1、.2017 學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)2018.4一、填空題（本大題共有12 題，滿分54 分，第 1-6 題每題 4 分，第 7-12 題每題 5 分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1已知全集 ur ，集合 ax x 22x30 ，則 cu a.2在x1x6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.3函數(shù) f ( x)lg(3x2x ) 的定義域?yàn)?_ 4已知拋物線x2ay 的準(zhǔn)線方程是y1 ，則 a.3245若一個(gè)球的體積為，則該球的表面積為 _3x，06已知實(shí)數(shù) x， y 滿足y，則目標(biāo)函數(shù) zxy 的最小值為 _0xy1sin xcos x217函數(shù) f (x)的最小正周期是 _1

2、18若一圓錐的底面半徑為3 ，體積是 12，則該圓錐的側(cè)面積等于.9將兩顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m ，記第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n ，向rrrr.量am 2,2 n，向量b1,1，則向量ab的概率 是10已知直線 l1 : mxy0,l2 : xmym 20 . 當(dāng) m 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，l1 與 l2 的交點(diǎn) p 恒在一個(gè)定圓上，則定圓方程是.11 若 函 數(shù) f ( x)2( x1)2sin x 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 為 m、 m ， 則 函 數(shù)x21g (x)mm xsinmm x1 圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是rrr8r4， 若 對(duì) 任 意 的12

3、已 知 向 量 a,b的 夾 角 為 銳 角 ， 且 滿 足 | a |15、 | b |15(x, y)rr1,xy0，都有 | xy |rr( x, y) | xayb |1 成立，則 a b 的最小值為.二、選擇題（本大題共有4 題，滿分 20分，每題分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.uuuruuuruuur uuur13在四邊形 abcd 中， abdc ，且 ac bd 0，則四邊形 abcd 是 -（）（ a）菱形（ b）矩形（ c）直角梯形（ d）等腰梯形14. 若無(wú)窮等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn ，首項(xiàng)為 1，公比為1 ，

4、且 lim sna ，2n1( nn* )，則復(fù)數(shù) z（ i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于-（）ai（ a）第一象限（ b）第二象限（c）第三象限（ d）第四象限15在abc 中，“ cos asin a cosb sin b ”是“c900 ”的 -（）（ a） 充分非必要條件（ b）必要非充分條件（ c） 充要條件（ d）既不充分也不必要條件16如圖，圓 c 分別與 x 軸正半軸， y 軸正半軸相切于點(diǎn)a, b ，過(guò)劣弧 ab 上一點(diǎn) t 作圓 c 的切線，分別交x 軸正半軸， y 軸正半軸于點(diǎn)m , n ，若點(diǎn) q(2,1)是切線上一點(diǎn)，則mon 周長(zhǎng)的最小值為-()（ a）10（

5、 b） 8（ c） 4 5（ d） 12三、解答題（本大題共有5 題，滿分76 分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17 (本題滿分 14 分，第 1 小題滿分6 分，第2 小題滿分8 分 )如 圖 在 長(zhǎng) 方 體 abcda1 b1c1 d1中 ， ab2 ， ad4 ，d 1c 1ac121 ，點(diǎn) m 為 ab 的中點(diǎn)，點(diǎn) n 為 bc 的中點(diǎn)ab11（ 1）求長(zhǎng)方體 abcd a1 b1c1 d1 的體積；dcn（ 2）求異面直線a1m 與 b1n 所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表amb示）.c 處？.18 (本題滿分14 分，第 1 小題滿分6 分，第 2 小題滿分8 分

6、 )如圖：某快遞小哥從a 地出發(fā)，沿小路abbc 以平均時(shí)速20 公里 / 小時(shí)，送快件到c 處，已知bd10 （公里），dcb450 ,cdb300 ，abd 是等腰三角形，abd1200 （ 1） 試問(wèn)，快遞小哥能否在50 分鐘內(nèi)將快件送到c 處？（ 2）快遞小哥出發(fā)15 分鐘后， 快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問(wèn)題，由c于通訊不暢，公司只能派車沿大路addc 追趕，若汽車平均時(shí)速 60 公里 / 小時(shí)，問(wèn)，汽車能否先到達(dá)bda19 (本題滿分14 分，第 1 小題滿分6 分，第 2 小題滿分8 分 )已知函數(shù)f ( x)x23tx1 ，其定義域?yàn)?, 3 u 12, 15 ，(1) 當(dāng) t2 時(shí)

7、，求函數(shù)yf (x) 的反函數(shù)；(2) 如果函數(shù) y f (x) 在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍20 (本題滿分16 分，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分6 分 )如圖， a, b 是橢圓 c : x2y21長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， m , n 是2橢圓上與a, b 均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線am , bn , an的斜率分別是k1 , k2 , k3 .(1)求 k2 k3 的值；(2)若直線 mn 過(guò)點(diǎn)2 ,0 ，求證： k1 k31 ；26(3) 設(shè)直線 mn 與 x 軸的交點(diǎn)為 (t,0) ( t 為常數(shù)且 t 0) ，試探究直線 am 與直線

8、 bn 的交點(diǎn) q 是否落在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21 (本題滿分18 分，第1 小題滿分4 分，第 2 小題滿分6 分，第 3 小題滿分8 分 )已 知 數(shù) 列an的 前 n 項(xiàng) 和 an 滿 足 an 1an1 (n n * ) ， 且 a11 ， 數(shù) 列 bn滿 足n 1n2bn 22bn 1bn0(nn * ) ， b32 ，其前 9 項(xiàng)和為 36(1) 求數(shù)列 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，將 an 放在 bn 的前面一項(xiàng)的位置上；當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，將bn 放在 an 前面一項(xiàng)的位置上，可以得到一個(gè)新的數(shù)列：a1 ,b1 ,

9、b2 , a2 , a3 ,b3, b4 , a4 , a5 ,b5 ,，求該數(shù)列的前n 項(xiàng)和 sn ；(3)設(shè) cn1an，對(duì)于任意給定的正整數(shù) k k 2 ，是否存在正整數(shù) l ,m(k l m) ，使得 ck , cl , cm 成bn等差數(shù)列？若存在，求出l , m (用 k 表示 )；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2017 學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2018.4一 填空題：（本大題共有12 題，滿分 54分，第1-6 題每題 4 分，第7-12 題每題 5 分 1,32203 (0,)4 15 166 1789 110x2y22x y 0 111， 12 86

10、1415二選擇題： （本大題共有4 題，滿分20 分，每題分）13a14d15 b16 a三解答題：（本大題共5 題，滿分 74 分）17 (本題滿分 14 分，第 1 小題滿分6 分，第 2 小題滿分8 分 )【解】（ 1） 連 ac 、 ac1 abc 是直角三角形，ac2242abcda1b1c1 d1 是長(zhǎng)方體，c1cbc ， c1ccd ，又 dcc1c平面 abcd ，c1 cac 又在 rt acc1 中，121， ac25 ， cc11 ，acvabcd a1b1c1d18 -6 分a1（ 2）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系則 a1 4,0,1、 m4,1,0 、 b1 4,2

11、,1、 n 2,2,0，所以axuuuuruuuuram10,1, 1 、 b1n2,0,1， 10分uuuuruuuur則向量 am1與 b1nuuuuruuuur所成角滿足 cosa1mb1n10uuuuruuuur10a1mb1 n異面直線 a1 m 與 b1 n 所成的角等于 arccos 10 14 分102 5 bcc ，zd1c1db1ycnmbd 1c 1解法二：取ad 的中點(diǎn) e ，連 a1 e 、 em a 1b 1dc.enamb.en / ab/ a1 b1 ，四邊形 a1 b1 ne 為平行四邊形，a1 e / b1 n ，ea1 m 等于異面直線a1 m 與b1n

12、所成的角或其補(bǔ)角-9 分am1，ae2， aa11，得 12，15， em5 ，ama ecoseam125510 ， ea1 marccos10 2251010異面直線 a1 m 與 b1 n 所成的角等于 arccos10 -14 分1018 (本題滿分14 分，第1 小題滿分6 分，第2 小題滿分8 分 )【解】（ 1） ab10 （公里），bcd 中，由bdbc，得 bc52 （公里）-2分sin 450sin30 0于是，由 10526051.2150 知，20快遞小哥不能在50 分鐘內(nèi)將快件送到c 處 -6分（ 2）在abd 中，由 ad 21021022 10 101300 ，2

13、得 ad10 3 （公里），-8分在 bcd 中，cbd 1050 ，由cd05 20 ，sin105sin 30得 cd5 13 （公里）， -10分1035 1360152015345.9851.21（分鐘）由60知，汽車能先到達(dá)c 處-14分19 (本題滿分14 分，第 1 小題滿分6 分，第 2 小題滿分8 分 )【解】 (1)3x8,x 8, 1-6 分yx8,x73,；3136(2) 10 若3t0，即 t0 ，則 yfx 在定義域上單調(diào)遞增，所以具有反函數(shù)；-8 分2.20若 3t15，即 t10，則 yfx 在定義域上單調(diào)遞減，所以具有反函數(shù)；-10 分230當(dāng) 33t12，即

14、2t 8時(shí)，由于區(qū)間0,3關(guān)于對(duì)稱軸3t 的對(duì)稱區(qū)間是223t123t3153t3,3t，于是當(dāng)3t3或3t12，即 t2,4或 t6,8 時(shí)，22函數(shù) yfx 在定義域上滿足1-1 對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有反函數(shù)綜上， t(,0 u 2,4) u (6,8 u 10,) -14 分20 (本題滿分 16分，第1 小題滿分4 分，第2 小題滿分6 分，第3 小題滿分6 分 )【解】 (1)設(shè) n (x0 , y0 ) ，由于 a(2,0), b(2,0) ，yyy2所以 k2k3000，x02x02x022因?yàn)?n ( x0 , y0 ) 在橢圓 c 上，于是 x02y021，即 x0222 y02 ，

15、2所以 k2k3y021.-4分x0222(2) 設(shè)直線 mn : xmy2xmy22， m (x1, y1), n ( x2 , y2 ) ，由2x22y22得 (m22) y 22my30 ，2于是 y1y22m , y1y232，-6分m222 m2k1k3y1y2y1 y2x12 x22m2 y1 y23 2 m y19y222332 m221 10 分239m233 2m2m 922262m 3m2m 22 m22m22 22.(3) 由于直線 mn 與 x 軸的交點(diǎn)為 (t ,0)，于是 mn : xmyt ，聯(lián)立直線 mn : xmyt 與橢圓 c : x2y21 的方程，可得2

16、(m22) y22mtyt 220 ，于是 y1y22mty2t 22.-12分2, y12m2m2因?yàn)橹本€ am : yy1(x2)，直線 bn : yy2(x2) ，x12x22兩式相除，可知x2 x12 y2my1t2 y2my1 y2(t2) y2x2 x22y1my2t2y1my1 y2(t2) y1mt22(t2)(2mty1 )m(t2)2(t2)( m22) y1m22t 2m22m2(t2) y1m(t22)(t2)( m22) y12m2t2m(t2)(m22) y1t2，t2m(t2) (m22) y12t于是 xt222，所以 x，即直線 am 與直線 bn 的交點(diǎn) q

17、 落在定直線 xtt上 16 分21 (本題滿分18 分，第 1 小題滿分4 分，第2 小題滿分6 分，第3 小題滿分8 分 )【解】答案：(1) 因?yàn)?an 1an1(nn * ) ，于是數(shù)列an是首項(xiàng)為 1，公差為1 的等差數(shù)列，n1n2n2所以 an1 n1，即 ann(n1) ( nn * ) ，n222當(dāng) n 2時(shí)， ananan 1n ，又因?yàn)?a11，所以 ann(n n * ) .-2分又因?yàn)?bn 22bn 1bn0(n n * ) ，于是數(shù)列bn 是等差數(shù)列，設(shè) bn 的前 n 項(xiàng)和為 bn ，由于 b99b536 ，則 b5 4，由于 b32 ，所以 bnn 1(n n

18、*) -4分.(2) 數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 ann( n1)bn的前 n 項(xiàng)和 bn( n 1)n5 分2，數(shù)列 -2當(dāng) n2k(kn*) 時(shí)， sns2kakbkk (k1)(k1)kk 2； -6分22當(dāng) n4k3(kn *) 時(shí)，sns4 k3a2k1b2k2k (2k1)(2k3)(k 1)4k 26k3 ； -7分當(dāng) n4k1(kn*) 時(shí)，sns4 k1a2k1b2k(2k 1)k(2k 1)k4k 22k；-8分1n2 , n2k4所以 snn23 , n4k3 ，其中 k n *-10 分4n21 , n4k14(3) 由 (1)可知， cn12n.1若 對(duì)于 任意給 定的 正整數(shù) kk2， 存 在正整 數(shù) l , m(k lm) ，使得 ck , cl , cm 成 等差 數(shù)列， 則2clckcm ，即211，-11分2l12k12m1于是1214k2l1，2m12l12k1(2 l1)(2 k1)所以 m2klk2l(k1)(2l14k)(2 k 1)24k2l14k2l11k(2 k1)2，即 (2 k1)2mk1， -13分4k2l14k2l