1、.（一）極坐標(biāo)中的運(yùn)算1在直角坐標(biāo)系 xoy 中，直線 c1 :22x = 2，圓 c2 ： x 1y 21,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（）求 c1 ， c2 的極坐標(biāo)方程；（）若直線 c3 的極坐標(biāo)方程為r ，設(shè) c2 與 c3 的交點(diǎn)為 m , n,求 vc2mn4的面積 .2【 2015 高考新課標(biāo)2，理 23】選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 c1xt cos,0 ），其中 0:t sin（ t 為參數(shù)， t，在以y,o 為 極 點(diǎn) ， x 軸 正 半 軸 為 極 軸 的 極 坐 標(biāo) 系 中 ， 曲 線 c2 :2sin ， 曲 線

2、c3 :2 3 cos （） .求 c2 與 c1 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（） .若 c2 與 c1 相交于點(diǎn) a ， c3 與 c1 相交于點(diǎn) b ，求 ab 的最大值3 3【答案】（） (0,0) 和 (,) ；（） 4 .（）曲線c1 的極坐標(biāo)方程為(r,0) ，其中 0因此 a 得到極坐標(biāo)為 (2sin ,) ， b的 極 坐 標(biāo) 為 (23 cos, ) 所 以 ab2sin2 3cos4 sin() ，當(dāng)5ab 取得最大值，最大值為 4 時(shí)，363（ 2016 年全國(guó) i 高考）在直角坐標(biāo)系xoy 中，曲線c1 的參數(shù)方程為（t為參數(shù)， a 0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸的

3、極坐標(biāo)系中，曲線c2：=4cos .（i）說(shuō)明 c1 是哪種曲線，并將c1 的方程化為極坐標(biāo)方程；（ii ）直線 c3 的極坐標(biāo)方程為 =0，其中 0 滿足 tan 0=2，若曲線 c1 與 c2 的公共點(diǎn)都在c3 上，求 a.解：xa cos t（ t 均為參數(shù)）y1a sin t x2y2a 21 c1 為以0 ，1為圓心， a 為半徑的圓方程為 x2y22 y 1 a20 x2y22，ysin22sin120即為 c1 的極坐標(biāo)方程ac2 ：4cos兩邊同乘得24cosq2x2y2 ， cosxx2y24x即 x22y24c3 ：化為普通方程為 y 2 x由題意： c1 和 c2 的公共

4、方程所在直線即為c3得： 4 x2 y1 a20 ，即為 c32 1 a 0 a 14：已知圓c 的圓心 c 的極坐標(biāo)為 (2, )，半徑為 3，過(guò)極點(diǎn)o 的直線 l 與圓 c 交于 a,b 兩.?點(diǎn)， ?與 ?同向，直線的向上的方向與極軸所成的角為（1）求圓 c 的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)= 135 時(shí)，求 a,b 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)以及弦 |?|的長(zhǎng)?= 4 -2?o 為極點(diǎn)， x 軸的5：在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 ?1 的參數(shù)方程為 2 （為參數(shù)）以2?= 2?非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線 ?的極坐標(biāo)方程為 = 2 cos ?2（1）求曲線 ?的極坐標(biāo)方程和 ?的參數(shù)方程；12（2）若射

5、線 = ?與曲線 ?,?12分別交于 m,n 且 |on|=|?|，求實(shí)數(shù) 的最大值 .(? 0)（二） .參數(shù)方程中任意點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）例：曲線 ?= -4+ ?： ?= 8?1 :(t 為參數(shù) )， ?2(為參數(shù) )?= 3 + ?= 3?（1） .化 ?， ?為直角坐標(biāo)系方程，并說(shuō)明表示什么曲線。12上的點(diǎn) p 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t =上的動(dòng)點(diǎn)， 求 pq 中點(diǎn) m 到直線 ?= 3 + 2?(2).若 ?12,q 為 ?23?=(t-2 + ?為參數(shù) )距離最小值。例：在極坐標(biāo)中，射線?23，以極l: = 與圓 c: = 2 交于 a 點(diǎn)，橢圓d 的方程為 ? =261+2?點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x

6、 正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy（ 1） 求點(diǎn) a 的直角坐標(biāo)和橢圓 d 的參數(shù)方程；（ 2） 若 e 為橢圓 d 的下頂點(diǎn)， f 為橢圓 d 上任意一點(diǎn)，求 ?.?的取值范圍。例：在直角坐標(biāo)系中， 圓 ? 22? = 3?后得到曲線 ?以坐標(biāo)原點(diǎn)為極1 ? + ? = 1 經(jīng)過(guò)伸縮變換 2? = 2?點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l 的極坐標(biāo)方程為 cos ?+ 2 sin ?= 10.?（1）求曲線 ?的直角坐標(biāo)方程及直線l 的直角坐標(biāo)方程；2（2）設(shè)點(diǎn) m 是 ?上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) m 到直線 l 的距離的最小值 .2例（ 2016 年全國(guó) iii 高考）在直角坐標(biāo)系x3 co

7、s為參數(shù) ) ，xoy 中，曲線 c1 的參數(shù)方程為(ysin以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為sin() 2 2 .4（i ）寫出 c1 的普通方程和c2 的直角坐標(biāo)方程；（ii ）設(shè)點(diǎn)p在c1上，點(diǎn)在上，求 | 的最小值及此時(shí)p的直角坐標(biāo) .q c2pq.三直線與曲線相交問(wèn)題例（ 2016 年全國(guó) ii 高考）在直角坐標(biāo)系xoy 中，圓 c 的方程為 ( x6)2y225 （）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求c 的極坐標(biāo)方程；（）直線 l 的參數(shù)方程是xt cosl 與 c 交于 a, b 兩點(diǎn)，| ab |10 ，y（ t

8、 為參數(shù)）,t sin求 l 的斜率解：整理圓的方程得x2y212110 ，2x2y2由cosx 可知圓 c的極坐標(biāo)方程為212cos 110 siny記直線的斜率為k ，則直線的方程為kxy0，6k2由垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式知：10，1 k2252290 ，整理得 k 2515即 36k 2，則 k1k433x53t例（ 2015）湖南已知直線 l :2（ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸1 ty32.為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c 的極坐標(biāo)方程為2cos.（1）將曲線 c 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn) m 的直角坐標(biāo)為(5,3) ，直線 l 與曲線 c 的交點(diǎn)為

9、a ，b ，求 | ma | | mb | 的值 .例：在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 ?的參數(shù)方程為 ?= cos ?=，(為參數(shù)，且 ?0， ）1sin ?以 o 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，.曲線 ?的極坐標(biāo)方程2四求點(diǎn)坐標(biāo)，圖形面積，軌跡方程等的計(jì)算。例：（全國(guó)新課標(biāo)理 23）選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在 直 角 坐 標(biāo) 系 xoy 中 ， 曲 線 ? 的 參 數(shù) 方 程 為 ?= 2? 為 參 數(shù) )1(?= 2 + 2?uuuruuuurm 為 ?1上的動(dòng)點(diǎn)， p 點(diǎn)滿足 op2om ，點(diǎn) p 的軌跡為曲線 ?2（i ）求 ?的方程；2?（ii ）在以 o

10、 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 =與?的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)31為 a ，與 ?的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為b ，求 |ab|.2解：?（i ）設(shè) p(x， y)，則由條件知m （? ?點(diǎn)在 ?上，所以 2= 2?,）由于 m21?22 = 2 + 2?從而 c 2 的參數(shù)方程為x4cosy4 4sin（ 為參數(shù)）（）曲線 c1 的極坐標(biāo)方程為4sin，曲線 c2 的極坐標(biāo)方程為8sin1 4sin射線3 與 c1 的交點(diǎn) a 的極徑為3 ，28sin射線3與 c2 的交點(diǎn) b 的極徑為3 所以| ab | 21 | 2 3.例：在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，曲線 c 的參數(shù)為 ?= ?+

11、?cos ?= ?sin ?(a 0) ，以 o 為極點(diǎn) x，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l 的極坐標(biāo)方程 cos ?-?33) =2 .(1) 若曲線 c 與 l 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a 的值；.(2)?a,b 為曲線 c 上的兩點(diǎn)且 aob= ，求 oab 的面積最大值 .3習(xí)題訓(xùn)練：1.在直角坐標(biāo)系xoy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c1 的2?2?)-2=0的極坐標(biāo)方程為 =與?相交極坐標(biāo)方程為 ?-22?sin?( ?-曲線 c?(?), ?2441于 a,b 兩點(diǎn) .（1）求 c1 和 c2 的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn) p為 ?上的動(dòng)點(diǎn)，求 |?

12、| 2+|?|2 的取值范圍 .12.在直角坐標(biāo)系 xoy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 c1 的?= 4 -2?c 2 的極坐標(biāo)方程為 =2cos參數(shù)方程 22 ( t 為參數(shù)）曲線?=?2(1)求c1的極坐標(biāo)方程和 ?的參數(shù)方程 ;2|(2) 若射線 = ? ?（ 0 ）與曲線 ?， ?分別交于 m,n 且?= ?，求實(shí)數(shù)的最大0?12值 .3.在直角坐標(biāo)系xoy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c 和?直線 l 的極坐標(biāo)方程分別為= 4 2cos( -) ， (3?-?)= 2?.4(1) 將曲線 c 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；1

13、1（2）直線 l 與曲線 c 交于 a,b 兩點(diǎn)，點(diǎn) p（ 3 ， 1）求|?|2 + |?| 2 的值 .4. 在極坐標(biāo)系中，已知曲線c：cos ( +?4 ) =1, 過(guò)極點(diǎn) o作射線與曲線 c 交于 q，在射線| |2oq上取一點(diǎn) p，使? ?=（1）求點(diǎn) p 的軌跡 ?的極坐標(biāo)方程；1（2）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xoy ，若直線 l： y= - 3?與12（1）的曲線 ?相交于 e（異于點(diǎn) o）,與曲線 ?: ?= 2 -2?f，求|122( t 為參數(shù)）相交于點(diǎn)?=2 ?的值 .5. 在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 c1 的參數(shù)方程 ?= 1 + 2?(

14、為參數(shù)）若 m是曲線 ?上?= 2 + 2?1的一點(diǎn)，點(diǎn) p 是曲線 ?上任意一點(diǎn)，且滿足=3 .2?（1）求曲線 ?的直角坐標(biāo)方程；2(2) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線 l: sin -cos- 7 =|，試求 mef 面積的最大值 .0，在直線 l 上兩動(dòng)點(diǎn) e,f 滿足?= 42.?= -3?26在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線l 的參數(shù)方程 1( t 為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，?= 1 +?2x 軸 正 半 軸 為 極 軸 建 立 極 坐 標(biāo) 系 ， 曲 線 c136的 極 坐 標(biāo) 方 程 =43?-12?-?定點(diǎn) m(6 ，0) ，點(diǎn) n 是曲線 ?上的動(dòng)點(diǎn)， q為 mn的中點(diǎn)；1（1）求點(diǎn) q的軌跡 ?的直角坐標(biāo)方程；2（2）已知直線l