1、應用隨機過程,第三章 隨機分析簡介,3.1 隨機過程的收斂性,隨機過程的收斂性是研究隨機分析的基礎，由于隨機過程的不確定性，其收斂性的選擇也是多種多樣的，本節(jié)主要介紹均方收斂，這是因為均方收斂能簡化分析、比較實用。今后，本書分析和研究問題一般都使用均方收斂概念。 定義依均方收斂： 考慮隨機變量序列 ，如果存在隨機變量x滿足,則稱隨機變量序列xn依均方收斂于隨機變量x，并記為 或 （ms是英文MeanSquare縮寫） 1. 兩個均方收斂性判據(jù) 里斯菲希爾定理：對隨機變量序列 構(gòu)造柯西序列 如果滿足 則必然存在一個隨機變量x，使得 。,洛夫準則（又稱均方收斂準則）：隨機變量序列 均方收斂于x的充

2、要條件是 （c取常數(shù)） 2. 均方收斂的性質(zhì) （1）如果隨機變量序列 依均方收斂于隨機變量x，則有 （2）均方收斂是唯一的。如果 則必有x = y,（3）如果 ，則有 （4）如果 ，a和b是任意常數(shù)，則有 研究隨機過程的統(tǒng)計變化規(guī)律，在一定條件下，有時我們也可以借助數(shù)學分析的工具建立起隨機過程的收斂性、連續(xù)性、可微性、可積性等概念，進而可對隨機過程的變化規(guī)律有更清楚的分析了解。這部分內(nèi)容屬于隨機分析，這里我們只作簡介。當然在此基礎上，我們還可建立隨機微分方程，自從伊藤1961年建立隨機微分方程理論以來，隨機微分方程發(fā)展很快，已滲透到各領(lǐng)域。,3.2 隨機過程的連續(xù)性,定義：若隨機過程X(t)滿

3、足 = 0，則稱隨機過程X(t)于t時刻在均方意義下連續(xù)（簡稱 連續(xù)）。 另一方面，由定義知,有,對于右邊極限式，自相關(guān)函數(shù) 是的函數(shù)。 欲使右邊極限為零，則需 ，才能保證隨機過程均方連續(xù)。 對于左邊，若隨機過程均方連續(xù)，則隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，在上也處處連續(xù)。 總之，若隨機過程處處均方連續(xù)，則它的自相關(guān)函數(shù)所在上也處處連續(xù)，反之也成立。,性質(zhì)3.1 若隨機過程X(t)是 連續(xù)的，則它的數(shù)學期望也必定連續(xù)，即：,性質(zhì)3.1 若隨機過程X(t)是 連續(xù)的，則它的數(shù)學期望也必定連續(xù)，即： 證 設 是一個隨機變量,又 均方連續(xù) 由夾擠定理知 這表明求極限和求數(shù)學期望的次序可以交換，這是一個非常有用的

4、結(jié)果，以后經(jīng)?？捎玫健?3.3 隨機過程的微分及其數(shù)學期望與相關(guān)函數(shù),1. 隨機過程的微分 我們知道一般函數(shù)導數(shù)定義是 對于一個隨機過程，在一定條件下，是不是也有類似的導數(shù)定義，即：,我們說當隨機過程的所有樣本函數(shù)，即 的極限都存在，則可以說隨機過程的導數(shù)存在，然而在隨機過程 中可能有某些樣本函數(shù)的極限不存在，但大部分都存在，為此我們給出一個條件較弱的隨機過程在均方意義下（即平均意義下）的導數(shù)存在定義。 定義均方可微：如果 滿足下式,則 稱在t時刻具有均方導數(shù) ，記為 一般函數(shù)存在導數(shù)的前提是函數(shù)必須連續(xù)，因此隨機過程存在導數(shù)的前提也需要隨機過程必須連續(xù)。但是，對一個隨機過程要求它們所有樣本函

5、數(shù)都連續(xù)很困難，為此我們定義了所謂的均方連續(xù)，并給出隨機過程的均方導數(shù)與它的相關(guān)函數(shù)關(guān)系,性質(zhì)3.2 如果自關(guān)函數(shù) 時連續(xù)，且存在二階偏導數(shù) 則隨機過程在均方意義下存在導數(shù)（證明略） 應當指出，隨機過程有導數(shù)，首先過程必須是連續(xù)的，但隨機過程的連續(xù)性不能保證過程一定有導數(shù)。,2. 隨機過程的均方導數(shù) 的數(shù)學期望,設 ，由均方導數(shù)定義，有,上式說明：隨機過程 的導數(shù) 的數(shù) 學期望等于它的數(shù)學期望的導數(shù)，且上式的量都是普通非隨機函數(shù)，因此這個導數(shù)具有一般意義。,3. 隨機過程的的導數(shù)的自相關(guān)函數(shù),性質(zhì)3.3 如果 的導數(shù) 存在，則 的自相關(guān)函數(shù)可表示為：,證,又,3.4 隨機過程的積分,對于一個隨

6、機過程 如果它的每一個時間樣本函數(shù) 可積，在一般意義下可理解隨機過程可積，然而在實際問題中要求所有的時間樣本函數(shù)都可積很困難，于是我們給出在大多數(shù)樣本函數(shù)可積條件下的所謂隨機過程均方可積定義。該定義類似高等數(shù)學函數(shù)可積定義：簡述為， 上可積，則有,仿此，類似可給出隨機過程均方可積定義。 定義隨機過程均方可積：當我們把積分區(qū)間a,b分 成n個小區(qū)間并令 ，當 時，若 則稱Y為隨機過程在均方意義下的積分。可表示為： 注意，由隨機過程均方可積定義可知其積分結(jié)果Y應為一個隨機變量。,由隨機過程的均方可積定義，我們還可給出帶有權(quán)函數(shù)的隨機過程均方可積定義，即 式中， 是一個權(quán)函數(shù)，且該函數(shù)為普通函數(shù)，而

7、積分結(jié)果是一個新的隨機過程。 在第七章我們將看到， 在工程上的解釋可看成線性時不變系統(tǒng)的輸出，這個輸出就是輸入的隨機信號與系統(tǒng)沖激響應的卷積。 由于隨機過程的均方積分 是一個隨機變量，下面我們來更進一步討論隨機過程的積分y的數(shù)學期望、均方值、方差和相關(guān)函數(shù)。,1. 隨機過程積分的數(shù)學期望 這表明隨機過程積分的數(shù)學期望等于隨機過程數(shù)學期望的積分，也就是說，積分運算與數(shù)學期望的運算次序可以互換。,由式（3.10）知，對于,2. 隨機過程積分的均方值與方差 ,又,3. 隨機過程積分的相關(guān)函數(shù),我們知道隨機過程 的積分，即 為一個隨機變量，在實際問題中有時會遇到如下隨機過程積分，即 即所謂的變上限隨機

8、過程的積分，顯然此時 本身構(gòu)成一個隨機過程。下面我們來求Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。 ,上式表明，隨機過程積分的相關(guān)函數(shù)等于隨機過程相函數(shù)的二次積分。,3.5 隨機微分方程簡介,當我們用定量分析的方法來研究工程問題時，通常要建立一個微分方程，由于我們都是在一定條件下對問題進行定量分析，所以還需要給出問題的某些條件，對于微分方程，這些條件就是初始條件或邊界條件。例如描述一個線性系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系時，可用如下微分方程及初始條件來表示：,但考慮到隨機因素的影響，如初始條件的微小變化、測量誤差帶來的常系數(shù)改變或 本身就是一個隨機過程（若把 看作布朗運動的質(zhì)點受到液體分子隨機碰撞）。由此一來，就使得方程的解

9、具有不確定性，從而使其解為一個隨機過程。下面我們來研究一個微分方程： 設 是隨機變量， 是隨機過程，則稱(3.11)式為隨機微分方程。式中 可以有一個或一個以上是普通的常數(shù)或函數(shù)，若它們?nèi)瞧胀ㄒ饬x下的常數(shù)或函數(shù)，則（3.11）式就是通常的微分方程。,（3.11）,隨機微分方程可用來表示一個系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系，若把 看作是一個輸入信號，則 可看作為 通過該系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出信號，因此，隨機微分方程在隨機控制論、濾波過程辨識、智能技術(shù)、通信等方面都有重要的應用。關(guān)于隨機微分方程的詳細論述可參見文獻。這里我們僅通過一個簡單例子來建立一些基本概念。 在(3.11)式中，當考慮 為常數(shù)時，（3.11）

10、式即為,（3.12）,給定初始條件 X(0) = 0 (概率為1） 下面我們來討論之間的一些數(shù)字特征，不妨假設它們的二階矩都存在。 的數(shù)學期望之間的關(guān)系 對（3.12）式兩端求數(shù)學期望，結(jié)合3.3的性質(zhì)得 此時，初始條件，同樣兩端求數(shù)學期望，有,整理得 顯然（3.15）式是普通的一階常微分方程，由一階常微分方程的解法，可求得 的函數(shù)關(guān)系。顯然，由（3.15）式知若已知 的數(shù)學期望，則可通過（3.15）式求得 的數(shù)學期望，反之也一樣。,2. 的相關(guān)函數(shù)關(guān)系 設 ，由（3.12）式 上式兩邊乘以 得 上式兩邊求數(shù)學期望得 由3.3節(jié)性質(zhì)有,同理，此時的初始條件可變?yōu)?用同樣方法對（3.12）式令 ，且兩端乘以 ，也可得類似的常微分方程 初始條件為 將（3.16）式、（3.17）式聯(lián)立，則可求得 的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。,例3.1 設隨機微分方程為 其中 上均方可積， 是數(shù)學期望有限的隨機變量。,例3.1 設隨機微分方程為 其中 上均方可積， 是數(shù)學期望有限的隨機變量。 解 用直接求法。首先求方程的解，兩端取均方積分并代入初始條件得 故其數(shù)