1、第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值與特征向量,引言,純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB BA 數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ?,一、基本概念,定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，如果數(shù) l 和 n 維非零向量 x 滿足 Ax = l x， 那么這樣的數(shù) l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量,例： 則 l = 1 為 的特征值， 為對應(yīng)于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定

2、義：設(shè) A 是 n 階矩陣，如果數(shù) l 和 n 維非零向量 x 滿足 Ax = l x， 那么這樣的數(shù) l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 滿足 (AlE) x = 0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式 | AlE | = 0,特征方程,特征多項式,特征方程 | AlE | = 0 特征多項式| AlE |,二、基本性質(zhì),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數(shù)計算） 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 +

3、 a22 + + ann l1 l2 ln = |A|,【例1】求矩陣 的特征值和特征向量 【解】A 的特征多項式為 所以 A 的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當(dāng) l1 = 2 時， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即 解得基礎(chǔ)解系 ,k p1（k 0）就是對應(yīng)的特征向量,【例2】求矩陣 的特征值和特征向量 A 的特征多項式為 所以 A 的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當(dāng) l2 = 4 時， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即 解得基礎(chǔ)解系 ,k p2（k 0）就是對應(yīng)的特征向量,【例3】求矩陣 的特征值和特征向量 【解】 所以 A 的特征值為 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,【例4】

4、求矩陣 的特征值和特征向量 當(dāng) l1 = 1 時，因為 解方程組 (A + E) x = 0 解得基礎(chǔ)解系 ,k p1（k 0）就是對應(yīng)的特征向量,【例5】求矩陣 的特征值和特征向量 解（續(xù)）：當(dāng) l2 = l3 = 2 時，因為 解方程組 (A2E) x = 0 解得基礎(chǔ)解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同時為零）就是對應(yīng)的特征向量,二、基本性質(zhì),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數(shù)計算） 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|

5、若 l 是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組,例6：設(shè) l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當(dāng) A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值 結(jié)論：若非零向量 p 是 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量，則 l2 是 A2 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p 當(dāng) A 可逆時，1/l 是 A1 的特征值，對應(yīng)的特征向量仍然是 p ,二、基本性質(zhì),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有n 個特征值（重根按重數(shù)計算） 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2,

6、, ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|,若 l 是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組 若 l 是 A 的一個特征值，則 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,【例7】設(shè)3 階方陣 A 的特征值為1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 【解】 A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1)

7、2 = 2 設(shè) l 是 A 的一個特征值， p 是對應(yīng)的特征向量令 則,定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān) 例：設(shè) l1 和 l2 是方陣 A 的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征 向量依次為 p1 和 p2， 證明 p1 + p2不是 A 的特征向量,當(dāng)|2En-A|=0時，根據(jù)特征值的定義知道，2就是A的特征值。當(dāng)|En+A|=0時，因為|-En-A|= (-1)n|En+A|= 0,所以-1是A的特征值。,【例8】,【練習(xí)87】,設(shè)A為n

8、階矩陣，且已知 ，則A必有一個特征值為（） AB CD,A,【練習(xí)88】,已知 ，求其特征值與特征向量,特征值 ， 對于 ，解齊次線性方程組： 基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為 （ 是任意非零常數(shù)）；,【解】,對于 ，解齊次線性方程組： 基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為 （ 是任意非零常數(shù)）,【練習(xí)89】,設(shè)A為n階矩陣，k為正整數(shù)，且Ak=O，證明A的特征值均為0.,【證明】設(shè)是矩陣A的特征值，且存在向量0，使得 A=由此可得Ak=k又因Ak=O，故Ak=0從而k=0，而0，所以k=0，即=0因此A的特征值均為0.,【練習(xí)90】,設(shè)A為3階矩陣，若A的三個特征值分別為1，2，3，則|A|

9、= 。,6,|A|=123=6,5.2 方陣的相似變換,定義：設(shè) A, B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P 滿足 P 1AP = B ， 則稱 B 為矩陣 A 的相似矩陣，或稱矩陣A 和 B 相似對 A 進行運算 P 1AP 稱為對 A 進行相似變換稱可逆矩陣 P 為把 A 變成 B 的相似變換矩陣,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同,從而 A 和 B 的特征值也相同 證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |

10、AlE | |P | = |AlE | ,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項式 j (A) 和 B 的 多項式 j (B) 相似,證明：設(shè)存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B ，則P 1AkP = Bk . 設(shè)j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1

11、P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E = j (B) .,定理：設(shè) n 階矩陣 L = diag(l1, l2, , ln )，則l1, l2, , ln 就 是 L 的 n 個特征值 證明： 故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 個特征值,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項式 j (A) 和 B 的 多項式 j (B) 相似,若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l

12、2, , ln ) 相似，則 從而通過計算j (L) 可方便地計算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.,可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對角陣）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對應(yīng)的 特征向量,其中,?,定理4： n 階矩陣 A 和對角陣相似 當(dāng)且僅當(dāng) A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量,推論：如果 A 有 n 個 不同的特征值，則 A 和對角陣相似,設(shè) ，求 ， 為任意正整數(shù)。,【例9】,【解】先求出A的特征值和特征向量。,屬于特征值 的特征向量滿足 ，可取特征向量,屬于特征值

13、 的特征向量滿足 ，可取特征向量,將這兩個線性無關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣則有矩陣等式,其中 是以A的特征值為對角元的對角矩陣。,據(jù)此就可以求出,【練習(xí)91】,與矩陣 相似的對角矩陣為 _,【解】有相同特征值的同階對稱矩陣一定（正交）相似A的特征值為1和3，與A相似的對角矩陣為,【練習(xí)92】,與矩陣A= 相似的是（ ） A B CD,【解】有相同特征值的同階對稱矩陣一定（正交）相似,A,【練習(xí)93】,設(shè)三階方陣A的特征值分別為 ，且B與A相似，則 _,16,【解】定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同,從而 A 和 B 的特征值也相同,【練習(xí)94】,已知矩陣A與

14、對角矩陣D= 相似，則 （ ） AA BDCED E,【解】存在 ，使， ，,C,【練習(xí)95】,19已知3階矩陣 的特征值為 ，且矩陣 與 相似，則 _,【解】定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項式相同,從而 A 和 B 的特征值也相同 的特征值為 ，,4,5.3 向量內(nèi)積和正交矩陣,向量的內(nèi)積,定義：設(shè)有n 維向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積 說明： 內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，其結(jié)果是一個實數(shù) 內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x 和 y 都是列向量時，x, y = x1 y1 +

15、x2 y2 + + xn yn = xT y ,定義：設(shè)有 n 維向量 令 則稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積,向量的內(nèi)積,【練習(xí)96】,設(shè)向量 ， ， 則向量 ， 的內(nèi)積=_,10,解:內(nèi)積為,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式

16、x, y2 x, x y, y,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z

17、為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實數(shù)）： 對稱性： x, y = y, x 線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0（零向量） 時

18、， x, x = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， x, x 0 施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,回顧：線段的長度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2),O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，則,若令 x = (x1, x2, x3)T，則,x, x = x12 + x22 + + xn2 0,向量的長度,定義：令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數(shù)） 當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質(zhì)： 非負性：當(dāng) x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當(dāng) x0（零向量） 時， | x | 0

19、齊次性： | l x | = | l | | x | ,向量的長度,定義：令 稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度（或范數(shù)） 當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量 向量的長度具有下列性質(zhì)： 非負性：當(dāng) x = 0（零向量） 時， | x | = 0； 當(dāng) x 0（零向量） 時， | x | 0 齊次性： | l x | = | l | | x | 三角不等式： | x + y | | x | + | y |,x,y,x + y,y,向量的正交性,施瓦茲（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 當(dāng) x 0 且 y 0 時， 定義：當(dāng) x

20、0 且 y 0 時，把 稱為 n 維向量 x 和 y 的夾角,x,y,當(dāng) x, y = 0，稱向量 x 和 y 正交 結(jié)論：若 x = 0，則 x 與任何向量都正交,定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組 定理：若 n 維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量， 則 a1, a2, , ar 線性無關(guān) 證明：設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + +

21、 0 = k1 |a1|2 從而 k1 = 0 同理可證，k2 = k3 = = kr =0 綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān),【例10】已知3 維向量空間R3中兩個向量 正交，試求一個非零向量a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交 分析：顯然a1a2 【解】設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，則 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,得 從而有基礎(chǔ)解系 ，令 ,【練習(xí)97】,下列向量中與 正交的向量是（） A B C D,D,解:內(nèi)積為零的兩

22、個向量正交,【練習(xí)98】,已知向量 與向量 正交，則 _,2,解:內(nèi)積為零的兩個向量正交,【練習(xí)99】,已知向量 正交，則 _,解:內(nèi)積為零的兩個向量正交,【練習(xí)100】,已知向量 與向量 正交，則 _,1,解:內(nèi)積為零的兩個向量正交,【練習(xí)101】,已知向量 與向量 正交，則 ( ) A2 B0 C2 D4,D,解:內(nèi)積為零的兩個向量正交,定義： n 維向量e1, e2, , er 是向量空間 中的向量， 滿足 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個基（最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量， 則稱 e1, e2, , er

23、是V 的一個規(guī)范正交基 例： 是 R4 的一個規(guī)范正交基,也是 R4 的一個規(guī)范正交基,是 R4 的一個基，但不是規(guī)范正交基,設(shè) e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個正交基，則V 中任意一 個向量可唯一表示為 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特別地，若 e1, e2, , er 是V 的一個規(guī)范正交基，則 問題： 向量空間 V 中的一個基 a1, a2, , ar 向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基 e1, e2, , er,？,求規(guī)范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，

24、那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,規(guī)范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 為 a2 在 b1 上的投影，則 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，則 b1b2 下面確定l 的值因為 所以 ，從而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化過程 設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令,于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價，即b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基特別地，b1, , bk 與a1, ,

25、ak 等價（1 k r）,第二步：單位化 設(shè) b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基，那么令 因為 從而 e1, e2, , er 是向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基,【例11】設(shè) ，試用施密特正 交化過程把這組向量規(guī)范正交化 【解】第一步正交化，取,【例12】設(shè) ，試用施密特正交化 過程把這組向量規(guī)范正交化 【解】第二步單位化，令,【練習(xí)102】,利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組,解:正交化，得正交的向量組：,單位化，得正交的單位向量組：,【練習(xí)103】,將 ， ， 標(biāo)準正交化。,解:正交化，得正交的向量組：,再將它們單位化可以求得,【例13】已知 ，

26、試求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 兩兩正交. 【解】若a1a2 ， a1a3 ，則 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基礎(chǔ)解系為 把基礎(chǔ)解系正交化即為所求,（以保證 a2a3 成立）,定義：如果 n 階矩陣 A 滿足 ATA = E， 則稱矩陣 A 為正交矩陣，簡稱正交陣,即 A1 = AT，,于是 從而可得 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的

27、規(guī)范正交基,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基. 因為ATA = E 與AAT = E 等價，所以,定義：如果 n 階矩陣A 滿足 ATA = E，即 A1 = AT， 則稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基 方陣A 為正交陣的充分必要條件是 A 的行向量都是單位向量，且兩兩正交,即 A 的行向量組構(gòu)成Rn

28、的規(guī)范正交基.,例14：正交矩陣,R4 的一個規(guī)范正交基,正交矩陣具有下列性質(zhì)： 若 A 是正交陣，則 A1 也是正交陣，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交陣，則 A 和 B 也是正交陣 定義：若 P 是正交陣，則線性變換 y = Px 稱為正交變換 經(jīng)過正交變換，線段的長度保持不變（從而三角形的形狀保 持不變），這就是正交變換的優(yōu)良特性,【練習(xí)104】,設(shè)A為n階正交矩陣，則行列式 （） A-2 B-1 C1 D2,C,解:A為正交矩陣，則,【練習(xí)105】,下列矩陣是正交矩陣的是（ ） AB CD,A,解:A為正交矩陣，則,表示一個從變量 到變量 線性變換， 其中 為常數(shù).,n 個變

29、量 與 m 個變量 之間的 關(guān)系式,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.,返回,5.4 實對稱矩陣的相似標(biāo)準形,定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān),可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對角陣）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對應(yīng)的 特征向量,其中,?,(Ali E) pi = 0,矩陣 P 的 列向量組 線性無關(guān),定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A

30、 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120定理2） 定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量（P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化（P.118例6）,定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1,

31、 l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120定理2） 定理：設(shè) l1 和 l2 是對稱陣 A 的特征值， p1, p2 是對應(yīng)的特 征向量，如果 l1 l2 ，則 p1, p2 正交（P.124定理6） 證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是對稱陣） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因為l1 l2 ，則 p1T p2 = 0

32、，即 p1, p2 正交,定理：設(shè) A 為 n 階對稱陣，則必有正交陣 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 個特征值為對角元的對角陣（不唯一）. （P.124定理7）,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向

33、量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化,推論：設(shè) A 為 n 階對稱陣，l 是 A 的特征方程的 k 重根，則 矩陣 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 個線性無關(guān)的特征向量與特征值 l 對應(yīng),【例15】設(shè) ，求正交陣 P，使P1AP = L對角陣. 【解】因為 A 是對稱陣，所以 A 可以對角化 求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 ,當(dāng) l1 = 2 時， 解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系 當(dāng) l2 = l3 = 1 時， 解方程組 (AE) x = 0 ，得 令 ，則 .,當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為 ； 當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為 . 顯然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化： 此時x1h2 ， x1h3 ，h2h3 ,單位化： 當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為 ； 當(dāng) l2 =