1、第六節(jié) 橢圓 強化訓(xùn)練當(dāng)堂鞏固1.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差數(shù)列,所以2b=a+c. 又 所以. 所以.所以. 2.已知橢圓0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且軸,直線AB交y軸于點P.若,則橢圓的離心率是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:對于橢圓,則, a=2c. 3.已知橢圓0)的左、右焦點分別為、若橢圓上存在一點P使則該橢圓的離心率的取值范圍為 . 答案: 解析:因為在中,由正弦定理得 則由已知,得即a|=c|. 由橢圓的定義知|+|=2a, 則|+|=2

2、a,即| 由橢圓的幾何性質(zhì)知|0)的右焦點與拋物線的焦點相同,離心率為則此橢圓的方程為( ) A.B. C.D. 答案:B 解析:由題意可知:c=2,且焦點在x軸上.由可得m=4,.故選B. 題組二 橢圓的定義 4.設(shè)P是橢圓上的點.若是橢圓的兩個焦點,則|+|等于( ) A.4B.5 C.8D.10 答案:D 解析:因為a=5,所以|+|=2a=10. 5.設(shè)直線l:2x+y-2=0與橢圓的交點為A、B,點P是橢圓上的動點,則使PAB面積為的點P的個數(shù)為( ) A.1B.2C.3D.4 答案:D 解析:聯(lián)立方程組 消去y整理解得: 或 |AB| 結(jié)合圖象知P的個數(shù)為4. 題組三 橢圓的綜合應(yīng)

3、用 6.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,長軸在x軸上,離心率為且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12,則橢圓G的方程為 . 答案: 解析:6,b=3,則所求橢圓方程為. 7.已知、是橢圓C:0)的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且.若的面積為9,則b= . 答案:3 解析:依題意,有 可得即b=3. 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中為橢圓0)的四個頂點,F為其右焦點,直線與直線相交于點T,線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點,則該橢圓的離心率為 . 答案: 解析:直線的方程為:; 直線的方程為:;二者聯(lián)立解得點 則OT中點在橢圓0)上, 10e-3=0, 解得. 9.已知橢圓C:的兩焦點為點滿足則|

4、+|的取值范圍為,直線與橢圓C的公共點個數(shù)為 . 答案: 0 解析:延長交橢圓C于點M,故|+|b0)過點離心率為左 、右焦點分別為F 、F.點P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點,直線和與橢圓的交點分別為A (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)直線,PF的斜率分別為,k. ()證明:. ()問直線l上是否存在點P,使得直線OA k,k,k,k滿足?若存在,求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo);存不存在,說明理由. 解:(1)因為橢圓過點 所以. 又 所以1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)()證明:方法一:由于,F,PF的斜率分別為,k且點P不在x軸上, 所以. 又直線的方程分別為 聯(lián)立方程解得 所以. 由于點P在直線x+y=2上, 所以. 因此 即結(jié)論成立. 方法二:設(shè)則. 因為點P不在x軸上,所以. 又 所以. 因此結(jié)論成立. ()設(shè). 聯(lián)立直線與橢圓的方程得 化簡得 因此 由于OA,OB的斜率存在, 所以因此. 因此 . 相似地,可以得到 故 . 若須有或. 當(dāng)時,結(jié)合()的結(jié)論,可得,所以解得點P的坐標(biāo)為(0,2); 當(dāng)時,結(jié)合()