1、.余數(shù)問題知 精 一、 余除法的定 及性 一般地，如果a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ b0） ,若有 ab=q r，也就是 a bqr,0rb；我 稱上面的除法算式 一個 余除法算式。 里：(1)當 r0 ：我 稱 a 可以被 b 整除， q 稱 a 除以 b 的商或完全商(2)當 r 0 ：我 稱 a 不可以被 b 整除， q 稱 a 除以 b 的商或不完全商一個完美的 余除法 解模型 : 是一堆 ，共有a 本， 個 a 就可以理解 被除數(shù)， 在要求按照b本一捆打包，那么b 就是除數(shù)的角色， 打包后共打包了c 捆，那么 個c 就是商，最后 剩余d 本， 個 d 就是余數(shù)。二、三大余數(shù)定理：1.余

2、數(shù)的加法定理a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)，等于a，b 分別除以 c 的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余數(shù)等于 4，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c 的余數(shù)。例如：23，19 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 4，所以 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于 3+4=7除以 5 的余數(shù)，即 2。.2.余數(shù)的乘法定理a 與 b 的乘積除以c 的余數(shù)，等于a，b 分別除以 c 的余數(shù)的積，或者這個積除以 c 所得的余數(shù)。例如：23，16 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 1

3、，所以 2316除以 5 的余數(shù)等于 31=3。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c 的余數(shù)。例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 4，所以 2319除以 5 的余數(shù)等于34除以 5 的余數(shù)，即 2.3.同余定理若兩個整數(shù)a、 b 被自然數(shù) m 除有相同的余數(shù)，那么稱a、b 對于模 m 同余，用式子表示為： ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作： a 同余于 b，模 m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數(shù) a，b 除以同一個數(shù)m 得到的余數(shù)相同， 則 a，b 的差一定能被m 整除。用式子表示為：如果有ab ( mod m

4、)，那么一定有abmk， k 是整數(shù)，即m|(a b)經(jīng)典例題【例 1】用某自然數(shù)a 去除 1992 ，得到商是46，余數(shù)是 r ，求 a 和 r 【解析】 因為 1992 是 a 的 46 倍還多 r , 得到 1992 46 43.14 ，得 199246 43 14 ，所以 a43 ， r14 【例 2】 甲、乙兩數(shù)的和是 1088 ，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余 32 ，求甲、乙兩數(shù)【解析】 ( 法 1)因為 甲乙 1132 ，所以 甲乙乙 11 32乙 乙 12 321088 ；【解析】 則乙(1088 32)1288 ，甲 1088乙 1000 【解析】 ( 法 2)將余數(shù)先去掉變成整除性

5、問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做： 從 1088 中減掉 32 以后， 1056 就應(yīng)當是乙數(shù)的(11 1) 倍，所以得到乙數(shù)1056 12 88，甲數(shù)108888 1000 .【例 3】一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是 37，求這樣的兩位數(shù)?！窘馕觥?本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題- 即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。本題中 310-37=273 ，說明 273 是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3713，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37 大，符合條件的有39，91.

6、【例 4】有兩個自然數(shù)相除，商是17 ，余數(shù)是 13 ，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113 ，則被除數(shù)是多少？【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù) +17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17 倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=（ 2083-13 ）（ 17+1） =115，所以被除數(shù) =2083-115=1968 ?！纠?5】有 48 本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5 人如果把書全部分給第一組，那么每人 4 本，有剩余；每人5 本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由 48

7、412 ，48 5 9.6 知，一組是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ，484 12知，二組是 13、 14 或 15 人，因為二組比一組多5 人，所以二組只能是15 人，一組 10 人【例 6】一個兩位數(shù)除以 13 的商是 6，除以 11所得的余數(shù)是 6，求這個兩位數(shù)【解析】 因為一個兩位數(shù)除以 13 的商是6，所以這個兩位數(shù)一定大于 13 6 78 ，并且小于 13(6 1) 91；又因為這個兩位數(shù)除以11余 6，而 78 除以 11 余 1，這個兩位數(shù)為78 583 【例 7】有一個大于1 的整數(shù)，除 45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【解析】這個題沒有告訴我們，

8、這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差， 也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)1014556 ，59 45 14 ，.(56,14) 14 ， 14的 數(shù)有 1,2,7,14 ，所以 個數(shù)可能 2,7,14 ?！纠?8】22003 與 20032 的和除以7 的余數(shù)是 _【解析】 找 律用 7 除 2， 22， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ，的余數(shù)分 是2， 4， 1， 2，4，1，2， 4， 1， ,2 的個數(shù)是 3 的倍數(shù) ，用7 除的余數(shù) 1； 2 的個數(shù)是3 的倍數(shù)多 1 ，用7 除的余數(shù) 2；

9、 2 的個數(shù)是3 的倍數(shù)多 2 ，用7 除的余數(shù)為 4因 2200323 6672 ，所以22003 除以 7 余 4又兩個數(shù)的 除以7 的余數(shù)，與兩個數(shù)分 除以7 所得余數(shù)的 相同而2003 除以 7 余 1，所以 20032除以7 余 1故 22003 與 20032的和除以 7 的余數(shù)是 4 1 5 【例 9】求 2461 135604711的余數(shù)【解析】 因 為 2461 11 223.8 ，135 11 12.3 ，6047 11 549.8 ，根據(jù)同余定理 ( 三) ， 2461 135 6047 11的余數(shù)等于 8 3 8 11 的余數(shù)，而 8 3 8 192 ，1921117.

10、5 ，所以 2461135604711 的余數(shù) 5【例 10】 求 31997 的最后兩位數(shù)【解析】 即考 31997除以 100 的余數(shù)由于100425 ，由于 3327 除以 25 余 2，所以39除以 25 余 8，310除以 25 余 24，那么 320除以 25 余 1；又因 32除以 4 余 1， 320除以 4 余 1；即3201能被 4和 25 整除，而 4 與 25 互 ，所以 3201 能被 100 整除，即 320除以 100 余1，由于 199720 9917 ，所以 31997除以 100 的余數(shù)即等于317除以 100 的余數(shù)，而 367295243 除以 100余

11、 43，1762517的余數(shù)等于除以 100 余 29， 33(3 )3，所以 3除以 1002929 43 除以 100 的余數(shù)，而 2929 4336163 除以 100 余 63，所以 31997除以 100 余63，即 31997的最后兩位數(shù) 6320082【例 11】 22008 除以 7 的余數(shù)是多少？31， 2008 3 6691 ，所以 2200823 669136692 ，其【解析】 2 8 除以 7 的余數(shù) (2 )除以 7 的余數(shù) ： 166922 ； 2008 除以 7 的余數(shù) 6， 20082除以 7 的余數(shù)2除以 7 的余數(shù)， 200821 3 等于 61；所以 2

12、2008 除以 7 的余數(shù) ： 2.課后作業(yè).【作業(yè) 1】 5122 除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)?！敬鸢浮?79【作業(yè) 2】明明在一次計算除法時， 把被除數(shù) 171 錯寫成 117，結(jié)果商少 3 而余數(shù)恰恰相同，這題中的除數(shù)是多少？【答案】 18【作業(yè) 3】兩數(shù)相除，商4 余 8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是 _【解析】 因為被除數(shù)減去8 后是除數(shù)的4 倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為（ 415 4 8 8）（41） 79 ，所以，被除數(shù)為 79 4 8 324 。【作業(yè) 4】 1013 除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是12 求出符合條件的所有的兩位數(shù)【解析】

13、1013 12 1001 ，10017 1113 ，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11,13,77,91，因為“余數(shù)小于除數(shù)”, 所以舍去 11，答案只有 13,77,91。【作業(yè) 5】 求 478 296 351除以 17 的余數(shù)【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大可先分別計算出各因數(shù)除以17 的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以 17 的余數(shù) 478,296,351除以 17 的余數(shù)分別為2，7 和 11， (2 7 11)17 9.1 【作業(yè) 6】一個大于1 的數(shù)去除290， 235， 200 時，得余數(shù)分別為a ， a2 ， a5 ，則這個自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)題意可知， 這個自然數(shù)去除2

14、90，233，195 時，得到相同的余數(shù) （都為 a ）既然余數(shù)相同， 我們可以利用余數(shù)定理， 可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0那么這個自然數(shù)是 290233 57 的約數(shù)，又是 233 195 38 的約數(shù)，因此就是 57 和 38 的公約數(shù) , 因為 57 和 38的公約數(shù)只有 19 和 1，而這個數(shù)大于 1，所以這個自然數(shù)是19.【作業(yè)7】有 48 本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5 人如果把書全部分給第一組，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4 本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由 484 12 ，48 5

15、9.6 知，一組是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ，484 12知，二組是 13、 14 或 15 人，因為二組比一組多 5 人，所以二組只能是15 人，一組 10 人【作業(yè) 8】 某個大于 1 的自然數(shù)分別除442，297， 210，得到相同的余數(shù)，則該自然數(shù)為?！痉治觥渴紫纫宄粋€事實：兩個數(shù)被同一個數(shù)除余數(shù)相同，則這兩個數(shù)相減（大減?。┠鼙贿@個數(shù)整除。知道了這個事實后我們就很容易做這個題了。因為該自然數(shù)能整除 442297145 ，也能整除 442210232 ，同樣能整除29721087 。所以可知這個自然數(shù)必定是145，232，87 的公約數(shù)。而這三個數(shù)大于1 的公約數(shù)只有29。所以可知這個自然數(shù)為29。【作業(yè) 9】 兩位自然數(shù) ab 與 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即(10ab) （