1、7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：(其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積圖示如下:表示小

2、圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積1先包含重疊部分計(jì)算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重疊部分減去 包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù))二、三量重疊問(wèn)題類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、類的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為：圖示如下：圖中小圓表示的元素

3、的個(gè)數(shù)，中圓表示的元素的個(gè)數(shù)，大圓表示的元素的個(gè)數(shù)1先包含：重疊部分、重疊了次，多加了次2再排除：重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行 計(jì)算時(shí)都被減掉了3再包含：在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分析思考例題精講模塊一、三量重疊問(wèn)題【例 1】 一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào)紙，其中甲報(bào)30份，乙報(bào)34份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有_戶?！究键c(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 總共有（303440）252戶居民，訂丙和乙的有523022戶?！敬鸢浮繎簟纠?2】 某班學(xué)

4、生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有人，手中有黃旗的共有人，手中有藍(lán)旗的共有人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有人而手中只有紅、黃兩種小旗的有人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有人，那么這個(gè)班共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖，用圓表示手中有紅旗的，圓表示手中有黃旗的，圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為： (人)【答案】人【鞏固】 某班有人，其中人愛(ài)打籃球，人愛(ài)打排球，

5、人愛(ài)踢足球，人既愛(ài)打籃球又愛(ài)踢足球，人既愛(ài)打排球又愛(ài)踢足球，沒(méi)有一個(gè)人三種球都愛(ài)好，也沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好問(wèn)：既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的有幾人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于全班人沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好，所以全班至少愛(ài)好一種球的有人根據(jù)包含排除法，既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)，得到既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)為：(人)【答案】人【例 3】 四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參

6、加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人求參加文藝小組的人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集合G三者都參加的學(xué)生有z人有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10因?yàn)?，所?6=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人【答案】人【鞏固】 五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有

7、12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合C =25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)即這個(gè)班有62人【答案】人【鞏固】 光明小學(xué)組織棋類比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有人，參加中國(guó)象棋比賽的

8、有人，參加國(guó)際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的有人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的人，參加中國(guó)象棋比賽的人與參加國(guó)際象棋比賽的人加起來(lái)，共是人把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋和中國(guó)象棋的人，同時(shí)參加圍棋和國(guó)際象棋的人與同時(shí)參加中國(guó)象棋和國(guó)際象棋的人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的人被加了次，又被減了次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類比賽的共有：(人)或者根據(jù)學(xué)過(guò)的公式：，參加棋類比賽的總

9、人數(shù)為：(人)【答案】人【例 4】 新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒(méi)有參加合唱的人多4人；50人沒(méi)有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】 設(shè)只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為，由人沒(méi)有參加演奏、人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為人，即，得，所以

10、只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的”有：人【答案】人【鞏固】 六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛(ài)好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)其中，愛(ài)好體育的55人，愛(ài)好文藝的56人，愛(ài)好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛(ài)好的15人，只愛(ài)好體育和科學(xué)的4人，只愛(ài)好體育和文藝的17人問(wèn)：有多少人只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛(ài)好體育的有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 只是A類和B類的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理中的既是A類又是B類的元數(shù)個(gè)數(shù)依題意，畫圖如下設(shè)只愛(ài)好

11、科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有人由容斥原理，列方程得 即 只愛(ài)好體育的有：(人)【答案】人只愛(ài)好科學(xué)和文藝，人只愛(ài)好體育?！纠?5】 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中個(gè)人帶了漢堡，個(gè)人帶了雞腿，個(gè)人帶了芝士蛋糕，有個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問(wèn)： 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有幾個(gè)？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如圖，用圓表示帶漢堡的人，圓表示帶雞腿的人，圓表示帶芝士蛋糕的人 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù)帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士

12、蛋糕的人數(shù)三種都帶了的人數(shù)，即三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：(人) 求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即(人)只帶了一種的有人【答案】（1）0人，（2）人【鞏固】 盛夏的一天，有個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂(lè)、雪碧、橙汁的各有人；可樂(lè)、雪碧都要的有人；可樂(lè)、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒(méi)有要【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 略【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)(要可樂(lè)的人數(shù)要雪碧的人數(shù)要橙汁的人數(shù))(要可樂(lè)、雪碧的人數(shù)要可樂(lè)、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙

13、汁的人數(shù))三種都要的人數(shù)，即至少要了一種飲料的人數(shù)為：(人)(人)，所以其中有人這三種飲料都沒(méi)有要【例 6】 全班有個(gè)學(xué)生，其中人會(huì)騎自行車，人會(huì)游泳，人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么， 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 有個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會(huì)超過(guò)人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一而又因?yàn)闆](méi)人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：(人)至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班人中

14、除了人外，剩下的名不及格，所以沒(méi)有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的 上面分析可知，及格的人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車所以，全班有(人)既會(huì)游泳又會(huì)滑冰【答案】（1）0人，（2）人【鞏固】 五年級(jí)一班共有人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有、五個(gè)小組，若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人那么，參加組的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】填空【解析】 參加，三組的總?cè)藬?shù)是(人)，每組至少人，當(dāng)，每組 人時(shí)，組為人

15、，不符合題意，所以參加組的有(人)【答案】人【例 7】 五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè)其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒(méi)有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4，那么僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，

16、這樣至少應(yīng)有30人，與題意矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10，于是僅參加語(yǔ)文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人【答案】人【例 8】 在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的人數(shù)多個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒(méi)有摘李子者多人；個(gè)人沒(méi)有摘草莓；個(gè)人摘了山莓和李子但沒(méi)有摘草莓；總共有人摘了李子.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是，你能回答下列問(wèn)題嗎？ 有 人摘了山莓； 有 人同時(shí)摘了三種水果； 有 人只摘了山莓

17、； 有 人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓； 有 人只摘了草莓.【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如圖，根據(jù)題意有代入求解：，所以有(人)摘了山莓；有人同時(shí)摘了三種水果；有人只摘了山莓；有人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有人只摘了草莓.【答案】有(人)摘了山莓；有人同時(shí)摘了三種水果；有人只摘了山莓；有人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有人只摘了草莓.【例 9】 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派

18、出多少人參加比賽？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組： 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人 參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組： 將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-21=40人.將3條等式相加則有2（x+