1、.2007 年山東高考數(shù)學(xué)理科第卷（共60 分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng)（ 1）若 zcosisin（ i 為虛數(shù)單位），則使 z21的值可能是（）a b4cd632（ 2）已知集合m11，1x 1，則（），24 xzm i nnx2a 11，b 1c 0d10，（ 3）下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）正方形圓錐三棱臺(tái)正四棱錐a bcd（ 4）設(shè)1aa 值為（a， ，則使函數(shù)yx 的定義域?yàn)?r 且為奇函數(shù)的所有）1132a 1， 3b 1， 1c 1， 3d 1， 1， 3（ 5）函數(shù)

2、ysin2x6cos2x3的最小正周期和最大值分別為（）a ， 1b ， 2c 2 ， 1d 2 ， 2（ 6） 給 出 下 列 三 個(gè) 等 式 ： f ( xy) f ( x)f ( y) ，f (x y)f (x) f ( y) ，f ( xy)f ( x)f ( y)，下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（）1f ( x) f ( y)a f ( x)3xb f (x) sin xc f ( x)log 2 xd f ( x)tan x（ 7）命題“對(duì)任意的 xr ， x3x21 0 ”的否定是（）a 不存在 xr ， x3x21 0;.b 存在 xr ， x3x21 0c存在 xr ，

3、 x3x210d 對(duì)任意的x r ， x3x21 0（ 8）某班 50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3 秒與19 秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大頻率 /組距0.360.34于等于 13 秒且小于14 秒；第二組，成績大于等于14 秒且小于0.1815 秒； 第六組，成績大于等于 18 秒且小于等于19 秒右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x ，成績大于等于 15秒且小于 17秒的學(xué)生人數(shù)為y ，則從頻率分布直方圖中可分析出 x 和 y 分別為（）a 0.9， 35b 0.9， 45c 0.1， 35d 0.1，

4、 45（ 9）下列各小題中，p 是 q 的充要條件的是（） p ： m2 或 m6； q ： y x2mx m 3 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) p : f ( x)1 ； q : yf ( x) 是偶函數(shù)f (x) p : coscos ； q : tantan p : a i b a ； q : 痧ubu a a bcd（ 10）閱讀右邊的程序框圖，若輸入的n 是 100，則輸出的變量0.060.040.0201314 15 16 17 18 19秒開始輸入 ns 0，t0x 22否ssns 和 t 的值依次是（）a 2500， 2500b 2550， 2550c 2500， 2550d 2550，2

5、500（ 11）在直角 abc 中， cd 是斜邊 ab 上的高，則下列等式不成立的是（）n n 1輸出 s， tttn結(jié)束uuura acuuurc ab22uuur uuuruuuracgabb bcuuur uuuruuuracgcdd cd2uuur uuurbagbcn n 1uuur uuuruuur uuur2 ( acgab) ( bagbc)uuur 2ab（ 12）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)p 按下列規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是1 ，質(zhì)點(diǎn) p 移動(dòng)五次后位 于點(diǎn) (2，3) 的概2率是（）;.232312121121a 2

6、b c3 2c c3 2d c2c32第卷（共90 分）二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16 分答案須填在題中橫線上（ 13）設(shè) o 是坐標(biāo)原點(diǎn)， f 是拋物線 y2uuur2 px( p0) 的焦點(diǎn)， a 是拋物線上的一點(diǎn)， fa與 x 軸正向的夾角為uuur60o ，則 oa 為x2 y 10，（ 14）設(shè) d 是不等式組2xy 3，d 中的點(diǎn) p( x， y) 到直線表示的平面區(qū)域，則0 x 4，y 1x y 10 距離的最大值是（ 15）與直線 xy20 和曲線 x2y212 x12 y540 都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ 16 ） 函 數(shù) ylog a ( x

7、3)1 (a0， 且 a 1)的 圖 象 恒 過 定 點(diǎn) a ， 若 點(diǎn) a 在 直 線mx ny10 上，其中 mn0 ，則12的最小值為mn三、解答題：本大題共6 小題，共74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（ 17）（本小題滿分12 分）設(shè)數(shù)列an滿足 a13a232 a33n1 ann ， an*3（）求數(shù)列an的通項(xiàng)；（）設(shè) bnn，求數(shù)列b的前 n 項(xiàng)和 sn ann（ 18）（本小題滿分12 分）設(shè) b 和 c 分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程 x2bx c 0 實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)） （）求方程x2bx c0 有實(shí)根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)

8、期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5 的條件下，方程x2bx c 0 有實(shí)根的概率（ 19）（本小題滿分12 分）;.如圖，在直四棱柱abcda1 b1c1d1 中，已知 dcdd1 2 ad 2 ab ， addc ，ab dc d1c1（）設(shè) e 是 dc 的中點(diǎn)，求證： d1e 平面 a1bd1；a1b1（）求二面角 a1bdc1 的余弦值dec（ 20）（本小題滿分12 分）ab如圖， 甲船以每小時(shí)30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于 a1 處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105o 方向的b1 處，此時(shí)兩船相距20 海里，當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá) a2

9、 處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120o 方向的 b2處，此時(shí)兩船相距 102海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？北120oa2b2105oa1b1（ 21）（本小題滿分12 分）乙甲已知橢圓 c 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，橢圓 c 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為 1（）求橢圓c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線l : ykxm 與橢圓 c 相交于 a ， b 兩點(diǎn)（ a， b 不是左右頂點(diǎn)） ，且以 ab為直徑的圓過橢圓c 的右頂點(diǎn)，求證：直線l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)（ 22）（本小題滿分14 分）設(shè)函數(shù) f (x)x2b ln( x1) ，其中 b0 （）當(dāng) b1f ( x) 在定義

10、域上的單調(diào)性；時(shí)，判斷函數(shù)2（）求函數(shù)f ( x) 的極值點(diǎn)；（）證明對(duì)任意的正整數(shù)n ，不等式 ln1111都成立nn2n32007 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）;.理科數(shù)學(xué)參考答案第卷一、選擇題（ 1） d（ 2）b（ 3） d（ 4）a（ 5） a（ 6） b（ 7） c（ 8）a（ 9） d（ 10）d（ 11） c（ 12）b第卷二、填空題（ 13）21 p（ 14） 4 2（ 15） (x2) 2( y 2)22（ 16） 82三、解答題（ 17）（本小題滿分12 分）解：（） q a13a232 a3 3n 1 ann ，3n 1 當(dāng) n 2 時(shí)， a13a232 a

11、3 3n 2 an 1113 - 得 3n 1 a， an3n3n在中，令 n1 ，得 a1131ann 3（） q bnn，anbnn3n sn3 2 323 33 n3n ，3sn322 333 34 n3n 1 - 得2snn3n 1(3 3233 3n ) 即 2snn13(13n )n313，sn(2 n1)3n 1344（ 18）（本小題滿分12 分）;.解：（）由題意知：設(shè)基本事件空間為，記“方程 x2bxc0 沒有實(shí)根”為事件a ，“方程 x2bxc0 有且僅有一個(gè)實(shí)根”為事件b ，“方程 x2bxc0 有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)”為事件 c ，則(b，c) b，c1，2，6 ，a (b，

12、 c) b b (b， c) b c (b， c) b2224c0， b， c1，2，6 ，4c0， b， c1，2，6 ，4c 0， b， c1，2， ，6 ，所以是的基本事件總數(shù)為36 個(gè)，a中的基本事件總數(shù)為b中的基本事件總數(shù)為217 個(gè)，個(gè)， c 中的基本事件總數(shù)為17 個(gè)又因?yàn)?b，c 是互斥事件，21719故所求概率 p p( b) b(c)363636（）由題意，的可能取值為01，2，則17p0，361p1，1817p2，36故的分布列為：012以的數(shù)學(xué)期望 e0 17112 171 361836（）記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有中5”為事件 d ，“方程 x

13、2bx c 0 有實(shí)數(shù)” 為事件 e ，由上面分析得p( d )11， p(d i e)736，36p( e d )p(die)7 p( d )11（ 19）（本小題滿分 12 分）解法一：（）連結(jié) be ，則四邊形 dabe 為正方形，d1c1;.a1b1g.beada1 d1 ，且 be ad a1d1 ，四邊形 a1d1 eb 為平行四邊形d1 e a1b 又 d1e平面 a1 bd ， a1b平面 a1bd ，d1 e 平面 a1 bd （）以 d 為原點(diǎn)， da， dc， dd1 所在直線分別為x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè) da 1 ，則 d (0

14、，0，0) ， a(10，0) ， b(11，0) ， c(0，2，2) ， a1 (1，0，2) ，uuuuruuurda1， ， db (11，0) ，(10 2)z設(shè) n(x， y， z) 為平面 a1 bd 的一個(gè)法向量d1c1uuuuruuura1b1由 n， nda1db ，mx2z，得0xy0.eydc取 z1，則 n( 2，31)， afbxuuuuruuur，又， db (11，0) ，dc2 (0 2 3)設(shè) m( x1， y1， z1 ) 為平面 c1bd 的一個(gè)法向量，由 muuuruuurdc ， mdb ，2 y12 z10，得x1y10.取，則(1， 11)，z1

15、 1m設(shè) m 與 n 的夾角為 a ，二面角 a1bd c1 為，顯然為銳角，cosmgn33m n9 33cos3，3;.即所求二面角 a1bd c1 的余弦為3 3解法二：（）以 d 為原點(diǎn)， da， dc， dd1 所在直線分別為x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) daa ，由題意知：d(0，0，0) ， a(a，0，0) ， b(a， a，0) ，c (0，2a，0) ，c1 (0，2a，2a) ， a1 (a，0，2a) ， d1 (0，0，2a) ，e(0， a，0) xuuuuruuuuruuurd1c1(a， a，0) ，d1 e， ，2a)，da1，

16、dba1(0a(a 0 2a)b1又 (0， a， 2a)(a， a，0)(a，0，2a) ，muuuuruuuruuurd1 edbda deycq da1， db平面 a1 bd ， d1e 平面 a1bd ，afbzd1 e 平面 a1 bd （）取 db 的中點(diǎn) f ， dc1 的中點(diǎn) m ，連結(jié) a1 f ， fm ，由（）及題意得知：aaf， ， ， m (0， a， a) ，202uuura，a，uuuuraa，fa1fm，a222a22uuur uuura ， a ，2a g(a， a，0) 0fa1 gdb，22uuuuruuuraa， ，fmdb， ，a022(aa 0)f

17、a1db ， fmdb ， a1 fm 為所求二面角的平面角uuur uuuurfa1 gfmcosa1 fmuuur uuuurfa1 fm;.a，a，gaaa， ，222a223 2ag 6a22a2a22a244333a232所以二面角 a13bd c1 的余弦值為3解法三：（）證明：如解法一圖，連結(jié)ad1 ， ae ，設(shè) ad1 ia1dg ， ae i bdf ，連結(jié) gf ，由題意知 g 是 a1 d 的中點(diǎn)，又 e 是 cd 的中點(diǎn)，d1ha1b1.c1四邊形 abed 是平行四邊形，故f 是 ae 的中點(diǎn)，在 aed1 中， gf d1e ，mde又 gf平面 a1 bd ，

18、d1e平面 a1bd ，d1 e 平面 a1 bd （）如圖，在四邊形abcd 中，設(shè) ada ，q abad ， addc ， ab dc ，adab 故 bd2a ，由（）得bc2be 2ec 2a2a22a2 ， dc2a ， dbc90o ，即 bdbc 又 bdbb1 ，bd平面 bcc1b1 ，又 bc1平面 bcc1 b1 ，bdbc1 ，取 dc1 的中點(diǎn) m ，連結(jié) a1f ， fm ，acfb;.由題意知：fm bc1 ，fmbd 又 a1 da1b ，a1 fbd a1 fm 為二面角 a1 bd c1 的平面角連結(jié) a1 m ，在 a1fm 中，由題意知：a1 f3 2

19、 a ， fm1 bc11bc 2cc126 a ，2222取 d1c1 的中點(diǎn) h ，連結(jié) a1h ， hm ，在 rt a1hm 中，q a1 h2a， hma ，a1 m3a cos a1 fma1f 2fm 2a1m 22 a f fm1g9 a23 a23a2222g3 ag6 a2233二面角 a1bdc1的余弦值為3 3（ 20）（本小題滿分12 分）解法一：如圖，連結(jié)a1b1 ，由已知 a2 b210 2 ，a1 a23022010 2，60a1 a2a2 b1 ，又 a1 a2b2180o120o60o ， a1 a2 b2 是等邊三角形，北120oa2b2oa1105b1甲

20、乙;.a1 b2a1a210 2 ，由已知， a1b120 ， b1 a1 b2105o60o45o ，在 a1b2 b1 中，由余弦定理，b1 b22a1b12a1b222a1 b2 ga1b2 gcos45o20 2(102) 222010222200 b1 b210 2 因此，乙船的速度的大小為10230 2 （海里 /小時(shí)）2060答：乙船每小時(shí)航行 302 海里解法二：如圖，連結(jié)a2 b1，由已知a1b220 ，a1 a22010 2b1a1a2105o，30 2，60cos105ocos(45 o60o )cos45o cos60osin 45o sin 60o2(13)北4，12

21、0oa2sin105 osin(45o60o)b2105oa1b1sin 45o cos60ocos45o sin 60o甲乙2(13)4在 a2 a1b1 中，由余弦定理，a b2a b2a a22 a ba acos105o2 1221 21 1 g 1 2 g(102) 22022102202(13)4;.100(42 3) a1 b110(13)由正弦定理sina1 a2 b1a1 b1 gsinb1 a1 a220g2(1 3)2，a2 b210(13)42 a1 a2 b145o，即 b1a2b160o45o15o ，cos15osin105 o2(1 3)4在 b1a1b2 中，

22、由已知a1 b210 2 ，由余弦定理，b1 b22a1b12a2 b222 a2 b1 ga2 b2 gcos15o10 2 (13) 2(102) 2210(13)1022(13)4200 b1 b210 2 ，乙船的速度的大小為102海里 /小時(shí)2060 30 2答：乙船每小時(shí)航行302 海里（ 21）（本小題滿分12 分）x2y21(a b 0) ，解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2b2a由已知得： ac3 ， ac 1，a2 ， c1，b2a2c23橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2413（）設(shè)a(x1， y1 ) ， b( x2， y2 ) ，ykxm，聯(lián)立x2 y21.43;.得 (34k

23、 2 ) x28mkx4( m23)0 ，64m2k216(34k223)，即34k2m2，則)( m00x1 x28mk，34k 2x1gx24(m23) .34k 2又 y1 y2(kx1m)(kx2m)2mk (x1x2 )23(m24k2 )k x1 x2m32，4k因?yàn)橐?ab 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)d (2，0) ，k ad kbd1 ，即x1y1 g y221 ，2 x2y1 y2x1 x22( x1x2 ) 4 0 ，3(m24k 2 )4( m23)16mk40 ，3 4k 23 4k 23 4k29m216mk4k20 解得：m12k ， m22k，且均滿足 34k2m20 ，7當(dāng) m12k 時(shí)， l 的方程為 yk ( x2) ，直線過定點(diǎn) (2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m22k時(shí)， l 的方程為 ykx2，直線過定點(diǎn)2 ，7707所以，直線l過