1、正比例 反比例單元分析正比例和反比例是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在46年級學(xué)段提出了四條具體目標(biāo)：1、在實際情景中理解什么是按比例分配，并能解決簡單問題。2、通過具體問題認(rèn)識成正比例、反比例的量。3、能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值。4、能找出生活中成正比例或成反比例的實例，并進行交流。本套教材安排兩次落實上述4條標(biāo)準(zhǔn)：第一次安排在六年級上冊第二單元“比和比例”，落實 標(biāo)準(zhǔn)第1條目標(biāo)。第二次是本單元的 “正比例 反比例” ，落實 標(biāo)準(zhǔn) 第2、3、4條目標(biāo)。本單元教材的設(shè)計思想和內(nèi)容編排特點是:強調(diào)對正比例、反

2、比例實際意義的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷正、反比例概念的建構(gòu)過程。主要體現(xiàn)在以下三個方面。第一，認(rèn)識正比例、反比例時，先不總結(jié)正比例、反比例的字母表達式。本單元內(nèi)容安排如下：第一課時，認(rèn)識成正比例的量，找出生活中成正比例的量，并進行交流。第二課時，根據(jù)正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖,并根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值；第三課時，認(rèn)識成反比例的量，找出生活中成反比例的量，并進行交流；第四課時，正反比例的復(fù)習(xí)，總結(jié)字母表示式。第二，重視選取學(xué)生熟悉的事例，讓學(xué)生通過具體情境理解兩種量的變化規(guī)律，理解正、反比例的實際意義，經(jīng)歷正比例、反比例概念的發(fā)生、發(fā)展和建構(gòu)的過程。如，認(rèn)識正比例，首先選擇學(xué)生

3、非常熟悉的行程問題，使學(xué)生認(rèn)識到“在速度不變的情況下，路程隨著時間的變化而變化，時間擴大，路程也隨之?dāng)U大”，進而介紹路程和時間這兩種量成正比例。然后選擇了買自動筆的事例，給出一枝筆的價錢和買不同枝數(shù)與所花錢數(shù)的數(shù)據(jù)。首先讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律：“買的枝數(shù)越多，花的錢越多”，再討論花的錢數(shù)與買筆的枝數(shù)這兩種量是否成正比例。在學(xué)生理解成正比例的兩種量變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出正比例關(guān)系的規(guī)范化表述。然后，讓學(xué)生找出生活中成正比例關(guān)系的實例，進行交流。這樣認(rèn)識成正比例、反比例的量，有助于學(xué)生理解成正、反比例關(guān)系量的本質(zhì)特征，能更好地判斷生活中哪些量成正比例關(guān)系，那些量成反比例關(guān)系。第三，通

4、過同一事物中數(shù)量間變化規(guī)律的研究討論，進一步理解正比例、反比例的實際意義。教材在分別認(rèn)識正比例、反比例之后，安排了一節(jié)練習(xí)課，結(jié)合具體事例，討論常見數(shù)量關(guān)系中的三種量“總價、數(shù)量、單價”、“時間、路程、速度”等，在什么情況下成正比例關(guān)系，在什么情況下成反比例關(guān)系，這樣的問題討論既鞏固了所學(xué)知識，更發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。最后介紹用x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，k表示一定的量，正比例的關(guān)系可以用yx=k；xy=k表示。本單元的教育目標(biāo)是：1、通過具體問題認(rèn)識成正比例、成反比例的量,能找出生活中成正比例和成反比例量的實例,并進行交流。2、能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖,并根據(jù)其中

5、一個量的值估計另一個量的值。3、在判斷成正比例或成反比例量的過程中，能進行有條理的思考，能對結(jié)論的合理性做出有說服力的說明。4、能探索出解決問題的有效方法,并試圖尋找其它方法。5、對現(xiàn)實生活中成正、反比例的事物有好奇心，認(rèn)識到許多實際問題可以借助畫圖的方法來解決。本單元課時安排：本單元共安排5課時，其中，綜合應(yīng)用“汽車耗油量問題”用1課時。第1課時，認(rèn)識成正比例關(guān)系的量。教材選擇了學(xué)生熟悉的，容易理解的行程問題，購物問題來認(rèn)識成正比例的量。首先，用汽車?yán)锍瘫沓尸F(xiàn)了汽車行駛路程和時間的情境，設(shè)計了五個層次的問題:一是通過觀察實物圖學(xué)會看汽車?yán)锍瘫恚嬎愠銎嚨乃俣?；二是在表格中填出汽車的速度不?/p>

6、，2小時、3小時行的路程；三是寫出相對應(yīng)的路程和時間的比，并求出比值，得出比值都是90。四是介紹“90既是比值，又是速度”，并用式子表示路程、時間和速度幾個量的關(guān)系：路程/時間=速度（比值一定）。五是討論“議一議”：在速度一定的情況下，路程和時間有什么關(guān)系？在學(xué)生用自己的語言描述路程和時間變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，結(jié)合實例描述出正比例的意義。教學(xué)時，一定要讓學(xué)生在已有知識背景下，經(jīng)歷自主解決問題，認(rèn)識新知識的過程，讓學(xué)生理解路程是怎樣隨著時間的變化而變化的（暫不講正比例關(guān)系）。在學(xué)生初步了解正比例意義的背景下，教材選擇了學(xué)生熟悉的買自動鉛筆的素材，給學(xué)生每支的單價，讓學(xué)生填寫出買不同支數(shù)應(yīng)付得錢數(shù)，這

7、樣設(shè)計的目的是：讓學(xué)生在填表的過程中去發(fā)現(xiàn)鉛筆的價錢和所買的支數(shù)的規(guī)律，得出：總價/支數(shù)=單價（一定）的關(guān)系式。接著安排了“議一議”：花的錢數(shù)和買自動筆的支數(shù)成正比例嗎？為什么？讓學(xué)生利用剛學(xué)的知識進行判斷和用語言描述。學(xué)生結(jié)合實際情況用正比例的實際意義判斷的基礎(chǔ)上，教材給出了正比例關(guān)系的一般化描述。認(rèn)識了成正比的量后，在“試一試”中，安排了判斷兩種量是否成正比例關(guān)系和找出生活中成正比例關(guān)系的實例的交流活動。教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷自主計算、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)變化規(guī)律并充分交流的空間，使學(xué)生真正理解成正比例的量的內(nèi)在變化規(guī)律；即：一個量擴大或縮小，另一個量按比例同時擴大或縮小。第2課時，畫圖表示成正比例關(guān)系

8、的量。本節(jié)課的內(nèi)容是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的內(nèi)容。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求，教材選擇了購買彩帶的事例，設(shè)計了三個層次的內(nèi)容。（1）根據(jù)彩帶單價和購買數(shù)量填表，并判斷購買彩帶的長度和需要的錢數(shù)是否成正比例關(guān)系，并說明理由。這個內(nèi)容既是對正比例知識的復(fù)習(xí)，也是新知識的背景。（2）在有坐標(biāo)系的方格紙上表示表中的數(shù)據(jù)。（3）看圖估計買一定長度彩帶要花多少錢。這是學(xué)生第一次接觸用圖像表示數(shù)量關(guān)系，教學(xué)畫圖時，教師要通過示范畫圖，使學(xué)生了解方格紙上橫向、縱向射線上數(shù)據(jù)是怎樣確定的，也可以簡單介紹橫軸和縱軸，圖中的紅點是怎樣確定的等。教學(xué)根據(jù)圖估計時，也要通過講解和示范使學(xué)生了解看圖估計的方法。如，估計米彩帶花了多少錢，

9、首先要在表示米數(shù)的橫軸2、3的正中間找到對應(yīng)的點，然后從這個點做縱軸的平行線，交于方格紙上各點的連線，再從這個交點向左做出橫軸的平行線交于縱軸，這個點表示的數(shù)據(jù)就是購買米彩帶花的錢數(shù)。另外，學(xué)生解決教材中的兩個問題后，可鼓勵學(xué)生提出其它類似問題。如，購買米花多少錢？22元買多少米彩帶等?！熬氁痪殹敝?，設(shè)計了在方格紙上表示路程和時間的關(guān)系并回答的練習(xí)，還安排了調(diào)查并用圖表示相關(guān)數(shù)據(jù)的內(nèi)容。第3課時，認(rèn)識成反比例關(guān)系的量。這節(jié)課內(nèi)容的設(shè)計思路與認(rèn)識成正比例的量一樣，首先設(shè)計了書中四個同伴看安徒生童話選的事情，并以統(tǒng)計表的形式呈現(xiàn)出每天看頁數(shù)和需要的天數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，提出“從表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”

10、的問題。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用自己的語言描述規(guī)律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出數(shù)量關(guān)系：每天看的頁數(shù)天數(shù)=書的總頁數(shù)（一定），并結(jié)合看書問題介紹反比例的意義。在學(xué)生初步了解反比例意義的背景下，教材設(shè)計了把10元人民幣換成零錢的素材，首先，讓學(xué)生根據(jù)零錢的面值，填出換的張數(shù)，然后提出“從表中，你發(fā)現(xiàn)了什么？”的問題。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用自己的語言描述的基礎(chǔ)上，總結(jié)出數(shù)量間的關(guān)系：零錢的面值張數(shù)=10（元），并提出“議一議”：零錢的面值與張數(shù)這兩種量成反比例嗎？為什么？在學(xué)生利用前面的知識進行判斷的基礎(chǔ)上，給出反比例關(guān)系的一般化表述，完成認(rèn)識反比例量的過程。接著在“試一試”中，設(shè)計了“判斷兩種量是否成反比例，并說明理由”，以

11、及“找出生活中成反比例的實例，并進行交流”的練習(xí)。教學(xué)中，要注意利用學(xué)生對具體事物中數(shù)量關(guān)系變化的經(jīng)驗，認(rèn)識成反比例關(guān)系的量的特點，要給學(xué)生自主判斷、充分交流的空間。使學(xué)生真正理解成反比例量的本質(zhì)：一個量擴大或縮小，另一個量同時按比例縮小或擴大。“知識窗”中介紹了畫圖表示反比例的量，供學(xué)有余力的學(xué)生選學(xué)，不做統(tǒng)一要求。第4課時，正比例、反比例的字母表達式。在學(xué)生初步認(rèn)識了正比例、反比例意義之后,安排了本節(jié)練習(xí)課，主要內(nèi)容是討論、研究常見的數(shù)量關(guān)系中三個量的變化與正、反比例的關(guān)系，以及正、反比例的字母表達式。正、反比例的關(guān)系雖然是研究探討兩個量的關(guān)系，實際上都涉及到三個量，如，單價一定時，數(shù)量和

12、總價成什么比例？在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識正、反比例意義的基礎(chǔ)上，通過對常見數(shù)量關(guān)系中的三個量其中一個量不變，另外兩個量成什么比例的問題研究，可以使學(xué)生進一步理解正、反比例的意義，發(fā)展學(xué)生思維。本節(jié)課首先安排了兩個問題，第1題,根據(jù)兩種方便面的數(shù)據(jù)回答問題。給出了兩組數(shù)據(jù)：（1）買方便面的總價和數(shù)量，（2）買方便面的單價和數(shù)量。并分別討論兩種量是怎樣變化的，他們成什么比例關(guān)系？接著“議一議”提出三個方面的問題，討論總價、數(shù)量、單價這幾個量在某一個量一定的情況下，其它兩個量成什么比例關(guān)系。第2題，用表格給出了自行車行駛時間和路程的數(shù)據(jù)，提出兩個問題：（1）判斷路程和時間成什么比例關(guān)系，（2）說明時間、路程和速度這三種量，在什么情況下成正比例關(guān)系，在什么情況下成反比例關(guān)系。然后說明用x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示一定的量，總結(jié)正比例、反比例的字母表達式。教學(xué)中，要給學(xué)生獨立