1、.2013 年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分，共計70 分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。1函數(shù) y3sin( 2x4) 的最小正周期為開始2設(shè) z( 2i )2 （ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的模為2n 1， a3雙曲線x2y2n n 1161 的兩條漸近線的方程為9ya 204集合 1,0,1 共有個子集a 3a 2n5右圖是一個算法的流程圖，則輸出的n 的值是輸出 n結(jié)束（第 5 題）6抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設(shè)計運(yùn)動員的5 此訓(xùn)練成績（單位：環(huán)） ，結(jié)果如下：運(yùn)動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙899091889

2、2則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動員成績的方差為方差為： s2 (8990) 2(90 90) 2(91 90)2(8890) 2(92 90) 22 57現(xiàn)在某類病毒記作x myn ，其中正整數(shù)m ， n （ m7 ， n9 ）可以任意選取，則 m， n都取到奇數(shù)的概率為8 如 圖 ， 在 三 棱 柱 a1 b1c1abc 中 ， d，e，f分 別 是c1b1ab，ac，aa1 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐fade 的體積為 v1 ，三棱柱a1a1b1c1 abc 的體積為 v2 ，則 v1 :v2fcebad9拋物線 yx 2 在 x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為d (包含三角形內(nèi)部和邊界)

3、 若點(diǎn) p( x, y) 是區(qū)域 d 內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x2y 的取值范圍是.10設(shè) d，e 分別是abc 的邊 ab，bc 上的點(diǎn)， ad1 ab ， be2 bc ，23若 de1 ab2 ac （ ，2為實數(shù)），則12的值為111已知 f (x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)。當(dāng)x 0 時， f (x) x 24x ，則不等式 f (x) x的解集用區(qū)間表示為12在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，橢圓cx2y 21( a 0, b 0) ，右焦點(diǎn)為的標(biāo)準(zhǔn)方程為2b2af ，右準(zhǔn)線為 l ，短軸的一個端點(diǎn)為b ，設(shè)原點(diǎn)到直線bf 的距離為 d1 ， f 到 l 的距離為 d 2 ，若 d26d1 ，則

4、橢圓 c 的離心率為13在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)定點(diǎn) a(a, a) ， p 是函數(shù) y1 （ x0 ）圖象上一動點(diǎn)，x若點(diǎn) p，a 之間的最短距離為22，則滿足條件的實數(shù)a 的所有值為14在正項等比數(shù)列 an 中， a51， a6a7 3 ，則滿足 a1a2an a1a2 an 的2最大正整數(shù) n 的值為二、解答題：本大題共6 小題，共計90 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分 14 分）已知 a(cos , sin )， b (cos,sin) ， 0（ 1）若 | ab |2 ，求證： ab ；（ 2）設(shè) c(0,1)，若 a bc

5、 ，求,的值16（本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐 sabc 中，平面 sab平面 sbc ， abbc ， asab ，過 a 作afsb，垂足為 f ，點(diǎn) e， g 分別是棱sa， sc的中點(diǎn)求證：（1）平面 efg / 平面 abc ；s（2）bc saegfcab.17（本小題滿分 14 分）y如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，點(diǎn) a(0,3) ，直線 l : y 2x4 l設(shè)圓 c 的半徑為 1，圓心在 l 上a（ 1）若圓心 c 也在直線 y x1上，過點(diǎn) a 作圓 c 的切線，ox求切線的方程；（ 2）若圓 c 上存在點(diǎn) m ，使 ma 2mo ，求圓心 c 的橫坐標(biāo) a 的

6、取值范圍18（本小題滿分 16 分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)a 處下山至 c 處有兩種路徑。一種是從a 沿直線步行到 c ，另一種是先從 a 沿索道乘纜車到 b ，然后從 b 沿直線步行到 c 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 a 處下山，甲沿ac 勻速步行，速度為50m/ min 在甲出發(fā)2 min 后，乙從a 乘纜車到 b ，在 b 處停留 1min 后，再從勻速步行到 c 假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為 130m / min ，山路 ac 長為 1260m ，經(jīng)測量， cos a12 ， cosc3 （ 1）求索道 ab 的長；135（ 2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（ 3）為

7、使兩位游客在 c 處互相等待的時間不超過3 分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ambnd19（本小題滿分 16 分）c設(shè) an 是首項為 a ，公差為 d 的等差數(shù)列 (d0) ， sn 是其前 n 項和記 bnnsn，2ncn n * ，其中 c 為實數(shù)（ 1）若 c0 ，且 b1，b2， b4 成等比數(shù)列，證明：snkn2sk （ k, nn * ）；（ 2）若 bn 是等差數(shù)列，證明：c020（本小題滿分16 分）設(shè)函數(shù)f ( x)ln xax ， g( x)exax ，其中 a 為實數(shù)（1）若 f ( x) 在 (1,) 上是單調(diào)減函數(shù)，且g( x) 在 (1,) 上有最小值，求a

8、 的取值范圍；（2）若 g( x) 在 (1,) 上是單調(diào)增函數(shù)，試求f (x) 的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.2013 年答案一、填空題1、【答案】 22【解析】 t | | | 2| 2、【答案】 5【解析】 z 34i， i2 1， | z | 53、【答案】 y3 x4【解析】令： x 2y 20 ，得 y9x 23 x 1691644、【答案】 8【解析】 23 85、【答案】 3【解析】 n 1，a 2， a 4， n2； a 10， n 3； a 28， n 46、【答案】 2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：899091889290x5207、【答案】63【解析】 m 取到奇

9、數(shù)的有 1，3， 5， 7 共 4 種情況； n 取到奇數(shù)的有1， 3， 5， 7， 9 共 5 種情況，則 m， n 都取到奇數(shù)的概率為4520 79638、【答案】 1： 24【解析】三棱錐f ade 與三棱錐 a1abc 的相似比為1： 2，故體積之比為 1： 8又因三棱錐 a1abc 與三棱柱 a1 b1c1abc 的體積之比為1： 3所以，三棱錐 fade 與三棱柱 a1 b1c1abc 的體積之比為1： 2419、【答案】 2， 2 .【解析】拋物線21zy x 在 x1 處的切線易得為y 2x 1，令 z x2y ， y 2x 2畫出可行域如下，易得過點(diǎn)(0， 1)時， zmin

10、1， 0)時， zmax1 2，過點(diǎn) (22yy 2x 1ox1y 2 x110、【答案】 2【解析】 dedbbe1 ab2 bc1 ab2 (ba ac )23231 ab2 ac1 ab2 ac63所以， 11，22 ， 1 2163211、【答案】 ( 5， 0) (5， )【解析】做出 f ( x) x24x ( x0 )的圖像，如下圖所示。由于f ( x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱做出x0 的圖像。不等式 f ( x)x ，表示函數(shù) y f ( x) 的圖像在y x 的上方，觀察圖像易得：解集為(5， 0) (5， )。yp(5,5)y xy x2 4

11、xxq( 5, 5).12、【答案】3yl3b【解析】如圖，l ： xa2a2b2bac， d2 c，由等面cccofx積得： d1 bc 。若 d 26d1 ，則 b26 bc ，整理acaa2 ，得： 6 b20 ，解之得： b 得： 6a 2ab6b20 ，兩邊同除以：b6aaa6 ，所以，離心率為：b23 e13a313、【答案】 1 或10【解析】14、【答案】 12 an 首項為 a1，公比為 q，則：a1q4112， q【解析】設(shè)正項等比數(shù)列a1q5 (13，得： a132q)2n1(n 1) n 2 ， an 26 n記 tna1a2an，na1 a2an2 2 tnn ，則2

12、5n(n 1) n，化簡得： 2n1n211n 51 n11 n131212 21225 時，n122 12，當(dāng) n2當(dāng)25222n 12 時， t1212 ，當(dāng) n 13時， t1313 ，故 nmax 12二、解答題15、解：（ 1） a b (cos cos ， sinsin)，| a b| 2 (cos cos)2 (sinsin)2 22(cos cos sin sin) 2，所以， cos cos sinsin 0，所以， ab .coscos0（ 2）sinsin11， 2 2 得： cos( )所以， 2， 2 ，33帶入得： sin( 2 ) sin31 ) 1，32cos

13、2sin sin(3所以， 32所以， 5， 6616、證：（ 1）因為 sa ab 且 af sb，所以 f 為 sb的中點(diǎn)又 e， g 分別為 sa， sc的中點(diǎn)，所以， ef ab， egac又 ab ac a， ab面 sbc， ac面 abc，所以，平面 efg / 平面 abc （ 2）因為平面 sab平面 sbc，平面 sab平面 sbcbc， af 平面 asb， af sb所以， af平面 sbc又 bc 平面 sbc，所以， af bc又 ab bc， af ab a，所以， bc平面 sab又 sa 平面 sab，所以， bc sayx 117、解：（ 1）聯(lián)立：2 x，

14、得圓心為： c(3， 2)y4設(shè)切線為： ykx3，| 3k3 2 |r1 ，得： k0ork3dk 214故所求切線為：y0or y3 x3 4（ 2）設(shè)點(diǎn) m (x， y)，由 ma2mo ，知：x 2( y3) 22 x 2y 2 ，化簡得： x2( y1) 24 ，.即：點(diǎn) m 的軌跡為以 (0， 1)為圓心， 2 為半徑的圓，可記為圓d又因為點(diǎn) m 在圓 c 上，故圓 c圓 d 的關(guān)系為相交或相切故： 1 | cd| 3，其中 cda 2(2a 3) 2 12解之得： 0 a18、解：（ 1）如圖作bd ca 于點(diǎn) d，設(shè) bd20k，則 dc 25k， ad 48k，ab52k，由

15、 ac63k1260m ，知： ab 52k1040m （ 2）設(shè)乙出發(fā) x 分鐘后到達(dá)點(diǎn) m，此時甲到達(dá) n 點(diǎn)，如圖所示則： am 130x， an 50(x2)，由余弦定理得： mn 2 am2an22 am ancosa 7400 x2 14000 x 10000，35其中 0 x 8，當(dāng) x 37 (min) 時， mn 最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短（ 3）由（ 1）知： bc 500m ，甲到 c 用時： 1260126(min) 50 512614186若甲等乙 3 分鐘，則乙到c 用時：5 35(min) ，在 bc 上用時： 5(min)此時乙的速度最小，且為：500

16、861250m/min 5 43若乙等甲 3 分鐘，則乙到c 用時： 126 311156(min)55(min) ，在 bc 上用時： 556625此時乙的速度最大，且為：500 5 14 m/min 故乙步行的速度應(yīng)控制在 125062543， 14 范圍內(nèi)19、證：（ 1）若 c0，則 ana(n1) d ， snn( n 1)d 2a(n 1)d 2a2， bn2當(dāng) b1，b2，b4 成等比數(shù)列， b22b1b4 ，d23d即： aa a，得： d 22ad ，又 d0 ，故 d2a 22由此： snn2 a ， snk(nk ) 2 a n2 k 2a ， n2 skn2 k 2 a

17、 故： snkn2sk （ k ,nn * ）.nsnn 2(n 1)d2a（ 2） bnn22，ccn2n2 (n 1)d2ac (n1)d2ac ( n 1)d2a2n222c(n1) d2ac (n1) d2a2( )2n2c若 bn 是等差數(shù)列，則bnanbn 型觀察 ( )式后一項，分子冪低于分母冪，(n 1)d2ac20 ，即 c (n1)d2a0 ，而 (n1) d 2a 0，故有：n2故 c0c22經(jīng)檢驗，當(dāng) c0 時 bn 是等差數(shù)列20、解：（ 1） f (x)1a 0 在 (1,) 上恒成立，則 a 1 ， x(1，) 故： a 1xxg ( x) exa ，若 1 a e，則 g ( x)exa 0 在 (1,) 上恒成立，此時， g( x)exax 在 (1,) 上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；若 a e，則 g ( x)exax 在 (1，ln a) 上是單調(diào)減函數(shù)，在(ln a，) 上是單調(diào)增函數(shù)，()(ln ) ，滿足g minxga故 a 的取值范圍為：a e（2） g (x) exa 0 在 ( 1,) 上恒成立，則a ex，1故： a e f ( x)1a1ax0) x(xx( )若 0 a 1，令f (x) 0得增區(qū)間為 (0，1)；ea令 f (x) 0 得減區(qū)間為 (1 ， ) a.當(dāng) x 0時， f