1、第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng),主要內(nèi)容：,1.1 離散時(shí)間信號(hào)-序列,1.2 離散時(shí)間系統(tǒng),1.3 線性差分方程的求解,1.4 時(shí)域采樣定理,1.5 本章Matlab相關(guān)程序,1.1 離散時(shí)間信號(hào)(序列) Discrete-time signals (Sequences),一、離散時(shí)間信號(hào)的由來,離散時(shí)間信號(hào)（又稱序列），是連續(xù)時(shí)間信號(hào)以時(shí)間 T等間隔采樣得到的，T稱為采樣間隔（單位：秒）。,一般，采樣間隔是均勻的，用x(nT)表示離散時(shí)間信號(hào)在nT點(diǎn)上的值，n為整數(shù)。由于x(nT)順序存放在存儲(chǔ)器中，我們通常直接用x(n)表示離散時(shí)間信號(hào)序列。,=nT,|t=nT=x(nT),二、離散時(shí)間信號(hào)

2、的表示方法,1、用枚舉的方式(數(shù)列形式)表示：,x(n) = 3，4，2，1，0，5，7，8 ,注：用箭頭標(biāo)出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=1,2、用公式表示：,因?yàn)閚只能取整數(shù)，所以兩種寫法是一樣的。,3、用圖形的方式表示：,圖中橫坐標(biāo)n表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，僅在n為整數(shù)時(shí)才有意 義，縱坐標(biāo)代表信號(hào)點(diǎn)的值。,4、用單位抽樣序列表示., x(0) = 2 x(1) = 1 x(2) = 2 x(3) = 3 ,三、序列的基本運(yùn)算,1、序列的和 ：,兩序列的和是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相加而構(gòu)成 的新序列。,3,2,z(n) = x(n) + y(n), z(0) = x(0) +

3、y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2 ,仿真實(shí)驗(yàn)(Matlab),x1=wavread(w1.wav); x2=wavread(w2.wav); y=x1+x2; figure(1); plot(x1); grid on; figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,w3.wav);,%讀入聲音文件,%序列求和,%畫圖顯示結(jié)果,%結(jié)果保存

4、為聲音文件,實(shí)驗(yàn)結(jié)果 y(n) = x1(n)+ x2(n),x1(n),x2(n),y(n),w1.wav,w2.wav,w3.wav,2、序列的積 ：,兩序列的積是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘而構(gòu)成 的新序列。,z(n) = x(n) * y(n), z(0) = x(0) * y(0) = 2 z(1) = x(1) * y(1) = 2 z(2) = x(2) * y(2) = 2 z(3) = x(3) * y(3) = 2 z(4) = x(4) * y(4) = 1 ,3、序列的移位 ：,設(shè)有一序列x(n)，當(dāng)m為正時(shí)： x(n-m)表示序列x(n)逐項(xiàng)依次右移m位后得到的序列

5、。 x(n+m)表示序列x(n)逐項(xiàng)依次左移m位后得到的序列。,y(n) = x(nm),x(n),x(n),x(0)=1 x(1)=2 x(2)=3,右移,左移,實(shí)例： 序列右移（序列延遲）的應(yīng)用,延時(shí)單元可以將以前的某采樣時(shí)刻的數(shù)據(jù)暫存起來，參與這個(gè)時(shí)刻的運(yùn)算。,回聲可以用延遲單元來生成。直接聲音和它的延遲了R個(gè)周期的單個(gè)回聲可以用下面的式子來表示（ 為回聲的衰減系數(shù)）：,為了生成間隔為R個(gè)周期的多重回聲，可將上式改為：,原聲：,混響1：,混響2：,=0.3, R=5000,=0.3, R=10000,4、序列的反褶 ：,設(shè)有序列x(n)， 則x(-n)是以n=0為縱軸將x(n)反褶后的序

6、列。,y(n) = x(-n),思考：x(-n+1)和x(-n-1)與x(-n)的移位關(guān)系？,x(0)=1 x(1)=2 x(2)=3,x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列,x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列,仿真實(shí)驗(yàn)(Matlab),x = wavread(w2.wav); y = fliplr(x); figure(1); plot(x); grid on; figure(2); plot(y); grid on; wavwrite(y,w4.wav);,%讀入聲音文件,%畫圖顯示結(jié)果,%結(jié)果保存為聲音文件,%反褶,5、累加,設(shè)序列x(n)，則x(n)的累加序列y(n

7、)定義為：,它表示y(n)在某一個(gè)n0上的值等于這一個(gè)n0上的x(n0)以及n0從前的所有n值上的x(n)值之和。,例如：,6、差分運(yùn)算,前向差分：,后向差分：,差分運(yùn)算反映了序列x(n)的幅值變化規(guī)律。,7、序列的時(shí)間尺度（比例）變換,設(shè)某序列為x(n)，則其時(shí)間尺度變換序列為x(mn)或 x(n/m)，m為正整數(shù)。,x(mn) 為抽取序列（m1）,x(n/m)為插值序列（m1）,例如：x(n)與x(2n),注意： x(n) = x(t)|t=nT 采樣間隔為T x(2n) = x(t)|t=2nT 采樣間隔為2T，抽樣 x(n/2) = x(t)|t=nT/2 采樣間隔為T/2，插值,8、

8、卷積和,卷積積分是求連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)的主要方法。,卷積和是求離散線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)的主要方法。,卷積和的計(jì)算方法與步驟：,(1) 反褶：畫出x(m)與h(m)，以m=0的縱軸為對稱軸將h(m) 反褶成h(-m)。,(2) 移位：將h(-m)移位n，得到h(n-m)。 當(dāng)n為正，右移n位；當(dāng)n為幅負(fù)，左移n位。,(3) 相乘：將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)點(diǎn)值進(jìn)行相乘。,(4) 相加：將所有對應(yīng)點(diǎn)的乘積累加起來，得到某一個(gè)n下的 輸出值y(n)。,四、常用的典型序列,1、單位取樣序列(n) -Unit sample sequence,(n)是一個(gè)脈沖幅度為1的現(xiàn)實(shí)序列。,

9、(t)是脈寬為零，幅度為 的一種數(shù)學(xué)極限，是 非現(xiàn)實(shí)信號(hào)。,單位取樣序列亦稱單位脈沖序列，或時(shí)域離散沖激。,用單位取樣序列(n)表示任意序列,可以將任意序列表示成單位抽樣序列的移位加權(quán)和,x(n)=,(其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3),2、單位階躍序列u(n) -Unit step sequence,用單位階躍序列u(n)表示單位取樣序列(n)：,用單位取樣序列(n)表示單位階躍序列u(n)：,3、矩形序列RN(n) - Rectangular sequence,用單位階躍序列u(n)表示矩形序列RN(n)：,用單位取樣序列(n)表示矩形序列RN(n) ：,4、實(shí)指數(shù)序列

10、Real-valued exponential sequence,當(dāng)|a|1時(shí)，序列發(fā)散。,當(dāng)|a| 1時(shí)，序列收斂。,當(dāng)|a| 1，且a0時(shí)，序列是搖動(dòng)的,5、正弦序列 -Sinusoidal sequence,正弦序列的由來,對連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)取樣可以得到正弦序列。,數(shù)字域頻率和模擬域頻率,數(shù)字域頻率是模擬域頻率的T倍，以后我們就以表示數(shù) 字域頻率，表示模擬域頻率（也表示模擬域角頻率 ，2f，f表示模擬域線頻率）。,當(dāng)序列是周期的時(shí)，表示正弦序列的序列值重復(fù)變化的 快慢。 例：0.01，則序列值每200個(gè)重復(fù)一次正弦循環(huán) 0.1，則序列值每20個(gè)重復(fù)一次正弦循環(huán),的量綱為弧/秒，的量綱為弧

11、。,5、復(fù)指數(shù)序列 Complex-valued exponential sequence,當(dāng)0時(shí)，|x(n)|=1，arg|x(n)|=n 。,復(fù)指數(shù)序列ejn 作為序列分解的基單元， 在序列的傅里葉分析中起著重要的作用。,五、序列的周期性,1、定義,如果對于所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使得： x(n) = x(n+N)成立，則稱x(n)為周期序列，周期為N。,2、正弦序列的周期性,正弦信號(hào)：,若 N02k，當(dāng)k為整數(shù)時(shí)(即N0為2的整數(shù)倍)，則有：x(n)=x(n+N)，x(n)為周期信號(hào)。,觀察 N02k： (即 ),(1) 當(dāng) 2/0 為整數(shù)時(shí)：,k=1，則N= 2/0 為最小整數(shù)，

12、且保證x(n)=x(n+N)。,(2) 當(dāng) 2/0 為有理數(shù)時(shí)(有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù))：,若N、k互素，則此時(shí)N取得最小整數(shù)，使x(n)=x(n+N)。,(3) 當(dāng) 2/0 為無理數(shù)時(shí)：,任何k都不能使N為整數(shù)，此時(shí)x(n)不是周期性的。,注：此時(shí)k1。,3、討論,一個(gè)正弦序列若由一個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)抽樣而得，那么抽樣時(shí)間間隔 T 和連續(xù)正弦信號(hào)的周期 T0 之間應(yīng)該是什么關(guān)系才能使所得到的抽樣序列仍為周期序列？,設(shè)連續(xù)正弦信號(hào)為x(t)：,連續(xù)信號(hào)x(t)的角頻率為,連續(xù)信號(hào)x(t)的周期為,若對x(t)抽樣，設(shè)抽樣時(shí)間間隔為T，有：,若令0為數(shù)字頻率，它滿足：,其中fs是抽樣頻率， 0是相對頻率

13、，是連續(xù)信號(hào)角頻率0相對抽樣頻率fs的頻率。,在分析一個(gè)序列的周期性時(shí)，是通過分析2/0的值來實(shí)現(xiàn)的。,(1) 當(dāng) 2/0 為整數(shù)時(shí)：,說明:連續(xù)正弦信號(hào)x(t)的周期T0是抽樣間隔的整數(shù)倍，或 者說，是在一個(gè)連續(xù)信號(hào)的周期T0內(nèi)以T為采樣間隔 采樣了N個(gè)點(diǎn)。,(2) 當(dāng) 2/0 為有理數(shù)時(shí)：,說明: 在K個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)x(t)的周期T0內(nèi)以T為采樣間隔 采樣了N個(gè)點(diǎn)。,例如：序列,x(n)的周期是14，在3個(gè)連續(xù)信號(hào)周期T0內(nèi)采樣了14個(gè)點(diǎn)。,1.2 離散時(shí)間系統(tǒng),離散時(shí)間系統(tǒng) T(運(yùn)算),x(n),輸入序列,y(n),輸出序列,一、線性系統(tǒng),概念：滿足疊加原理的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,(1)可加

14、性,設(shè)y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n),如果y1(n)+y2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)=Tx1(n)+ x2(n),說明系統(tǒng)T滿足可加性。,(2)比例性(齊次性),設(shè)y1(n)=Tx1(n),如果 a1y1(n) = a1Tx1(n) =Ta1x1(n),說明系統(tǒng)T滿足比例性或齊次性。,綜合(1)、(2)，得到疊加原理的一般表達(dá)式：,例：驗(yàn)證下面的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：y(n)=4x(n)+6,方法一：驗(yàn)證系統(tǒng)是否滿足疊加原理。,可加性分析：,若：x1(n)= 3，則：y1(n)=43+6=18,x2(n)= 4，則：y2(n)=44+6=22,而：x3(n)= x1(

15、n)+x2(n)=7 ，有：y3(n)=47+6=3440,得到：y1(n)+ y2(n)=18+22=40,得證：由于該系統(tǒng)不滿足可加性，故其不是線性系統(tǒng)。,方法二：利用線性系統(tǒng)的“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性驗(yàn)證。,因?yàn)楫?dāng)x(n)=0時(shí)，y(n)=60，這不滿足線性系統(tǒng)的“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性，因此它不是線性系統(tǒng)。,n=0:19; T=0.05; x1=sin(2*pi*n*T); x2=sin(4*pi*n*T); x3=x1+x2; subplot(331) stem(n,x1); title(x1); subplot(334) stem(n,x2); title(x2); subpl

16、ot(337) stem(n,x3); title(x3);,y1=-0.5*x1; y2=-0.5*x2; y3=-0.5*x3; subplot(332) stem(n,x1); title(y1); subplot(335) stem(n,x2); title(y2); subplot(338) stem(n,x3); title(y3);,f1=fft(y1); f2=fft(y2); f3=fft(y3); subplot(333); stem(n,abs(f1); title(Y1); subplot(336); stem(n,abs(f2); title(Y2); subplot

17、(339); stem(n,abs(f3); title(Y3);,n=0:19; T=0.05; x1=sin(2*pi*n*T); x2=sin(4*pi*n*T); x3=x1+x2; subplot(331) stem(n,x1); title(x1); subplot(334) stem(n,x2); title(x2); subplot(337) stem(n,x3); title(x3);,y1=x1.*x1; y2=x2.*x2; y3=x3.*x3; subplot(332) stem(n,x1); title(y1); subplot(335) stem(n,x2); ti

18、tle(y2); subplot(338) stem(n,x3); title(y3);,f1=fft(y1); f2=fft(y2); f3=fft(y3); subplot(333); stem(n,abs(f1); title(Y1); subplot(336); stem(n,abs(f2); title(Y2); subplot(339); stem(n,abs(f3); title(Y3);,二、時(shí)不變系統(tǒng)(移不變系統(tǒng)),概念：若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)，則該 系統(tǒng)為時(shí)不變或移不變系統(tǒng)。,即：若有y(n)=Tx(n)，則y(n-m)=Tx(n-m)成立。,例：證y(n)=

19、4x(n)+6是移不變系統(tǒng)。,證：y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) 該系統(tǒng)是移不變系統(tǒng),說明：乍一看該例，似乎y(n-m)和Tx(n-m)很容易就得 到了一樣的結(jié)果，而實(shí)際上它們是通過不同的途 徑得到的。y(n-m)是將y(n)=4x(n)+6表達(dá)式中的所 有出現(xiàn)n的地方用n-m去替換；而Tx(n-m)是將所 有x函數(shù)的自變量替換為自變量-m。,例：驗(yàn)證以下兩個(gè)系統(tǒng)的移不變特性。,(1),因?yàn)閥(n-k)與Tx(n-k)相同，所以該系統(tǒng)是移不變系統(tǒng)。,說明：在該例題中可以清楚地看到，y(n-k)和Tx(n-k)是 從兩條不同的途

20、徑得到了相同的結(jié)果。, m=m-k，m從-n m應(yīng)從-kn-k 由于-是很大很大的，所以-k就相當(dāng)于-,(2),因?yàn)閥(n-k)與Tx(n-k)不相同，所以該系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)。,說明：從上面兩個(gè)類似的例題中，我們除了知道移不變系統(tǒng)的 證明方法外，還可以學(xué)習(xí)到一些基本的換元方法。, m=m-k，m從0n m應(yīng)從-kn-k,例：驗(yàn)證系統(tǒng)y(n)=nx(n)的移不變特性。,法一：用概念,Tx(n-k)=nx(n-k),y(n-k)=(n-k)x(n-k),因?yàn)閥(n-k)與Tx(n-k)不同，故不是移不變系統(tǒng)。,法二：找反例,設(shè)：x1(n)=(n)，則Tx1(n)=n(n)=0,x2(n)=(n-

21、1)，則Tx2(n) =n(n-1)= (n-1),可以看出，當(dāng)輸入移位(n)(n-1)時(shí)，輸出并不是也移位了，而是0(n-1)，故不是移不變系統(tǒng)。,三、單位抽樣(沖激)響應(yīng)h(n),概念：同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為LSI系統(tǒng)。 LSI(Linear Shift Invariant)System 線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng),單位抽樣(沖激)響應(yīng)h(n)： 當(dāng)輸入為(n)時(shí)，系統(tǒng)的輸出用h(n)表示。 h(n)=T(n),卷積： 當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)是LSI系統(tǒng)時(shí)，它的輸出y(n)可以用輸入x(n)與 單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積來表示。 y(n)=x(n)*h(n),證明：在前面我們學(xué)過，任一序

22、列x(n)可以寫成：,系統(tǒng)的輸出為：,說明：注意在證明y(n)=x(n)*h(n)的過程中用到了線性和移不 變的特性，這說明只有LSI系統(tǒng)才有上式。,四、線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì),1、交換律,y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n),等效于,2、結(jié)合律,x(n)*h1(n)*h2(n) = x(n)*h1(n)*h2(n)= x(n)*h2(n)*h1(n) = x(n)*h1(n)*h2(n),3、分配律,x(n)*h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),例：x(n)=u(n)，h1(n)=(n)-(n-4)，h2(n)=anu(n)，求： y(n

23、)=x(n)*h1(n)* h2(n),解：,說明：,五、因果系統(tǒng),1、定義 因果系統(tǒng)是指：某時(shí)刻的輸出只取決于此時(shí)刻和此時(shí)刻以前 的輸入的系統(tǒng)。,即：n=n0時(shí)的輸出y(n0)只取決于nn0的輸入x(n)|nn0的系 統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則為非因果系統(tǒng)。,例：判斷下面的系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。,(1) y(n)=nx(n),是,(2) y(n)=x(n+2)+ax(n),不是,(3) y(n)=x(n3),不是,(4) y(n)=x(-n),不是,(5) y(n)=x(n)sin(n+2),是,2、線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是： h(n)=0，n0,證：充分條件,若n0時(shí)，h(n)=0，

24、有：,從上式看出，y(n0)只與m n0時(shí)刻的x(m)有關(guān)，這滿足因果系統(tǒng)的定義,我們將n0，x(n)=0的序列稱為因果序列,n-m0,h(n)0 m=n, 必要條件(反證法),若已知一系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但當(dāng)n0時(shí)，至少存在一個(gè)n使得：h(n)0，則有：,在設(shè)定的條件下，第二項(xiàng)至少有一個(gè)h(n-m)0，故y(n)將至少和 mn 時(shí)的一個(gè)x(m)值有關(guān)，而這又與設(shè)定的另一個(gè)條件：因果系統(tǒng)相矛盾，所以說明設(shè)定條件有誤。,注意：當(dāng)利用該性質(zhì)驗(yàn)證一個(gè)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)首先 確定系統(tǒng)是LSI系統(tǒng)，并求出其單位沖激響應(yīng)h(n)。,六、穩(wěn)定系統(tǒng),1、定義 穩(wěn)定系統(tǒng)是指：有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。 即： 如

25、果|x(n)|M ，則有： |y(n)|P 。,2、一個(gè)LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是：單位抽樣響應(yīng) 絕對可和。,證明：充分條件：,若|h(n)|q ，且|x(n)|M 則y(n)為：,即證：若|h(n)|q ，且|x(n)|M ，存在： |y(n)| ， 即該LSI系統(tǒng)確實(shí)為穩(wěn)定系統(tǒng)。,只有LSI系統(tǒng)才有 y(n)=x(n)*h(n), 必要條件：(反證法),已知一LSI穩(wěn)定系統(tǒng)，設(shè)存在：,我們可以找到一個(gè)有界的輸入x(n)：,y(n)在n=0時(shí)為，即得到無界的輸出y(n)，而這不符合穩(wěn)定系統(tǒng)的假設(shè)，所以說明上面的假設(shè)不成立，故得證。,3、證明一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法：, 若LSI系統(tǒng)的

26、h(n)已直接給出，或間接求出，則可以用 h(n)是否絕對可和來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。, 若系統(tǒng)是以 y(n)=Tx(n) 的形式給出的，則應(yīng)該直接 利用穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：有界輸入得到有界輸出來證明。, 有時(shí)可利用反證法，只要找到一個(gè)有界的輸入x(n)，若 能得到無界的輸出，則該系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。,例：驗(yàn)證系統(tǒng) y(n)=nx(n)的穩(wěn)定性。,反證：當(dāng)x(n)=1時(shí)，y(n)=n，當(dāng) n，y(n)，此時(shí)， y(n)無界，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例：驗(yàn)證系統(tǒng) y(n)=ax(n) 的穩(wěn)定性。,證：設(shè)x(n)有界，|x(n)|A, -A |x(n)| A, a-A |y(n)| aA,當(dāng)x(n)有界時(shí)，y(n)也

27、有界，故為穩(wěn)定系統(tǒng)。,例：一個(gè)LSI系統(tǒng)的 h(n)=anu(n)，討論其因果性和穩(wěn)定性。, 因果性：,因?yàn)椋寒?dāng)n0時(shí)，h(n)=0，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。, 穩(wěn)定性：,當(dāng)|a|1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)|a|1時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例：一個(gè)LSI系統(tǒng)的 h(n)=-anu(-n-1)，討論其因果性和穩(wěn)定性。, 因果性：,因?yàn)椋寒?dāng)n0時(shí)，h(n)0，所以該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。, 穩(wěn)定性：,當(dāng)|a|1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)|a|1時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,1.3 常系數(shù)線性差分方程,1、形式：,常系數(shù)：是指方程中a1、a2、 an和b1、b2、 bm為常數(shù)。,階數(shù)： y(n)項(xiàng)中變量序號(hào)的最高值與最低值之差。,線性： y(n-k)

28、與x(n-m)項(xiàng)都只有一次冪，且不存在相乘項(xiàng)。,2、常系數(shù)差分方程的求解：, 經(jīng)典解法：類似于模擬系統(tǒng)求解微分方程的方法，要求 齊次解、特解，并由邊界條件求待定系數(shù)。 由于計(jì)算復(fù)雜，較少使用。, 遞推(迭代)法：簡單、適于用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。但只能 得到一系列數(shù)值解，不易得到封閉式(公 式)解答。, 變換域法：將差分方程變換到z域求解。, 卷積法：由差分方程求出系統(tǒng)的h(n)，再與已知的x(n) 進(jìn)行卷積，得到y(tǒng)(n)。,例：用迭代法求解差分方程求單位抽樣響應(yīng)h(n) 設(shè)系統(tǒng)差分方程為：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。,h(0) = ah(-1)+(0) = 0+1 = 1,h(

29、1) = ah(0)+(1) = a+0 = a,h(2) = ah(1)+(2) = a2+0 = a2,解：設(shè)x(n)=(n)，對因果系統(tǒng)，有：y(n)=h(n)=0，當(dāng)n0。,h(n) = ah(n-1)+0 = an+0 = an,. . .,故系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=anu(n)。這個(gè)系統(tǒng)顯然是因果系統(tǒng)，當(dāng)|a|1時(shí)，它還是穩(wěn)定系統(tǒng)。,注意：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，并不一定代表因果系統(tǒng)。 如果邊界條件假設(shè)不同，可以得到非因果系統(tǒng)。,例：設(shè)系統(tǒng)差分方程仍為：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。,解：設(shè)x(n)=(n)，有：y(n)=h(n)=0，當(dāng)n0。,可寫出另一

30、種遞推關(guān)系：y(n-1)=a-1y(n)-x(n),h(0) = a-1h(1)-(1) = 0,h(-1) = a-1h(0)-(0) = -a-1,h(-2) = a-1h(-1)+(-1) = -a-2,h(n) = a-nu(-n-1),. . .,該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=-a-nu(-n-1)。這個(gè)系統(tǒng)顯然不是因果系統(tǒng)，但它的差分方程與前一題相同。,另外：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，只有當(dāng)邊界條件選擇合適 時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性移不變系統(tǒng)。,例：設(shè)系統(tǒng)差分方程仍為：y(n)-ay(n-1)=x(n),A、當(dāng)邊界條件為y(0)=1時(shí)，為非線性、移變系統(tǒng),B、當(dāng)邊界條件為y(0)=0

31、時(shí)，為線性、移變系統(tǒng),C、當(dāng)邊界條件為y(-1)=0時(shí)，為線性、移不變系統(tǒng),證：(這里只證明A，B和C留給大家課后思考證明。),令：x2(n)=(n-1)， y2(0)=1,y2(1) = ay2(0)+x2(1) = a+1,y2(2) = ay2(1)+x2(2) = a2+a,y2(n) = ay2(n-1)+x2(n) = an+an-1, y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1),x1(n)和x2(n)為移位關(guān)系，但y1(n)和y2(n)不是移位關(guān)系，故不是移不變系統(tǒng)。,令：x1(n)=(n)， y1(0)=1,y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a,y1(2)

32、 = ay1(1)+x1(2) = a2,y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an, y1(n) = anu(n),前面已經(jīng)證明： 當(dāng) x1(n)=(n) 時(shí)，y1(n) = anu(n) 當(dāng) x2(n)=(n-1) 時(shí)， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1),令：x3(n)=(n)+(n-1)， y3(0)=1,y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1,y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a,y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1, y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1), 當(dāng)x3(n)=x1(

33、n)+x2(n)時(shí)，y3(n)y1(n)+y2(n)， 所以，該系統(tǒng)也不是線性系統(tǒng)。,差分方程表示法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是： 可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，這里的結(jié)構(gòu)是指將輸入變換成輸出的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。,例：差分方程： y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1),該差分方程所表示的結(jié)構(gòu)為：,從圖中可以看出需要多少個(gè)加法器、乘法器和延遲單元。,1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣,抽樣：利用周期性抽樣脈沖序列p(t)，從連續(xù)信號(hào)xa(t)中 抽取一系列的離散值，得到抽樣信號(hào)，用 表示。,A/D： 再經(jīng)幅度量化編碼后得到數(shù)字信號(hào)。,抽樣器：相當(dāng)于一個(gè)電子開關(guān)，開關(guān)每隔 T(采樣間隔)秒閉合 一次，使時(shí)間離散。,理想抽樣：閉合時(shí)

34、間無限短。,實(shí)際抽樣：閉合時(shí)間為 秒，但：T 。,一、理想抽樣過程,因?yàn)?0，此時(shí)抽樣脈沖序列p(t)看成沖激函數(shù)序列T(t)，各沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在抽樣瞬間上，面積為1。抽樣后的信號(hào)完全與輸入信號(hào)xa(t)在抽樣瞬間的幅度相同。,研究目標(biāo)：(1)信號(hào)被抽樣后頻譜會(huì)發(fā)生什么變化？ (2)在什么條件下，可以從從抽樣信號(hào) 中不 失真地恢復(fù)原信號(hào)？,沖激函數(shù)序列：,理想抽樣輸出：,二、理想抽樣后信號(hào)頻譜發(fā)生的變化,思路：要分析頻域特性，我們先將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域：,因?yàn)椋簳r(shí)域相乘相當(dāng)于頻域卷積,我們由上式結(jié)果來分析 與 的關(guān)系。,利用傅立葉級(jí)數(shù)將T(t)展開，可得：,其中：s=2/T，s稱為采樣角頻

35、率；fs=1/T，fs為采樣頻率,DTFT,時(shí)域離散,頻域周期,理想抽樣信號(hào)的頻譜，其周期為s，頻譜的幅度受1/T加權(quán)。,情況：不混疊 若xa(t)是帶限信號(hào)，且信號(hào)最高頻譜分量h不超過s/2。,理論上說，只要用一個(gè)截止頻率為s/2的理想低通濾波器對 進(jìn)行處理，就能得到 ，從而得到 。,h s/2,情況：混疊 若xa(t)是帶限信號(hào)，且信號(hào)最高頻譜分量h超過s/2。,h s/2,由于各周期延拓分量產(chǎn)生的頻譜互相交疊，使抽樣信號(hào)的頻譜產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。,采樣定理： 若要從抽樣后的信號(hào)中不失真的還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍以上。,折疊頻率： 我們將抽樣頻率之半(s/2)稱為折疊頻

36、率。它如同一面鏡子，當(dāng)信號(hào)最高頻率超過它時(shí)，就會(huì)被折疊回來，造成頻譜混疊。,為避免混疊，一般在抽樣器前加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，將高于s/2的頻率分量濾除。,工程上，通常取 s(35)h,三、抽樣的恢復(fù),如果滿足采樣定理，信號(hào)的最高頻率小于折疊頻率，則抽樣后信號(hào)的頻譜不會(huì)產(chǎn)生混疊，故可以恢復(fù)原信號(hào)。,將 通過一個(gè)理想低通濾波器得到 ：,實(shí)際上，理想的低通濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的，但我們可以在一定精度范圍內(nèi)用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的濾波器來逼近它。,討論：如何由抽樣信號(hào) 來恢復(fù)原來的模擬信號(hào) ？,理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：,思路：因?yàn)槌闃雍蟮念l譜是乘以理想低通濾波器的頻譜后得到 原信號(hào)的頻譜的，所以對應(yīng)到時(shí)

37、域，應(yīng)該是抽樣信號(hào)與 理想低通濾波器對應(yīng)時(shí)域信號(hào)h(t)的卷積。這個(gè)卷積的 結(jié)果計(jì)為ya(t)，然后，我們將它與xa(t)進(jìn)行對比。,說明：,(1) 內(nèi)插函數(shù)只有在抽樣點(diǎn)mT上為1。,(2) xa(t)等于xa(mT)乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和。,(3) 在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上，只有該點(diǎn)所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，這 說明在抽樣點(diǎn)上信號(hào)值不變ya(mT)=xa(mT)，而抽樣點(diǎn)之間的 信號(hào)ya(t)，(其中tmT)由各加權(quán)抽樣函數(shù)波形的延伸疊加 而成。(m從-),信號(hào)的抽樣值xa(mT)經(jīng)內(nèi)插函數(shù)得到連續(xù)信號(hào)ya(t)。,四、實(shí)際抽樣,抽樣脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖。,若、T一定，則Ck

38、的幅度|Ck|按 變化。,實(shí)際抽樣信號(hào)頻譜：,萬一：Ck=0？,包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在：,抽樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓， 周期為s。 若滿足奈奎斯特抽樣定理，則不產(chǎn)生頻譜混疊 失真。 抽樣后頻譜幅度隨著頻率的增加而下降。,實(shí)際抽樣信號(hào)頻譜：,1.5 本章Matlab相關(guān)程序,% 單位脈沖序列 % Generation of a Unit Sample Sequence % Generate a vector from -10 to 20 n = -10:20; % Generate the unit sample sequence u = zeros(1,10) 1 zeros(1,

39、20); % Plot the unit sample sequence stem(n,u); grid on; xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); title(Unit Sample Sequence); axis(-10 20 0 1.2);,function x,n = impseq(np,ns,nf) % 單個(gè)脈沖序列生成函數(shù) % 產(chǎn)生 x(n) = delta(n-np); % np=脈沖信號(hào)施加的位置， % ns=序列的起點(diǎn)位置， nf=序列的終點(diǎn)位置 % 檢查輸入?yún)?shù)正確性 if (np nf) | (ns nf) error(參數(shù)必須

40、滿足 ns = np = nf) end n = ns:nf; % 生成位置向量 x = (n-np) = 0; % 生成單個(gè)脈沖序列,% 階躍序列生成函數(shù) function x,n = stepseq(np,ns,nf) % 產(chǎn)生 x(n) = u(n-np); ns nf) | (np nf) error(參數(shù)必須滿足 ns = 0; % 生成階躍序列,x = zeros(1,(np-ns), ones(1,(nf-np+1);,% 生成階躍序列的另一種語句,%復(fù)指數(shù)序列 c = -(1/12)+(pi/6)*i; K = 2; n = 0:40; x = K*exp(c*n); subp

41、lot(2,1,1); stem(n,real(x); grid on; xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); title(Real part); subplot(2,1,2); stem(n,imag(x); grid on; xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); title(Imaginary part);,% 實(shí)指數(shù)序列 n = 0:35; a = 1.2; K = 0.2; x = K*a.n; stem(n,x); xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);,% 正

42、弦序列 n = 0:40; f = 0.1; phase = 0; A = 1.5; x = A*cos(2*pi*f*n - phase); clf;% Clear old graph stem(n,x); axis(0 40 -2 2); grid on; title(Sinusoidal Sequence); xlabel(Time index n); ylabel(Amplitude);,function y,n = seqadd(x1,n1,x2,n2) % 序列相加函數(shù) % 實(shí)現(xiàn)y(n) = x1(n)+x2(n) % y = 在包含n1和n2的n點(diǎn)上求序列和, % x1 = 在位

43、置向量n1上的第一序列 % x2 = 在位置向量n2上的第二序列(n2可與 n1不同) % y(n)的長度 n = min(min(n1),min(n2) : max(max(n1),max(n2); y1 = zeros(1,length(n); y2 = y1; % 初始化 % 具有y的長度的x1 y1(find(n=min(n1) ,function y,n = seqmult (x1,n1,x2,n2) % 序列相乘函數(shù) % 實(shí)現(xiàn)y(n) = x1(n)+x2(n) % y = 在包含n1和n2的n點(diǎn)上求序列和, % x1 = 在位置向量n1上的第一序列 % x2 = 在位置向量n2上

44、的第二序列(n2可與 n1不同) % y(n)的長度 n = min(min(n1),min(n2) : max(max(n1),max(n2); y1 = zeros(1,length(n); y2 = y1; % 初始化 % 具有y的長度的x1 y1(find(n=min(n1) ,function y,ny = seqshift(x,nx,n0) % 實(shí)現(xiàn) y(n) = x(n-n0) % n0為平移樣本數(shù) ny = nx + n0; % 位置向量移位 y = x; % 序列的值不變,nx = 0:5; x = 0.5.nx; n0 = 3; y,ny = seqshift(x,nx,n

45、0); subplot(2,1,1); stem(nx,x); axis(0 10 0 1.2); xlabel(nx); ylabel(x); subplot(2,1,2); stem(ny,y); axis(0 10 0 1.2); xlabel(ny); ylabel(y);,function y,ny = seqfold(x,nx) % 序列翻轉(zhuǎn)（對n=0折疊）子程序 % 實(shí)現(xiàn) y(n) = x(-n) % 將序列數(shù)值左右翻轉(zhuǎn) y = fliplr(x); % 將序列位置對零位置左右翻轉(zhuǎn)，故同時(shí)改變正負(fù)號(hào) ny = -fliplr(nx);,序列能量：,Ex = sum( x .* conj(x) ); Ex = sum(abs(x) . 2);,例：畫出信號(hào)x1(n) = 1.5*(n+1) - (n-3)的波形。,n1=-5:5; x1=1.5*impseq(-1,-5,5) - impseq(3,-5,5); stem(n1,x1); grid on; xlabel(n); ylabel(x1(n); axis(-5,5,-2,3);,例：畫出信號(hào)的波形。 x2(n) = nu(n)-u(n-8) - 10e-0.3(n-10)u(n-10)-u(n-16),n2=0:20; x21 = n2.*(stepseq(0,0,20) - st