1、.計算流體動力學(xué)及其應(yīng)用 習(xí)題1、擴散 (質(zhì)量、動量、能量)現(xiàn)象的方程和邊界條件為：u2u0 t T0 x Ltx2初始條件： u(x,0)=0 (除x=0.5外)；u(0.5,0)=0.1邊界條件： u(0,t)=1 ，u(L ,t)=1 (除 t=0外)；u(x,0)=0設(shè) =1,x=0.1, L =1, T=2, I =10；請在 t=0.005 ， t=0.01兩種情況下各進行 10個時間步的數(shù)值計算，并找出某些規(guī)律。提示：采用時間前差空間中差格式?？磧煞N情況是否穩(wěn)定？t n t u0u1u2 u3u4u5u6 u7u8u9 u100000000.1000000.005110.0111

2、0.015110.02110.025110.0311.2、已知：d 2 u2u 4x22x40x1dx2邊界條件： x=0,du1 ； x=1,u= -1dx利用 FDM 和FVM ，求各節(jié)點的 u值，并與精確解進行比較。提示：參考 P6-8 Neumann 邊界條件3、用一般方法 (前向差分、后向差分、中心差分)導(dǎo)出一階微分u具有三 (六)階精度的差分格式。p20x4、采用 Von Neumann 方法判斷下式的穩(wěn)定性。ui n 1ui n 1(ui 1n2ui nui 1n )O( t 2 , x2 )2tx2P37-39 可采用反證法證明其無條件不穩(wěn)定。.5、已知：2uf ( x, y)

3、精確解為：u2x2 y 2應(yīng)用第一類邊界條件，有：u1, u2 ,u3,u6 ,u90u48, u88f58,f820采用有限體積法求 2 2單位網(wǎng)格的數(shù)值解。 p1126、利用 CFD 軟件 (如 FLUENT 或CFX 或STAR-CD 等)計算一個實例。要求：寫出實例的具體內(nèi)容、邊界條件、初始條件并打印出模型、網(wǎng)格及計算結(jié)果。1. 采用時間前差，空間中差uin 1uind (uin 12uinuin 1)t0.005tU0U1U2U3U4U5U6U7U8U9U100000000.1000000.00510000.0500.0500010.0110.500.02500.0500.02500

4、.510.01510.50.262500.037500.037500.26250.510.0210.63120.250.1500.037500.150.250.631210.02510.6250.39060.1250.093800.09380.1250.39060.62510.0310.69530.3750.24220.06250.09380.06250.24220.3750.695310.003510.68750.46880.21880.1680.06250.1680.21880.46880.687510.0410.73440.45310.31840.14060.1680.14060.318

5、40.45310.734410.04510.72660.52640.29690.24320.14060.24320.29690.52640.726610.0510.76320.51170.38480.21880.24320.21880.38480.51170.76321t=0.01tU0U1U2U3U4U5U6U7U8U9U1000.000.000.000.000.000.100.000.000.000.000.000.011.000.000.000.000.10-0.100.100.000.000.001.000.021.001.000.000.10-0.200.30-0.200.100.0

6、01.001.00.0.031.000.001.10-0.300.60-0.700.60-0.301.100.001.000.041.002.10-1.402.00-1.601.90-1.602.00-1.402.101.000.051.00-2.505.50-5.005.50-5.105.50-5.005.50-2.501.000.061.009.00-13.0016.00-15.6016.10-15.6016.00-13.009.001.000.071.00-21.0038.00-44.6047.70-47.3047.70-44.6038.00-21.001.000.081.0060.00

7、-103.60130.30-139.60142.70-139.60130.30-103.6060.001.000.091.00-162.60293.90-373.50412.60-421.90412.60-373.50293.90-162.601.000.101.00457.50-830.001080.00-1208.001247.10-1208.001080.00-830.00457.501.00從時間步長為 t=0.005 情況看，速度逐步衰減，是收斂的；時間步長為t=0.01 情況下，速度存在突變，是發(fā)散的。由此可以看出選擇時間步長對計算結(jié)果收斂情況起決定作用。分析：采用 Von Neu

8、mann方法，分別計算 T=0.005s和 T=0.01s時的擴散因子 d，可發(fā)現(xiàn) T=0.005s時 0 d1/ 2 ，計算結(jié)果穩(wěn)定，而 T=0.01s時 d1/ 2 ，計算結(jié)果不穩(wěn)定。1. FDM不采用虛擬節(jié)點時：u2u311/ 3節(jié)點 2： u32u2u12u2f 2(1/ 3)2節(jié)點 3： u42u3u22u3f 3(1/ 3)2代入 u41解得： u30.3516采用在節(jié)點 1 給出 du 的二階精度公式3u14u2 u31d x2 x可解得： u329FVM節(jié)點 1： u2u11 f2xx2節(jié)電 2： u3u2u2u12u2 x f 2xxx節(jié)點 3： u4u3u3u22u3 x

9、f 3xxx代入 u41, x1/ 3, f238/ 9, f332 / 9解得： u32 / 9精確解 u2x2x.對比可得 FVM 得出的解等于精確解，即 Neumann邊界條件在 FVM 中精確實現(xiàn)。而 FDM 的解有一定誤差，因為在 FDM 中難以實現(xiàn) Neumann邊界條件，但可采用虛擬節(jié)點法，二階精度法等來改進 FDM 以得到精確解。2. 前向差分ui 1uix(u( x)2(2u( x)33u( x)44u)i2!x2 ) i3!(x3 )i4!(x4 )ixui 2ui2 x( u) i(2 x) 2 (2u2 )i(2 x)3(3u3 ) i(2 x) 4 (4u4 )ix2

10、!x3!x4!xui 3ui3 x( u)i(3 x)2(2u2 )i(3 x)3(3u3 )i(3 x)4(4 u4 )ix2!x3!x4!x令(u)iauibui 1cui 2dui 3(x3)xx列方程解得： a11, b3,c3 , d1623后向差分ui 1ui(x)( u)i(x) 2 (2u2)i(x)3(3u3 )i(x) 4 (4u4 )ix2!x3!x4!xui 2ui(2x)(u )i(2x)2(2u2 ) i(2x)3(3u3 ) i(2x)4(4 u4 )ix2!x3!x4!xui 3ui( 3 x)(u)i( 3 x) 2(2u( 3 x)3(3u( 3 x)4(4

11、 ux2!x2 ) i3!x3 ) i4!x4 )i令 (u)iauibui 1cui 2dui 3(x3)xx11 ,b3 , d1解得： a3,c623中心差分ui 3ui( 3 x)( u ) i( 3 x)2(2 u2 )i( 3 x)3 (3u3 )i( 3 x)4(4u4 )i( 3 x)5(5u5 )i( 3 x) 6 (6u6 )ix2!x3!x4!x5!x6!xui 2ui( 2 x)( u)i( 2 x)2(2u2 )i( 2 x)3 (3u3 )i( 2 x)4(4u4 )i( 2 x)5(5u5 )i( 2 x)6(6u6 )ix2!x3!x4!x5!x6!xui1ui

12、(x)(u )i(x)2(2u2 )i(x)3(3u3 )i(x)4(4u4 )i(x) 5(5u5 )i(x)6(6u6 ) ix2!x3!x4!x5!x6!xui1ui(x)(u )i(x)2(2 u2 )i(x)3(3u3 ) i(x) 4(4u4 )i(x)5(5u5 )i( x)6(6 u6 )ix2!x3!x4!x5!x6!x.ui2ui(2x)(u )i(2x) 2(2u2 )i(2 x)3(3u3 )i(2 x) 4(4u4 )i(2 x)5(5u5 )i(2 x)6(6u6 )ix2!x3!x4!x5!x6!xui3ui(3x)(u )i(3x) 2(2u2 )i(3 x)3

13、(3u3 ) i(3 x)4(4u4 )i(3 x) 5(5u5 )i(3 x)6(6u6 )i令x2!x3!x4!x5!x6!x( u5u8 ) s5,8( u9u8 ) s9,8(u7u8 ) s7,8f 8 A8( u )iaui 3bui 2cui 1duieui 1fui 2gui 3( x6 )xxa0.0167, b0.15, c0.75解得：0, e0.75, f0.15, g 0.0167d4.uin 1uin 1(uin12uinuin1 )( t 2 , x2 ) （1）2tx2uini假定任一個時間步 n 的數(shù)值解uninn 1n 1nnn代入得 ii( i 12ii

14、1) （2）2tx2將 in 分解為傅立葉級數(shù)nNnIije.（ 3）ijN將（3）式代入（ 2）式得n 1n1(nnn)IieI (i 1)2 eIieI ( i 1)2tex2令 d2tx2n 1n1dn2 e I) .（ 4）(eIn令誤差放大因子 fn(n 1) 代入（ 4）得fn 11cos) .（ 5）2d (1f nfn1cos) .（6）2d (1f n 1.這里采用反證法，假設(shè)其有條件穩(wěn)定則由（ 5）（6）可推出 d0, fn 0 再由（5）（6）得fn 111而該方程與假設(shè)（ fn 1 f n , fnf n 1 ）矛盾fnfn 1f n固假設(shè)不成立，即（ 1）式無條件不穩(wěn)定。5.節(jié)點 5 的差分方程為( u2u5) s2,5( u6u5 ) s6,5(u8u5 ) s8,5(u4 u5 )s4,5 f