1、.,1.1.1-1.1.2命題與四種命題,高二數(shù)學(xué) 選修2-1 第一章 常用邏輯用語,歌德是18世紀(jì)德國的一位著名文藝大師，一天，他與一位批評家“狹路相逢”，這位文藝批評家生性古怪，遇到歌德走來，不僅沒有相讓，反而賣弄聰明，一邊高地往前走。一邊大聲說道：“我從來不給傻子讓路！”而對如此的尷尬的局面，但只是歌德笑容可掏，謙恭的閃在一旁，一邊有禮貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”結(jié)果故作聰明的批評家，反倒自討沒趣。,你能分析此故事中歌德與批評家的言行語句嗎？,第一章,常用邏輯用語,“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)” 邏輯是研究思維形式和規(guī)律的科學(xué). 邏輯用語是我們必不可少的工具. 通過學(xué)習(xí)和使用常用邏輯用語,掌握

2、常用邏輯用語的用法,糾正出現(xiàn)的邏輯錯(cuò)誤,體會運(yùn)用常用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡捷性.,.,命題及其關(guān)系,1.1.1 命題,.,思考,下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)?你能判斷 它們的真假嗎? （1） 125; （2） 3是12的約數(shù); （3） 0.5是整數(shù); （4）對頂角相等; （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,則x=1.,語句都是陳述句，,并且可以判斷真假。,.,命題的概念,用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。 判斷為真的語句叫做真命題。 判斷為假的語句叫做假命題。 理解： 1）命題定義的核心是判斷，切記：判斷的標(biāo)準(zhǔn) 必須確定，判斷的結(jié)果可真可假，但真假必居其一

3、。 2）含有變量且在未給定變量的值之前無法確定語句的真假。,（1） 125; （2） 3是12的約數(shù); （3） 0.5是整數(shù); （4）對頂角相等; （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,則x=1.,.,用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。如何判斷一個(gè)語句是不是命題？,7是23的約數(shù)嗎? X5. -2a3. 畫線段AB=CD.,開語句,判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵看這語句是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假” 這兩個(gè)條件。,有些語句中含有變量，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假，這樣的語句叫開語句，以后會專門研究。,疑問句,祈使句,.,今天天氣如何？ 你是不是

4、作業(yè)沒交？ 這里景色多美??！ -2不是整數(shù)。 43。 x4。,看看下列語句是不是命題？,不是（疑問句） 不是（疑問句） 不是（感嘆句） 是（否定陳述句） 是（肯定陳述句） 不是（開語句）,.,例1 判斷下面的語句是否為命題?若是命題，指出它的真假。,(1) 空集是任何集合的子集.,(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù),則a是奇數(shù).,(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎?,(4)若平面上兩條直線不相交, 則這兩條直線平行.,(5),(6)x15.,（是，真）,（是，真）,（是，假）,（是，假）,（不是命題）,（不是命題）,.,練習(xí) 判斷下列語句是否是命題 .,（1）求證 是無理數(shù)。 （2） （3）你是高二學(xué)生嗎？ （4）并

5、非所有的人都喜歡蘋果。 （5）一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。 （6）若 ，則 （7）x+30.,(1)(3)(7)不是命題，(2)(4)(5)(6)是命題。,.,“若p則q”形式的命題,命題“若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)?！本哂小叭魀則q”的形式。,通常,我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論。 “若p則q”形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式,也可寫成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。 其中p和q可以是命題也可以不是命題. “若p則q”形式的命題的優(yōu)點(diǎn)是條件與結(jié)論容易辨別,缺點(diǎn)是太格式化且不靈活.,.,“若p則q”形式的命題的書寫,了解命題表示的判斷,明確與

6、判斷有關(guān)的條件與結(jié)論。 對于一些條件與結(jié)論不明顯的命題,一般采取先添補(bǔ)一些命題中省略的詞句, 確定條件與結(jié)論。 如命題:“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”。 寫成“若p則q”的形式為： 若兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行。,.,例2 指出下列命題中的條件p和結(jié)論q：,若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù)； 菱形的對角線互相垂直且平分。,解：1) 條件p：整數(shù)a能被2整除， 結(jié)論q：整數(shù)a 是偶數(shù)。,2) 寫成若p，則q 的形式：若四邊形是菱形， 則它的對角線互相垂直且平分。 條件p：四邊形是菱形， 結(jié)論q：四邊形的對角線互相垂直且平分。,.,例3 把下列命題改寫成“若p則q”的形式,并判定

7、真假。,(1) 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù). (2) 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱. (3)垂直于同一條直線的兩條直線平行 (4) 面積相等的兩個(gè)三角形全等. (5) 對頂角相等.,真命題 真命題 假命題 假命題 真命題,.,練習(xí),1、將命題“a0時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加”改寫成“p則q”的形式，并判斷命題的真假。,解答:a0時(shí)，若x增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨之 增加，它是真命題,在本題中，a0是大前提，應(yīng)單獨(dú)給出，不能把大前提也放在命題的條件部分內(nèi),.,2、把下列命題改寫成“若p,則q”的形式，并判斷它們的真假.,（1）等腰三角形兩腰的中線相等； （2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

8、（3）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，則三角形兩邊上的中線相等。這是真命題。,(2)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，這是真命題。,(3)若兩個(gè)平面垂直于同一平面，則這兩個(gè)平面互相平行。這是假命題。,.,命題及其關(guān)系,1.1.2 四種命題,.,回顧,交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是_ 同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是_ 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是_,逆命題。,否命題。,逆否命題。,.,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若p, 則

9、q 若q, 則p,.,觀察與思考,？,你能說出其中任意兩個(gè)命題之間的關(guān)系嗎?,.,課堂小結(jié),原命題 若p則q,逆命題 若q則p,否命題 若 p則 q,逆否命題 若 q則p,互為逆否 同真同假,互為逆否 同真同假,.,2）原命題：若a=0, 則ab=0。,逆命題：若ab=0, 則a=0。,否命題：若a 0, 則ab0。,逆否命題：若ab0,則a0。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四種命題的真假,看下面的例子：,1）原命題：若x=2或x=3, 則x2-5x+6=0。,逆命題：若x2-5x+6=0, 則x=2或x=3。,否命題：若x2且x3, 則x2-5x+60 。,逆否命題：若x2-

10、5x+60，則x2且x3。,(真),(真),(真),3）原命題：若xAB，則x U A UB。,Help,假,假,假,假,.,四種命題的真假,有且只有下面四種情況:,.,想一想？,（2） 若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。,由以上三例及總結(jié)我們能發(fā)現(xiàn)什么？,即 原命題與逆否命題同真假。,原命題的逆命題與否命題同真假。,（1） 原命題為真，則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真。,(兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系).,幾條結(jié)論:,.,1.判斷下列說法是否正確。,1）一個(gè)命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；,（對）,2）一個(gè)命

11、題的否命題為真，它的逆命題一定為真。,（對）,2.四種命題真假的個(gè)數(shù)可能為（ ）個(gè)。,答：0個(gè)、2個(gè)、4個(gè)。,如：原命題：若AB=A, 則AB=。,逆命題：若AB=，則AB=A。,否命題：若ABA，則AB。,逆否命題：若AB，則ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一個(gè)命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。,（錯(cuò)）,4）一個(gè)命題的逆否命題為假，它的否命題為假。,（錯(cuò)）,練一練,.,練習(xí)：分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。,（1）若q1,則方程 有實(shí)根。 （2）若ab=0,則a=0或b=0. （3）若 或 ，則 。 （4）若 ，則x,y全為零。,.,總結(jié),.,

12、反證法：,要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的。 即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。,.,反證法的步驟：,假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾。 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。,.,例 證明：若p2q22，則pq2.,將“若p2q22，則pq2”看成原命題。由于原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，要證原命題為真命題，可以證明它的逆否命題為真命題。,即證明 為真命題,.,假設(shè)原命題結(jié)論的反面成立,看能否推出原命

13、題條件的反面成立,嘗試成功,得證,例 證明：若p2q22，則pq2.,.,變式練習(xí),1、已知 。求證：,這說明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。,解：假設(shè)p+q2,那么q2-p,根據(jù)冪函數(shù) 的單調(diào)性，得,即,所以,因此,.,可能出現(xiàn)矛盾四種情況：,與題設(shè)矛盾； 與反設(shè)矛盾； 與公理、定理矛盾； 在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。,.,證明:,因?yàn)?所以,例 用反證法證明： 如果ab0，那么 .,.,練 圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。,已知：如圖，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.,證明：,假設(shè)弦AB 、CD被P平分，,P點(diǎn)一定

14、不是圓心O，連接OP，根據(jù)垂徑定理的推論，,有,OPAB, OPCD,即 過點(diǎn)P有兩條直線與OP都垂直，,這與垂線性質(zhì)矛盾，,弦AB、CD不被P平分。,.,若a2能被2整除，a是整數(shù)，求證：a也能被2整除.,證：假設(shè)a不能被2整除，則a必為奇數(shù)， 故可令a=2m+1(m為整數(shù)), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此結(jié)果表明a2是奇數(shù)， 這與題中的已知條件（a2能被2整除）相矛盾, a能被2整除.,.,.,.,下列四個(gè)命題中，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 若f(x)是周期函數(shù)

15、，則f(x)是正弦函數(shù)； 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)； 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)。,.,觀察命題(1)與命題(2)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；,互逆命題：一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，這兩個(gè)命題叫做互逆命題。 原 命 題：其中一個(gè)命題叫做原命題。 逆 命 題：另一個(gè)命題叫做原命題的逆命題。,即 原命題:若p,則q,逆命題:若q,則p,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是“兩直線平行，同位角相等”。,原命題與其逆命題的真假是否存在

16、相關(guān)性呢?,.,觀察命題(1)與命題(3)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 3. 若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).,原命題:若p,則q,為書寫簡便,常把條件p的否定和結(jié)論q的否定分別記作 “p” “q”,否命題:若p,則q,互否命題 原命題 (原命題的)否命題,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的否命題是“同位角不相等，兩直線不平行”。,原命題與其否命題的真假是否存在相關(guān)性呢?,.,觀察命題(1)與命題(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？,若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； 4. 若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是

17、正弦函數(shù).,原命題: 若p, 則q,逆否命題: 若q, 則p,互為逆否命題 原命題 (原命題的)逆否命題,例如，命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是“兩直線不平行，同位角不相等”。,原命題與其逆否命題的真假是否存在相關(guān)性呢?,.,、互否命題：如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論是第二個(gè)命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題。,、互為逆否命題：如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是第二個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。,、互逆命題：如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二

18、個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題。,三個(gè)概念,.,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若p, 則q 若q, 則p,.,判斷正誤,并說明理由:,(1)若原命題是“對頂角相等”, 它的否命題是“對頂角不相等”。 (2)若原命題是“對頂角相等”, 它的否命題是“不成對頂關(guān)系的 兩個(gè)角不相等”。,.,否命題與命題的否定,否命題是用否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。 命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”作用于判斷,只否定結(jié)論不否定條件。 對于原命題: 若 p , 則 q 有 否命題: 若p , 則q 。 命題的否定: 若 p ，則q 。,.,例 設(shè)原命題是“當(dāng)c 0 時(shí)，若a b ，則ac bc ”，寫出它的逆命題、否命題、逆否命題