1、第三章3.3 幾何概型,3.3.1幾何概型,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.了解幾何概型與古典概型的區(qū)別. 2.理解幾何概型的定義及其特點(diǎn). 3.會(huì)用幾何概型的概率計(jì)算公式求幾何概型的概率,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一幾何概型的含義,1.幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與 成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型. 2.幾何概型的特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有 . (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 .,無(wú)限多個(gè),相等,答案,構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積),思考幾何概型與古典概型有何區(qū)別？,答幾何概型

2、與古典概型的異同點(diǎn),答案,知識(shí)點(diǎn)二幾何概型的概率公式,P(A) .,思考計(jì)算幾何概型的概率時(shí)，首先考慮的應(yīng)該是什么？,答首先考慮取點(diǎn)的區(qū)域，即要計(jì)算的區(qū)域的幾何度量.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,例1取一根長(zhǎng)為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m的概率有多大？,解如圖，記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m”為事件A.,把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段時(shí)，事件A發(fā)生，,因?yàn)橹虚g一段的長(zhǎng)度為1 m，,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或

3、曲線段，然后找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找區(qū)域d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率.,跟蹤訓(xùn)練1平面上畫了一組彼此平行且相距2a的平行線.把一枚半徑ra的硬幣任意投擲在平行線之間，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率.,解設(shè)“硬幣不與任一條平行線相碰”為事件A. 如圖，在兩條相鄰平行線間畫出與平行線間距為r的兩條平行虛線，,則當(dāng)硬幣中心落在兩條虛線間時(shí)，與平行線不相碰.,解析答案,題型二與面積有關(guān)的幾何概型,例2射箭比賽的箭靶中有五個(gè)涂有不同顏色的圓環(huán)，從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm，靶

4、心直徑為12.2 cm，運(yùn)動(dòng)員在一定距離外射箭，假設(shè)每箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？,解析答案,反思與感悟,解如圖，記“射中黃心”為事件B.,反思與感悟,反思與感悟,解此類幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵： (1)根據(jù)題意確定是不是與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題. (2)找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計(jì)算相關(guān)面積，套用公式從而求得隨機(jī)事件的概率.,跟蹤訓(xùn)練2一只海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30 m，寬20 m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2 m的概率.,解如圖所示，區(qū)域是長(zhǎng)30 m、寬20 m的長(zhǎng)方形.,圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸

5、邊不超 過(guò)2 m”，問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰 影部分的概率. 由于區(qū)域的面積為3020600(m2)， 陰影部分的面積為30202616184(m2).,即海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2 m的概率約為0.31.,解析答案,題型三與體積有關(guān)的幾何概型,例3已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于 的概率.,解析答案,反思與感悟,解如圖，分別在SA，SB，SC上取點(diǎn)A1，B1，C1，使A1， B1，C1分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)， 則當(dāng)點(diǎn)M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時(shí)，,設(shè)ABC的面積為S，由ABCA1B1C1，且相似比為2，得A1B

6、1C1的面積為 .,反思與感悟,反思與感悟,如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來(lái)度量，我們要結(jié)合問(wèn)題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的區(qū)域體積及事件A所占的區(qū)域體積.其概率的計(jì)算公式為 P(A),跟蹤訓(xùn)練3一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，求蜜蜂“安全飛行”的概率.,解依題意，在棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到各面的距離均大于1. 則滿足題意的點(diǎn)區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體.,解析答案,題型四與角度有關(guān)的幾何概型,例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60角的終

7、邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在xOT內(nèi)的概率.,解以O(shè)為起點(diǎn)作射線OA是隨機(jī)的，因而射線OA落在任何 位置都是等可能的，落在xOT內(nèi)的概率只與xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件. 于是，記事件B射線OA落在xOT內(nèi).,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,當(dāng)涉及射線的運(yùn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，常以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.,跟蹤訓(xùn)練4如圖，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M.求AMAC的概率.,解因?yàn)镃M是ACB內(nèi)部的任意一條射線， 而總的基本事件是ACB的大小，即為90，,如圖，當(dāng)C

8、M在ACC內(nèi)部的任意一個(gè)位置時(shí)，皆有AMACAC，,解析答案,轉(zhuǎn)化與化歸思想,思想方法,例5把長(zhǎng)度為a的木棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.,分析將長(zhǎng)度為a的木棒任意折成三段，要能夠構(gòu)成三角形必須滿足“兩邊之和大于第三邊”這個(gè)條件，進(jìn)而求解即可.,分析,解后反思,解析答案,返回,解設(shè)將長(zhǎng)度為a的木棒任意折成三段的長(zhǎng)分別為x，y，axy，,設(shè)事件M能構(gòu)成一個(gè)三角形， 則當(dāng)(x，y)滿足下列條件時(shí)，事件M發(fā)生.,解后反思,解析答案,它所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，,解后反思,解后反思解決本題的關(guān)鍵是將之轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題.一般地，有一個(gè)變量可以轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，

9、有兩個(gè)變量可以轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型，有三個(gè)變量可以轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型.,返回,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.在區(qū)間0,3上任取一個(gè)數(shù)，則此數(shù)不大于2的概率是(),C,解析答案,1,2,3,4,5,2.在半徑為2的球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，則|OP|1的概率為(),解析問(wèn)題相當(dāng)于在以O(shè)為球心，1為半徑的球外，且在以O(shè)為球心，2為半徑的球內(nèi)任取一點(diǎn)，,A,解析答案,1,2,3,4,5,3.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域. 在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ，則陰影區(qū)域的面積是(),解析在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，其結(jié)果有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型. 設(shè)“落在陰影區(qū)域內(nèi)”為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域是陰影部分. 設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是正方形的面積，,C,解析答案,1,2,3,4,5,4.當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，那么你看到黃燈的概率是(),解析由題意可知，在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機(jī)出現(xiàn)的， 可以認(rèn)為是無(wú)限次等可能出現(xiàn)的，符合幾何概型的條件. 事件“看到黃燈”的時(shí)間長(zhǎng)度為5秒，而整個(gè)燈的變換時(shí)間長(zhǎng)度為80秒，,C,解析答案,1,2,3,4,5,5.在1 000 mL水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3 mL水