1、概率統(tǒng)計基礎知識,質量安全部,目錄,第二部分,隨機變量及其分布,第一部分,概率基礎知識,概率基礎知識,一、事件與概率 （一）隨機現(xiàn)象 1、定義：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。 2、隨機現(xiàn)象的特點： 隨機現(xiàn)象的結果至少有兩個； 至于哪一個出現(xiàn)，事先人們并不知道。 3、樣本點（抽樣單元）：隨機現(xiàn)象中的每一個可能結果，稱為一個樣本點，又稱為抽樣單元。 4、樣本空間：隨機現(xiàn)象一切可能樣本點的全體稱為這個隨機現(xiàn)象的樣本空間，常記為。 認識一個隨機現(xiàn)象首要的就是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結果。,例 一天內進某超市的顧客數(shù): =0,1,2, 一顧客在超市購買的商品數(shù): =0,1,

2、2, 一顧客在超市排隊等候付款的時間: =t:t 0 一顆麥穗上長著的麥粒個數(shù): =0,1,2, 新產(chǎn)品在未來市場的占有率: =0,1 一臺電視機從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間: =t:t 0 加工機構軸的直徑尺寸: = 一罐午餐肉的重量： = Gg ,概率基礎知識,（二）隨機事件 定義：隨機現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件，簡稱事件，常用 大寫字母A、B、C 等表示。 1、隨機事件的特征 任一事件A是相應樣本空間中的一個子集； 事件A發(fā)生當且僅當A中某一樣本點發(fā)生； 事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用的語言應是明確無誤的； 任一樣本空間都有一個最大子集，這個最大子集就是，它對應

3、的事件就是必然事件，仍用表示； 任一樣本空間都有一個最小子集，這個最小子集就是空集，它對應的事件稱為不可能事件，記為。,概率基礎知識,2、隨機事件之間的關系 包含：【若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記為 B A 或 A B?！?互不相容： 【若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱事件A與B互不相容。】（互斥） 兩個事件間的互不相容性可推廣到三個或更多個事件間的互不相容。,概率基礎知識,相等：【若事件A與B有相同的樣本點，則稱事件A與B相等?！咳羰录嗀包含事件B ，事件B 也包含事件A ，則稱事件A 和B相等。 例 擲骰子：=1，2，3，4，5，6，設事件A =“等于小于4的數(shù)”=1

4、，2，3，4，事件B =“偶數(shù)”=2，4，6，顯然A與B有相同的樣本點2，4，但事件A與B 并不相等。可定義為“若事件A與B有完全相同的樣本點，則稱事件A與B 相等”。,5,概率基礎知識,（三）事件的運算 對立事件（又稱為互逆事件或逆事件）【在中而不在A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件（互逆事件）。記為 （讀非A）?！?概率基礎知識,補充：互斥事件與互逆事件的區(qū)別： 互斥事件：若事件A與B不能同時發(fā)生，即AB = ， 則稱事件A與B互不相容。 互逆事件：若事件A+B=，AB=，則稱A與B為互逆事件（對立事件）。 兩事件互逆，必定互斥；但兩事件互斥，不一定互逆。 互斥事件適用于多個事件,但互

5、逆事件只適用于兩個事件。 兩事件互斥，只表明兩事件不能同時出現(xiàn)，即至多只能出現(xiàn)其中一個，但可以都不出現(xiàn)。兩個事件互逆，則表示兩個事件之中有且僅有一個出現(xiàn)，即肯定了至少有一個出現(xiàn)。,事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本點組成的新事件為A與B的并，記為AB或A+B。并事件意味著事件A與事件B至少有一個發(fā)生?！?概率基礎知識,事件A與B的交（又稱為積事件）【由事件A與事件B中公共的樣本點組成的新事件稱為為事件A與B的交，記為AB，簡記為AB。交事件意味著事件A與事件B同時發(fā)生?！?事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為AB?！?概率基

6、礎知識,例：打靶，最高環(huán)數(shù)為10環(huán)。若設事件A = 擊中三環(huán)以上的事件=3，4，5，6，7，8，9，10，事件B = 最多擊中4環(huán)的事件 = 0，1，2，3，4。 則 AB = 5，6，7，8，9，10 = 擊中5環(huán)以上的事件； 另 BA = 0，1，2 = 最多擊中2環(huán)的事件,概率基礎知識,事件運算具有如下性質： 1、交換律：ABBA，ABBA 2、結合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC) 4、對偶律： 以上性質都可推廣到多個事件運算中去。 例 甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中

7、目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：,（四）概率 事件發(fā)生可能性大小的度量 一個隨機事件A發(fā)生可能性的大小用這個事件的概率P（A）來表示。概率是一個介于0到1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。 特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。即： P() = 0 P() = 1,概率基礎知識,二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義 （一）古典定義 用概率的古典定義確定概率方法的要點如下： （1）所涉及的隨機現(xiàn)象只有有限個樣本點，設共有 n 個樣本點； （2）每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）； （3）若被考察的事件A含有 k個樣本點，則事件

8、A的概率定義為：,概率基礎知識,乘法原理：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法 加法原理：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。 可以推廣到多個步驟和途徑事件。,（二）統(tǒng)計定義 用概率的統(tǒng)計定義確定概率方法的要點如下： （1）此隨機現(xiàn)象是能大量重復試驗的； （2）若在n次重復試驗中，事件A發(fā)生kn 次，則事件A發(fā)生的頻率為 （3）頻率 會隨重復試驗次數(shù)增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。,概率基礎知識,例 投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)

9、n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右。,概率基礎知識,三、概率的性質及其運算法則 （一）概率的基本性質及加法法則 性質1：概率是非負的，且數(shù)值介于0與1之間， 0 P(A) 1，特別，P() = 0, P() = 1 性質2： 或 性質3：若A B，則 性質4： 性質5：,概率基礎知識,（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨立性 （1）條件概率與概率的乘法法則 條件概率要涉及兩個事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計算公式為： 性質6：（乘法法則）對任意兩個隨機事件A與B，有 P（AB）=P(B)P（A|B） P(B)

10、0 =P(A)P（B|A） P(A) 0,概率基礎知識,（2）獨立性與獨立事件的概率 設有兩個事件A與B，假如其中一個事件的發(fā)生不依賴另一個事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨立。 性質7：假如兩個事件A與B相互獨立，則A與B同時發(fā)生的概率為 性質8：假如兩個事件A與B相互獨立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。,概率基礎知識,例 一家電腦公司從兩個供應商處購買了同一種計算機配件，質量狀況如下表所示 從這200個配件中任取一個進行檢查，求 (1) 取出的一個為正品的概率 (2) 取出的一個為供應商甲的配件的概率 (3) 取出一個為供應商甲

11、的正品的概率 (4) 已知取出一個為供應商甲的配件，它是正品的概率,概率基礎知識,概率基礎知識,解：設 A = 取出的一個為正品 B = 取出的一個為供應商甲供應的配件 （1） （2） （3） （4）,例 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下的30%的產(chǎn)品要調試后再定，已知調試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn)品的報廢率。 解：設 A=生產(chǎn)的產(chǎn)品要報廢 B=生產(chǎn)的產(chǎn)品要調試 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,概率基礎知識,隨機變量及其分布,一、隨機變量 1、定義：用來表示隨機現(xiàn)象結果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母X、Y、Z等表示隨機變量，而隨機變量的值

12、用小寫字母 x、y、z表示 。 例如，在燈泡壽命試驗中，令X為“燈泡壽命”(小時)，則X為一隨機變量。 X500，X1000，800X1200等表示了不同的隨機事件。 2、分類：,離散型隨機變量：假如一個隨機變量僅取數(shù)軸上有限個點或可列個點，則稱此隨機變量為離散隨機變量。 連續(xù)型隨機變量：假如一個隨機變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個區(qū)間（a，b），則稱此隨機變量為連續(xù)隨機變量。 二、隨機變量的分布 隨機變量的取值是隨機的，但其內在還是有規(guī)律性的，這個規(guī)律可以用分布來描述。認識一個隨機變量X的關鍵就是要知道它的分布。分布包含如下兩方面的內容： （1） X可能取哪些值，或在哪個區(qū)間上取值。 （2）

13、 X取這些值的概率各是多少，或X在任一小區(qū)間上取值的概率是多少？,隨機變量及其分布,（一）離散型隨機變量的分布 若隨機變量X只能取有限個值或可列無窮多個值，則稱X為離散型隨機變量。設X的所有可能取值為 ，為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率。 定義1 ：設xk(k=1,2, )是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱 為離散型隨機變量X的概率分布簡稱分布列, 又稱分布律。 其中 (k=1,2, ) 滿足： （1） k=1,2, （2）,隨機變量及其分布,例 某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布。 解： X可取0、

14、1、2為值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 也可表示為： 這就是X的概率分布列。,隨機變量及其分布,（二）連續(xù)型隨機變量 連續(xù)型隨機變量的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，也可以用f(x)表示。連續(xù)型隨機變量還可用概率分布函數(shù)F(x)表示。對連續(xù)型隨機變量X，如果存在非負可積函數(shù)(x)，使得對任意實數(shù) x，有 則稱(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。 由上述性質可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關心它在某一點取值

15、的問題沒有太大的意義；我們所關心的是它在某一區(qū)間上取值的問題 若已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則X在任意區(qū)間G(G可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間;可以是有限區(qū)間,也可以是無窮區(qū)間)上取值的概率為：,隨機變量及其分布,隨機變量及其分布,三、隨機變量分布的均值、方差與標準差 隨機變量X的分布（概率函數(shù)或密度函數(shù)）有幾個很重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。 兩個最重要的特征數(shù)： 1)均值：表示分布的中心位置，E(x) 2)方差：表示分布的散布大小，Var(x) 1、均值的計算公式,隨機變量及其分布,2、方差的計算公式 3、標準差的計算公式,隨機變量及其分布,隨機變

16、量及其分布,均值與方差的運算性質： （1）設X為隨機變量，a與b為任意常數(shù)，則有： E(aX+b) = aE(X) + b Var (aX+b) = a2Var(X) （2）對任意兩個隨機變量X 1與X 2，有： E(X1 + X2) = E( X1 ) + E( X2 ) （3）設隨機變量X 1與X 2獨立，則有： Var(X1 X2) = Var( X1 ) +Var ( X2 ),隨機變量及其分布,四、常用分布 （一）常用離散型分布 常用離散型隨機變量的分布有：單點分布（退化分布）、兩點分布（0-1分布）、幾何分布、二項分布、泊松分布、超幾何分布等，按教材重點介紹后三種。,隨機變量及其分

17、布,1、二項分布 1）重復進行 n 次試驗； 2） n 次試驗間相互獨立； 3）每次試驗僅有兩個可能結果； 4）成功的概率為p，失敗的概率為1-p； 在上述四個條件下，設x表示n次獨立重復試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則有 這個分布稱為二項分布，記為b（n，p）。 均值：E(x)=np 方差： Var(x)= np (1-p),隨機變量及其分布,例 有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設每輛汽車在一天的某段時間內,出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內有1000 輛汽車通過, 問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少? 解：設 1000 輛車通過，出事故的次數(shù)為 X，則 故所求概率為,隨機變量及其

18、分布,2、泊松分布 在一定時間內出現(xiàn)在空間給定區(qū)域的隨機質點的個數(shù)為k的概率服從泊松分布： 泊松分布可用來描述不少隨機變量的概率分布。 例如： 1）一塊鋼板上的氣泡數(shù)；2）一本書上面的印刷錯誤；3）排隊等候的人數(shù)；4）某地區(qū)某月發(fā)生的交通事故； 這個分布就稱為泊松分布，記為P()。其均值、方差、標準差為： E(x) = Var(x)= (x) =,隨機變量及其分布,例 一大批產(chǎn)品，其廢品率為0.015，求任取100件產(chǎn)品，其中有1件不合格品的概率。 解：此時 n = 100 p = 0.015， np = 1.5 若按二項分布計算： 若按泊松分布計算： 比較兩種計算結果可以看出，兩者計算結果的

19、誤差不超過1%。,隨機變量及其分布,3、超幾何分布 其中，r = min（n，M），這個分布稱為超幾何分布，記為h（n，N，M）。 其均值、方差為： 超幾何分布用于從有限的整體中進行不放回抽樣。,隨機變量及其分布,例 在某年級的聯(lián)歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率。 解： 設摸出紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中 ,于是由超幾何分布模型得中獎的概率 0.191,隨機變量及其分布,常用離散型隨機變量分布匯總,隨機變量及其分布,（二）正態(tài)分布 1、正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 它的

20、圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。 正態(tài)分布有兩個參數(shù)和，常記為N（ ，2）。,隨機變量及其分布,2、標準正態(tài)分布 = 0 且 = 1的分布稱為標準正態(tài)分布，記為N（0，1）。也記為U。 1）標準正態(tài)分布表 P( Ua ) = P(U a ) = 1-(a) ( - a) = 1-(a) P(a U b) = (b) -(a) P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a) = 2 (a) -1,隨機變量及其分布,3、標準正態(tài)分布的分位數(shù) 分位數(shù)是一個基本概念，結合標準正態(tài)分布N（0，1）來敘述分位數(shù)概念。 一般說來，對任意介于0與1之間的實數(shù)，標準正態(tài)分布N（0，1

21、）的分位數(shù)是這樣一個數(shù)，它的左側面積恰好為，它的右側面積恰好為1-，用概率的語言來說， 分位數(shù)是滿足下列等式的實數(shù)： P( U u ) = 關于分位數(shù)的正負符號問題： 0.5分位數(shù), 即50%分位數(shù),也稱為中位數(shù)。在標準正態(tài)分布場合：u 0.5 = 0 當 0.5時, u 0 (正數(shù)) 或1 - 永遠為正（概率必為正） u 與 - u對應（下標相同，加負號） u 與 u1-對應（下標不同，不加負號）,隨機變量及其分布,4、有關正態(tài)分布的計算 正態(tài)分布計算是基于下面的重要性質： 性質1： 性質2：設 X N（ ， 2），則對任意實數(shù) a、b有： ,隨機變量及其分布,例 某產(chǎn)品的質量特性 X N(

22、16, 2 ) ,若要求P(12 X 20)0.8，則 最大值應為（ ） A、u 0.9 / 4 B、4 / u 0.9 C、 u 0.9 / 2 D、2 / u 0.9 解：,隨機變量及其分布,產(chǎn)品質量特性的不合格品率的計算 1、質量特性 X 的分布，在受控的情況下，常為正態(tài)分布； 2、產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL。 產(chǎn)品質量特性的不合格品率為： p = pL +pU,隨機變量及其分布,例 某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的長度服從N(10.05 , 0.052) (單位cm)，規(guī)定長度在10.00cm0.10cm內為合格品,則此產(chǎn)品不合格的概率是( ) A、(3) + (1) B、 (3) - (1) C、1- (1) + (-3) D、 (1)- (-