1、2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題：本大題共10個(gè)小題,每小題8分,共80分.1.在多項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為 2.已知,則實(shí)數(shù) 3.設(shè)在中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則的取值范圍為 4.設(shè),且,則 5.已知兩個(gè)命題,命題:函數(shù)()單調(diào)遞增；命題：函數(shù)（）若為真命題，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 6.設(shè)是中所有有理數(shù)的集合，對(duì)簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，定義函數(shù)，則在中根的個(gè)數(shù)為 7.已知?jiǎng)狱c(diǎn)，分別在軸上，圓和圓上，則的最小值為 8.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則直線與平面所成的角的取值范圍為 9.已知平面向量，滿足，若，則所有取不到的值的集合為 10.已知方程有三個(gè)根若，則實(shí)數(shù) 二、解答題：本大題共5個(gè)

2、小題，滿分120分，將答案填在答題紙上）11.設(shè)，2，對(duì)每個(gè)，求的實(shí)數(shù)解12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線交直線于（1）求的大小；（2）求的最大值13.設(shè)數(shù)列滿足：，1,2,3，證明：如果為有理數(shù)，則從某項(xiàng)后為周期數(shù)列14.設(shè)，；，證明：存在不全為零的數(shù)，使得和同時(shí)被3整除15.設(shè)為的一個(gè)排列，記，求2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案一、填空題1. 2.23.4.（） 5. 6.5 7. 8.9. 10.三、解答題11.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法（1）是的解當(dāng)時(shí)，是的解.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則.由此可得是的解（對(duì)于所有的）.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由此可得都不是的解（對(duì)于

3、所有的）（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（）.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由此可得都不是的解（對(duì)于所有的）因此，對(duì)每個(gè)，的實(shí)數(shù)解為12.解：（1）聯(lián)立可得設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，于是有因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，因此的斜率，因?yàn)橹本€交直線于，所以，故的斜率為，即得，因此與垂直，（2）令，則，由于，故 . 因此（當(dāng)時(shí)取到最大值，也即）綜上所述，的最大值為13.證明：（1）若為有理數(shù)，則為一個(gè)有理數(shù)數(shù)列（2）對(duì)于任意的，設(shè)，由已知條件，有且僅有下述一個(gè)等式成立：或(*)與有相同的分母（不進(jìn)行約分）（3）設(shè)，則，為整數(shù)，由于，1，2,3，因此（4）若存在兩個(gè)自然數(shù)，使得，則由（2）中得到的（*）遞推公式以及，1,2,3，可得從第項(xiàng)

4、開(kāi)始是一個(gè)周期數(shù)列，周期為（5）由（3）可知對(duì)于任意的，的值只有（有限個(gè)），故總能找到，使得，從而有綜上所述，如果為有理數(shù)，則從某項(xiàng)后為周期數(shù)列14.證明：不妨設(shè)，則要證明結(jié)論正確，只要證明存在不全為零的數(shù)，使得(*)記，這里情形（1）當(dāng)時(shí)，則，或者，不全為零若，則取，有（*）式成立若，不全為零，不妨設(shè)，則取,且即(*)式.情形（2）當(dāng)或2時(shí)，即記，這里，令，則，且不全為零，且，類似可以證明綜上所述，可以取到不全為零的數(shù)，使得（*）式成立15.解：?jiǎn)栴}等價(jià)于圓周上放置個(gè)數(shù)，使得相鄰數(shù)的乘積之和為最小，最小值記為不妨設(shè)，則數(shù)字1必與它相鄰，否則設(shè)（，），則可將，的數(shù)字改變?yōu)椋系臄?shù)字，則相鄰數(shù)的乘積和的該變量為于是可確定再說(shuō)明數(shù)字2也必與數(shù)字相鄰，即事實(shí)上，若（），則交換，為，此時(shí)的目標(biāo)改變值為因此目標(biāo)取到最小值時(shí)，由此出發(fā)，依次可得，在已安排好的兩端數(shù)字，若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字都小，則在剩下的數(shù)中找兩個(gè)最小的數(shù)字，按小對(duì)大，大對(duì)小放置；若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字大，則在剩下的數(shù)字中找兩個(gè)最大的數(shù)，按大對(duì)小，小對(duì)大放置由此規(guī)律即得，