè)元求解等差數(shù)列例2(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍

4、，求這三個(gè)數(shù)(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù)解(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad，則解得這三個(gè)數(shù)為4,3,2.(2)法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，d1，故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)，依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a(bǔ)1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d28，化簡(jiǎn)得d24，所以d2或2.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以

5、d2，a2.故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.類題通法常見設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：ad，ad，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：ad，a，ad，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a3d，ad，ad，a3d，公差為2d.活學(xué)活用2已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a3d，ad，ad，a3d.由題設(shè)知解得或這個(gè)數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方

6、面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項(xiàng)a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an20n2200，解得n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損類題通法1在實(shí)際問題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決2在利用數(shù)列方法解

7、決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量活學(xué)活用3九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升B.升C.升D.升解析：選B設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有即解得則a5a14d，故第5節(jié)的容積為升隨堂即時(shí)演練1已知等差數(shù)列an，則使數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是()AbnanBbnaCbn Dbn解析：選A數(shù)列an是等差數(shù)列，an1and(常數(shù))對(duì)于A：bn1bnanan1d，正確；對(duì)于B不一定正確，如數(shù)列ann，則bnan2，顯然不是等差數(shù)列；對(duì)于C、D：及不一定有意義，故選A.2(2012遼寧高考)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12 B.16C20 D24解析：選B因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以a2a10a4a816.3已知數(shù)列an中，a510，a1231，則其公差d_.解析：d3.答案：34在等差數(shù)列an中，已知a22a8a14120，則2a9a10的值為_解析：a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.答案：305已知等差數(shù)列an中，a1a4a715，a2a4a6