1、1.2應用舉例 第1課時解三角形的實際應用舉例 距離問題,一、測量兩點間的距離問題,探究1：結合圖探究下面的問題 (1)A，B兩點之間不可到達，在點A的一側，需要測出哪些量，可以求A，B兩點的距離？ 提示：測量者在點A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離，BAC的大小，ACB的大小三個量.,(2)根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較恰當？ 提示：根據測量出的兩個角一個邊，然后根據三角形的內角和定理很容易通過兩個已知角算出邊AC的對角，再應用正弦定理算出邊AB.因此運用正弦定理比較恰當.,探究2：結合圖探究下面的問題 (1)A，B兩點都在河的對岸，不可到達， 結合圖象，需要測出哪些

2、量，可以求出 A，B兩點間的距離？ 提示：結合圖象，需要測出CD的長，BCD的大小，BDC的大小，就可以計算出BC的長，同理可以計算出AC的長，再算出AB的長.故只需測量出圖中CD的長，角，的大小.,(2)分析求解過程中主要利用了哪些定理？ 提示：主要應用了正弦定理和余弦定理.,【探究總結】對測量不可到達兩種距離的說明 (1)測量從一個可到達點到一個不可到達點之間的距離問題，一般可轉化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題，從而得到運用正弦定理去解決的方法. (2)測量兩個不可到達點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題，然后把求未知的另外邊長問題轉化為只有一點不

3、能到達的兩點距離測量問題，然后運用正弦定理解決.,二、航行中的距離問題 探究1：根據方向角的含義完成下列填空，明確方向角的表示方法 (1)如圖所示，圖的m角描述為. ,(2)如圖的n角描述為. 答案：(1)北偏西m(2)南偏東n,探究2：根據方位角的定義完成下面的填空，明確方位角的表示方法 如圖 圖的方位角為；圖的方位角為. 答案：130200,【探究總結】對方向角、方位角的兩點說明 (1)方向角指的是四正(正北、正南、正東、正西)方向線與目標方向線所成角；方位角指的是從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角. (2)表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的說法，如方位角120也可以說成“南偏東

4、60”，方位角270也可稱“正西方向”，方位角45也可稱“東北方向”等.,【拓展延伸】解三角形應用題的兩種情況 (1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量與未知量涉及兩個或多個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.,類型一測量從一個可到達點到一個不可到達的點之間的距離 1.(2014四川高考)如圖，從氣球A上 測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角 分別為75，30，此時氣球的高是 60m，則河流的寬度BC等于() A.240( -1)mB.180( -1)m C.120( -1)mD.30( +1)m,2

5、.如圖，為了測量河的寬度，在岸邊選定兩點A，B，望對岸岸邊的標記物C，測得CAB=30，CBA=75，AB=120m，則河的寬度是m.,【解題指南】1.先求AC，再由正弦定理求BC即可. 2.利用三角形內角和定理，三角形為等腰三角形，求出一邊再求河寬.,【自主解答】1.選C.設氣球的高度為AD，交CB延長線于點D， 在RtACD中，AC=120m， 在ABC中，由正弦定理知，BC= sinBAC= sin45= =120( -1)(m).,2.作CDAB，垂足為D. 因為ACB=180-30-75=75=ABC， 所以AB=AC=120m， 因為CAD=30， 所以在RtCDA中， CD=AC

6、sin30=120sin30=60(m). 答案：60,【規(guī)律總結】測量從一個可到達點到一個不可到達的點之間距離的技巧 如圖所示，A可到達，B不可到達，欲求AB，可在A的同側選一點C，測出AC的長及BAC與ACB的大小，然后用正弦定理求解.,【變式訓練】如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者 在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，ACB= 45，CAB=105，求A，B兩點的距離.,【解析】由三角形內角和定理知B=180-C-A=180-45-105=30， 在ABC中，由正弦定理得 故AB=,類型二測量兩個不可到達的點之間的距離 1.如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，

7、開鑿前，在CD所 在水平面上的山體外取點A，B，并測得四邊形ABCD中，ABC= BAD= AB=BC=400米，AD=250米，則應開鑿的隧道CD 的長為米.,2.如圖，隔河看兩目標A，B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C，D兩點，并測得ACB=75，BCD=45，ADC =30，ADB=45(A，B，C，D在同一平面內)，求兩目標A， B之間的距離.,【解題指南】1.測量兩個不可到達的點之間的距離，一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長問題求解. 2.要求出A，B之間的距離，可以在ABC(或ADB)中去找關系，求出有關量的值，然后解三角形可得.,【自主解答】1.在ABC中，

8、AB=BC=400米，ABC= 所以 ABC為等邊三角形，BAC= 又BAD= 故CAD= 所以在ACD中，由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD =4002+2502-2400250cos =122500，所以CD=350(米). 答案：350,2.在ACD中，因為ADC=30，ACD=120， 所以CAD=30.所以AC=CD= km. 在BDC中，CBD=180-45-75=60， 由正弦定理，可得BC= 由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA， 所以AB2= 所以AB= (km). 故兩目標A，B間的距離為 km.,【規(guī)律總結】1.測量不可

9、到達的兩點之間距離的技巧 首先把求不可到達的兩點A，B之間的距離轉化為利用正、余弦定理求三角形的邊長問題，之后再轉化成一個可到達點到另一個不可到達點的距離的問題. 2.測量不可到達的兩點之間的距離問題的關鍵 (1)選取的基線既易于測量，又簡單恰當. (2)要根據實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度.,【拓展延伸】解決有關距離問題的思路 解決有關距離問題的方法是建立數學模型，即構造三角形，轉化為解三角形問題.通常是根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形得到所求的量，從而得到實際問題的解.解題時應認真審題，結合圖形去選擇定理，使解題過程簡捷.,【變式訓練

10、】某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩(如 圖)，其一角已破損，現測得如下數據：BC=2.57cm，CE= 3.57cm，BD=4.38cm，B=45，C=120.為了復原，請計算 原玉佩兩邊的長(結果精確到0.01cm).,【解析】將BD，CE分別延長相交于一點A，在ABC中， BC=2.57 cm，B=45，C=120， A=180-(B+C) =180-(45+120)=15. 因為 所以AC= 利用計算器算得AC7.02cm. 同理，AB8.60cm. 故原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm、8.60cm.,類型三航行中的距離問題 1.一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個

11、燈塔M在北偏東60方向，行駛4h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為km.,2.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+ )海里的兩個 觀測點，現位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘 輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20 海 里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時， 該救援船到達D點至少需要多長時間？,【解題指南】1.由題意畫出示意圖，然后利用正弦定理即可求出船與燈塔的距離. 2.(1)已知速度，要求時間，只要求出路程，即CD的長即可. (2)觀察CD所在的三角形，有ADC和BDC，確定用BDC來求CD. (3)在BD

12、C中，找出已知量，確定是用正弦定理還是用余弦定理求解.,【自主解答】 1.如圖所示，依題意有AB=154=60，MAB=30，AMB=45，在AMB中，由正弦定理得 解得BM= (km). 答案：,2.由題意知AB=5(3+ )海里， 因為DAB=90-45=45，DBA=90-60=30， 所以ADB=180-(45+30)=105， 在ADB中，由正弦定理得 所以DB= = (海里)，,又因為DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60， BC= 海里， 所以在DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC =300+1200-2 =900， 所以CD=30(

13、海里)， 所以需要的時間t= =1(小時)， 即救援船到達D點至少需要1小時.,【延伸探究】題2中若不知救援船的速度，其他條件不變，要 求救援船必須在40分鐘內到達，則救援船的最小速度為多少？ 【解析】設救援船的速度為v海里/小時，由題2解析可求得 CD=30海里，由 得v45. 即救援船的最小速度為45海里/小時.,【規(guī)律總結】 1.航行問題的解題技巧 (1)在航行等問題中，通常是把方位角(方向角)與幾何圖形結合起來，求出幾何圖形的有關角. (2)幾何圖形的應用是解答實際問題的重要輔助手段，一是從圖形的完整性方面畫出圖形；二是把多邊形向三角形轉化.,2.解斜三角形應用題的一般步驟 (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖. (2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解. (4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意