1、,2014最新人教版九年級上冊數(shù)學,22.1.2二次函數(shù)y=ax和y=ax+k的圖像和性質,烏市第58中學 GYS,知識回顧,1、二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？,y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù),a 0),探究新知,你會用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象嗎?,觀察y=x2的表達式,選擇適當x值,并計算相應的y值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,描點,連線,y=x2,二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線,這條拋物線關于 y軸對稱,y軸就 是它的對稱軸.,對稱軸與拋物 線的交點叫做 拋物線的頂點.,議一議,(2)圖象 與x軸有交點嗎？如果有,交點坐標是什么?

2、,(4)當x0呢？,(3)當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？,觀察圖象,回答問題：,(1)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?請你找出幾對對稱點？,當x0 (在對稱軸的 左側)時,y隨著x的增大而 減小.,當x0 (在對稱軸的 右側)時, y隨著x的增大而 增大.,拋物線y=x2在x軸的 上方(除頂點外),頂點 是它的最低點,開口 向上,并且向上無限 伸展;當x=0時,函數(shù)y 的值最小,最小值是0.,(1)二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？,做一做,你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？,(2)先想一想，然后作出它的圖象,(3)它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關

3、系？,在學中做在做中學,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描點,連線,y=-x2,當x0 (在對稱軸的 左側)時,y隨著x的增大而 增大.,當x0 (在對稱軸 的右側)時, y隨著 x的增大而減小.,y,拋物線y= -x2在x軸的 下方(除頂點外),頂點 是它的最高點,開口 向下,并且向下無限 伸展;當x=0時,函數(shù)y 的值最大,最大值是0.,畫一畫,在同一坐標系中畫出函數(shù)y=3x2和y=-3x2的圖象,1.拋物線y=ax2的頂點是原點,對稱軸是y軸.,2.當a0時，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點外),它的開口向上,并且向上無限

4、伸展； 當a0時,拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點外),它的開口向下,并且向下無限伸展.,3.當a0時,在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小；在對稱軸右側,y隨著x的增大而增大.當x=0時函數(shù)y的值最小. 當a0時，在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側,y隨著x增大而減小,當x=0時,函數(shù)y的值最大.,二次函數(shù)y=ax2的性質,歸納,做一做,(1)拋物線y=2x2的頂點坐標是 ,對稱軸是 , 在對稱軸 側,y隨著x的增大而增大；在對稱軸 側, y隨著x的增大而減小,當x= 時,函數(shù)y的值最小,最小 值是 ,拋物線y=2x2在x軸的 方(除頂點外).,(2)拋物線 在x軸的

5、方(除頂點外),在對稱軸的左側,y隨著x的 ；在對稱軸的右側,y隨著x的 ,當x=0時,函數(shù)y的值最大,最大值是 , 當x 0時,y0.,解:(1) 列表,(2) 描點,(3) 連線,y=x2,畫最簡單的二次函數(shù) y = x2 的圖象,列表時應注意 什么問題？,描點法,列表,描點,連線,描點時應以哪些數(shù)值作為點的坐標？,連線時應注意什么問題？,二次函數(shù) y = x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線 y = x2 ，,二次函數(shù)y = x 2 的圖象是軸對稱圖形，,一般地，二次函數(shù) y = ax2 + bx + c（a0） 的圖

6、象叫做拋物線y = ax2 + bx + c,拋物線 與它的對稱軸的交點 （0，0）叫做拋物線 的頂點,它是拋物線 的最低點,實際上, 二次函數(shù)的圖象都是拋物線，,對稱軸是y軸,這條拋物線是軸對稱 圖形嗎？如果是， 對稱軸是什么？,拋物線與對稱軸 有交點嗎？,例題與練習,例1.在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y= x2和y=2x2的圖象,解: (1) 列表,(2) 描點,(3) 連線,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,函數(shù)y= x2,y=2x2的圖象與函數(shù)y=x2(圖中虛

7、線圖形)的圖象相比,有什么共同點和不同點?,觀察,共同點:,不同點:,開口都向上;,頂點是原點而且是拋物線 的最低點，對稱軸是 y 軸,開口大小不同;,|a|越大，,在對稱軸的左側， y隨著x的增大而減小。,在對稱軸的右側，y隨著x的增大而增大。,拋物線的開口越小。,解: (1) 列表,(2) 描點,(3) 連線,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4

8、,-5,觀察,函數(shù)y= x2,y=2x2的圖象與函數(shù)y=x2 (圖中藍線圖形)的圖象相比,有什么共同點和不同點?,共同點:,開口都向下;,不同點:,頂點是原點而且是拋物線 的最高點，對稱軸是 y 軸,開口大小不同;,|a| 越大，,在對稱軸的左側， y隨著x的增大而增大。,在對稱軸的右側， y隨著x的增大而減小。,拋物線的開口越小,(1)函數(shù)y=4x2+5的圖象可由y=4x2的圖象 向 平移 個單位得到；y=4x2-11的圖象 可由 y=4x2的圖象向 平移 個單位得到。,（3）將拋物線y=4x2向上平移3個單位，所得的 拋物線的函數(shù)式是 。 將拋物線y=-5x2+1向下平移5個單位,所得的

9、拋物線的函數(shù)式是 。,(2)將函數(shù)y=-3x2+4的圖象向 平移 個單位可得 y=-3x2的圖象；將y=2x2-7的圖象向 平移 個 單位得到y(tǒng)=2x2的圖象。將y=x2-7的圖象 向 平移 個單位可得到 y=x2+2的圖象。,上,5,下,11,下,4,上,7,上,9,y=4x2+3,y=-5x2-4,小試牛刀,對比拋物線，y=x2和y=x2.它們關于x軸對稱嗎？一般地，拋物線y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐標系內(nèi),拋物線 與 拋物線 是關于x軸對稱的.,1、根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空： （1）拋物線y=2x2的頂點坐標是 , 對稱軸是 ，在 側， y隨著x的增大而增大；在 側， y隨著

10、x的增大而減小，當x= 時， 函數(shù)y的值最小，最小值是 ,拋物 線y=2x2在x軸的 方（除頂點外）。,（2）拋物線 在x軸的 方（除頂點外），在對稱軸的 左側，y隨著x的 ；在對稱軸的右側，y隨著x的 ，當x=0時，函數(shù)y的值最大，最大值是 ， 當x 0時，y0.,（0，0）,y軸,對稱軸的右,對稱軸的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而減小,0,課堂練習,二次函數(shù)的圖像,例2. 在同一直角坐標系中,畫出二次函數(shù)y=x2+1和y=x2 1的圖像,解: 列表,y=x2+1,y=x21,描點,連線,二次函數(shù)的圖像,(1) 拋物線y=x2+1,y=x21的開口方向、對稱軸、頂點各是什么? (2)

11、拋物線y=x2+1,y=x21與拋物線y=x2有什么關系?,討論,（1）拋物線y=x2+1:,開口向上,頂點為(0,1).,對稱軸是y軸,拋物線y=x21:,開口向上,頂點為(0, 1).,對稱軸是y軸,當a0時，拋物線y=ax2+k的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，y隨x的增大而 ，在對稱軸的右側,y隨x的增大而 ， 當x= 時，取得最 值，這個值等于 ； 當a0時,拋物線y=ax2+k的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，y隨x的增大而 ，在對稱軸的右側,y隨x的增大而 ，當x= 時，取得最 值，這個值等于 。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,y

12、=x2-2,y=x2+1,y=x2,向上,y軸,(0,k),減小,增大,0,小,k,向下,y軸,(0,k),增大,減小,0,大,k,觀 察 思 考,（4）拋物線y=-3x2+5的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，y隨x的增大而 ，在對稱軸的右側，y隨x的增大而 ， 當x= 時，取得最 值，這個值等于 。,6.二次函數(shù)y=ax2+k (a0)的圖象經(jīng)過點A（1，-1），B（2，5），則函數(shù)y=ax2+c的表達式為 。若點C(-2,m),D（n ,7）也在函數(shù)的圖象上，則點C的坐標為 點D的坐標為 .,（5）拋物線y=7x2-3的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，y

13、隨x的增大而 ，在對稱軸的右側，y隨x的增大而 ， 當x= 時，取得最 值，這個值等于 。,下,y軸,(0,5),減小,增大,0,大,5,上,y軸,(0,-3),減小,增大,0,小,-3,y=2x2-3,(-2, 5),或,小試牛刀,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y軸,y軸,當x0時， y隨著x的增大而減小。,當x0時, y隨著x的增大而增大。,x=0時,y最小=0,x=0時,y最大=0,拋物線y=ax2 (a0)的形狀是由|a|來確定的,一般說來, |a|越大,歸納小結,當x0時， y隨著x的增大而增大。,當x0時， y隨著x的增大而減小。,拋物線的開口就越小.,|a|越小,拋物線

14、的開口就越大.,1、二次函數(shù)y=ax2的圖象是什么？,2、二次函數(shù)y=ax2的圖象有何性質？,3、拋物線y=ax2 與y=-ax2有何關系？,小結,歸納,二次函數(shù) 的圖象及性質：,1.圖象是一條拋物線，對稱軸是y軸， 頂點是原點。,歸納,二次函數(shù) 的圖象及性質：,2.當a0時，開口向上，頂點是最低點， a值越大，拋物線開口越??； 在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小， 在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大。,歸納,二次函數(shù) 的圖象及性質：,3.當a0時，開口向下，頂點是最高點， a值越大，拋物線開口越大； 在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大； 在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小。,鞏固,1、說出下

15、列函數(shù)圖象的性質：,2、已知二次函數(shù) 的圖形經(jīng) 過點(-2，-3)。 (1)求a的值，并寫出函數(shù)解析式； (2)說出函數(shù)圖象的頂點坐標、對稱軸、 開口方向和圖象的位置；,鞏固,鞏固,3、若拋物線 的開口 向下，求n的值。,鞏固,4、若拋物線 上點P的坐標為 (2，-24)，則拋物線上與P點對稱的點 P的坐標為 。,鞏固,5、若m0，點(m+1，y1)、 (m+2，y2)、,y1、 y2、y3的大小關是 。,(m+3，y3)在拋物線 上，則,練習 1.把拋物線 向下平移2個單位，可以得到拋物線 ，再向上平移5個單位，可以得到拋物線 ； 2.對于函數(shù)y= x2+1，當x 時，函數(shù)值y隨x的增大而增

16、大；當x 時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當x 時，函數(shù)取得最 值,為 。,0,0,=0,大,0,3.函數(shù)y=3x2+5與y=3x2的圖象的不同之處是( ) A.對稱軸 B.開口方向 C.頂點 D.形狀 4.已知拋物線y=2x21上有兩點(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1x20，則y1 y2(填“”或“”) 5.已知拋物線 ，把它向下平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若ABC是直角三角形，那么原拋物線應向下平移幾個單位？,C,大顯身手,(1)已知二次函數(shù)y=3x2+4,點A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)在其圖象上,且x2|x1|, |x3|x4|, 則 ( ),x1,x2,x3,x4,y1,y4,y3,y2,A.y1y2y3y4,B.y2y1y3y4,C.y3y2y4y1,D.y4y2y3y1,B,（2）已知二次函數(shù)y=ax2+c ，當x取x1,x2(x1x