1、6.2 定積分的幾何應用 1,作為定積分的幾何應用，旋轉曲面的面積一般是用定積分來計算。 本課件用對弧長的曲線積分來建立求旋轉曲面的面積的公式。 將曲線積分化為定積分可以得到計算旋轉曲面面積的定積分公式。,6.2 定積分的幾何應用 2,先看特殊的情形,旋轉軸為坐標軸,6.2 定積分的幾何應用 3,設L是上半平面內的一條平面曲線。 將L繞x軸旋轉一周得一旋轉曲面，求該旋轉曲面的面積Ax。,我們用元素法來建立旋轉曲面面積的曲線積分公式。,L,6.2 定積分的幾何應用 4,L,在曲線L的(x,y)處取一弧微分,它到x軸的距離是 y （如圖）。,該弧微分繞x軸旋轉而成的旋轉曲面的面積約為：,（面積元素

2、）,于是整個曲線繞x軸旋轉而成的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用 5,命題1：上半平面內一條曲線L繞x軸旋轉而成的旋轉曲面的面積為：,L,6.2 定積分的幾何應用 6,命題2：右半平面內一條曲線L繞y軸旋轉而成的旋轉曲面的面積為：,同理,L,6.2 定積分的幾何應用 7,下面針對不同的曲線方程將曲線積分化為定積分得到熟悉的旋轉曲面的面積公式,6.2 定積分的幾何應用 8,直角坐標方程,6.2 定積分的幾何應用 9,y=f(x),如果,L繞 x軸旋轉的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用 10,y=f(x),如果,L繞 y軸旋轉的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用

3、11,參數方程,6.2 定積分的幾何應用 12,如果,L繞 x軸旋轉的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用 13,如果,則L繞 y軸旋轉的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用 14,極坐標方程,6.2 定積分的幾何應用 15,如果,L繞 x軸旋轉的旋轉曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應用 16,我們來推導一個有關曲線L的形心(質心)和旋轉曲面面積之間的關系的定理： 古爾丁定理,Paul Guldin（古爾丁） 1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,6.2 定積分的

4、幾何應用 17,L,上半平面內一條曲線L繞x軸旋轉而成的旋轉曲面的面積等于該曲線的形心所經過的路程與L的弧長s的乘積。,古爾丁定理,形心,6.2 定積分的幾何應用 18,如果你很容易求得曲線L的弧長和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉曲面的面積。,L,形心,6.2 定積分的幾何應用 19,下面來看一般的情形,一般的曲線 f:=(x,y)-2*x-y; a:=0:b:=2: (2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b); evalf(%);,with(plots): quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定積分的幾何應用 25,例2 求y=x2 (0x1)繞直線 y=x-1旋轉的 旋轉曲面的面積A。,y:=x-x2; f:=(x,y)-y-x+1; a:=0:b:=1: sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D