1、研究生課程報告二階倒立擺的控制二階倒立擺的控制指導(dǎo)老師：屈楨深問題描述小車質(zhì)量 0.8kg，擺桿 1 質(zhì)量 0.3kg, 擺桿長度 1.0m；擺桿 2 質(zhì)量 0.1kg, 擺桿長度 0.5m。要求：設(shè)計 nn 控制器，滿足指標(biāo)要求： 0.2hz 正弦信號幅值裕度 10%, 相角裕度 2 階倒立擺。一階倒立擺建模小車由電機(jī)通過同步帶驅(qū)動在滑桿上來回運(yùn)動，保持?jǐn)[桿平衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動卡反饋小車和擺桿位置（線位移和角位移）。小車在軌道上可以自由滑動。單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型.n 和 p 分別為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為：m xfbx

2、n由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：nd2xl sinm2dtnmxmlcos ml 2 sin把這個等式代入式中，得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程：mm xbxmlcosml2 sinf為了推出系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程，對擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析，得到下面的方程：pmgd2l cosm2dtp mgmlsinml 2 cos力矩平衡方程如下：plsinnl cos i方程中力矩的方向， coscos ,sinsin ，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約去p 和 n，得到第二個運(yùn)動方程：.iml 2mgl sinml x cos假設(shè)與 1（單位是弧度）相比很小，即1，則可進(jìn)行近似處理：,

3、d2cos1,sin0dt用 u 代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運(yùn)動方程如下：iml 2mglmlxmm xbxmlu對方程（ 7）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：iml 2 (s) s2mgl (s)mlx ( s)s2mm x (s)s2bx (s) sml (s)s2u (s)推導(dǎo)時假設(shè)初始條件為0 則擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為：(s)mls2x (s)(iml2 )s2mgl擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：( s)mla(s)iml 2 s2mgl擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：.(s)ml s22 )qf (s)4b( iml3(m m)mgl2bmglsqsssqqq

4、 (mm)( iml 2 )m2l 2以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：0100&( iml2)b22xx0m gl20&m)mml2i (mm)mml&xi ( mx&0001&0mlbmgl(mm)0m)mml2i (mm)mml 2i ( m0iml2i (mm)mml 20umli (mm)mml 2xx100&0y0 xu00100&以小車加速度 作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：x&0100x000001&xx&u 00010&003g0&34l4l.xyx1000&0ux00100&2 系統(tǒng)的可控性、可觀測性分析對于連續(xù)時間系統(tǒng)：xaxbuycxdu系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條

5、件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 b , ab ,., a n 1 b是線性無關(guān)的，或 nn 維矩陣 b aba n 1 b 的秩為 。n系統(tǒng)的輸出可控條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣cbcabca 2 bca n 1 b d 的秩等于輸出向量 y 的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對輸入為加速度輸出為擺桿與豎直方向的角度的夾角時的系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析即可。二階倒立擺建模在忽略了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質(zhì)桿的系統(tǒng)，如圖所示。.圖 1 直線兩級倒立擺物理模型下面利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)方程。拉格朗日方程為：l q, q&t q,q&v q, q&dlldtq&qfittm tm1 tm2 tm3tm1tm

6、1 tm1tm2tm2 tm21&2tmmx2.1dxl1 sin2dl1 sin2tm111m1dtdt212&122&mlcosml&m xx11111 11 122tm11211221222j p 123ml111ml11 16tm11&2&122 &2tm1tm1m1 xm1 l1 x1 cos3m1 l1 12同樣可以求出1 m221 m22tm2d ( x2l1 sin1l 2 sin 2d (2l1 cos1l2 cos2 )2dt2dt1&21&2m21 cos1l2 2 cos 2m22l1 1 sin1l2 2 sin2x 2l12212112212&2tm2j2 223m

7、2l 226m2l 2 2212&tm2tm2tm2m2&1 cos1 l 22 cos 2x2 x 2l12122422&2m2 4l113l224l1l 21 2 cos21因此，可以得到系統(tǒng)的總動能為：.ttmtm1tm 21212&22 &22mx&2m1 x&m1l1x& 1cos13m1l1112&m22l11 cos 1l22 cos22x2x122422&m24l1&l 2&4l1l2cos21321221系統(tǒng)的總勢能為：v vm1 vm 2 vm 3m1 gl1 cos 1m2 g 2l1 cos 1l 2 cos 2從而拉格朗日算子：ltv12122222mx&m1 x&m

8、1l1x&1cos 1ml11&1231 mx&22x& 2l&cosl& cos221112221m4l224224l l& cos2&l&2113221 21221m1gl1 cos 1m2 g2l1 cos 1l 2 cos2由于因為在廣義坐標(biāo)1 ,2 上均無外力作用，有以下等式成立：dlldt&011dlldt&022對 1 , 2求解代數(shù)方程，得到以下兩式.&(3(2gm sin14gm sin14m g sin13m g cos(21)sin2112326m2 l1 cos( 12 )sin(24m2 l2 sin( 122m1 &xcos 112 ) &12 ) &24m2 &x

9、cos 14m3 x&cos 13m2 &xcos( 12 )cos2 ) /(2l1( 4m1 12m2 12m39m2 cos2 ( 12 )&(4 m (m3(mm )l2l(3g sin6l&2sin()3&xcos)29212312211122222 )(6m2l22sin( 12 )3m2l1 l 2 cos( 1&23(m12(m2m3 )( g sin1x&cos 1 ) /(16m2 (m13(m2m3 )l12l224m22l12l 22 cos2 ( 12 )9表示成以下形式：&f ( x,2,x&,&,&, &x)11112&f2 (x,1,& & & &22 , x,

10、1 ,2, x)取平衡位置時各變量的初值為零，a( x, 1 , 2, x&, &1, &2,&x)(0,0,0,0,0,0,0)0將（ 23）式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令:k11f10a 0xf13( 2 gm14gm24gm3 )k12a 03m212m3 )l112( 4m1.k13f19m2 ga 02( 4m13m212m3 )l12k14f10& a0xk15f10& a01k16f10& a 02k17f13( 2m1m24m3 )& a 02( 4m1 3m2 )l1x帶入式，得到線性化之后的公式&1 k12 1k13 2k17&x將式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，

11、并線性化，令k 21f 2a 00xkf 22g( m12m2 )22a 04m2 l216( m13m2 )l219k 23f 2a 04g(m13m2 )3(4m2 l16(m13m2 )l2 )229k 24f 2& a 0xk25f 2& a 0100.f2k26& a 002f22(m12m2 )4 (m1 3m2 )k 27a 0163&x(m1 3m2 )l 24m2l 29帶入（ 22）式，得到&k22 1k23 2 k27&x2即：&k12k13&112k17x&k22k23&212k27 x現(xiàn)在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程u&x取

12、狀態(tài)變量如下：x1xx21x32x4&xx5&1x6&2由（ 33），（41），（42）式得到狀態(tài)空間方程如下：.x&000100x011x&000010x022&000001x30x3&000000x4ux41x&50k12k13000x5k17&0k 22k 23000x6k 27x6其中直線兩級倒立擺系統(tǒng)參數(shù)為：m小車質(zhì)量2.32kgm1 =0.3kg ； m2 =0.2kg ；1 為擺桿 1 與垂直向上方向的夾角2為擺桿 2 與垂直向上方向的夾角； l1 =1m；l 2 =0.5m； f 為作用在系統(tǒng)上的外力由以上方程，將以下參數(shù)代入即可。m0.8m10.3m20.2g9.8l11l2

13、0.5神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用4-5-3 結(jié)構(gòu)的三層前饋網(wǎng)。 輸入變量為.xx1x2 x3x1e tx2et(0-1)de tx3dte txin tyout t網(wǎng)絡(luò)隱含層的局部誘導(dǎo)域和輸出分別為v1jm1jin oi0nni 0(0-2)oi0nv1jnj 1,2,3,., q其中， w 為隱含神經(jīng)元的突觸權(quán)值， w0 表示神經(jīng)元的偏置， q 為隱含神經(jīng)元的節(jié)點數(shù)，隱含神經(jīng)元的激活函數(shù)取雙曲正切函數(shù)xtanh xexex(0-3)exex網(wǎng)絡(luò)輸出層的誘導(dǎo)局部域和輸出分別為qvk2 nwkj2 n o1j n(0-4)j0ok2 nfvk2 nk1,2,3(0-5)k po12nki

14、o22n(0-6)kdo32n考慮到輸出參數(shù)不能為負(fù)值，所以激活函數(shù)采用非負(fù)函數(shù).f x11 tanh xexex(0-7)2e x控制率為m c t kp e t ki e t kdde t(0-8)dt采用 bp 學(xué)習(xí)算法，對網(wǎng)絡(luò)的突觸權(quán)值進(jìn)行迭代修正，并附加一個使搜索快速收斂的全局極小的動量項。定義系統(tǒng)的代價函數(shù)為。12(0-9)te t22ttdwkj2 twkjwkj2 t(0-10)dtk2 t o1jndwkj2 tdt其中，yita 是學(xué)習(xí)率， alpha 是動量因子，根據(jù)微分鏈?zhǔn)揭?guī)則，局部梯度可計算如下k2 ttvk2t(0-11)tyouttutok2tyout tutok

15、2tvk2t由于輸出對控制量的偏導(dǎo)未知，所以用符號函數(shù)近似表示，由此帶來的計算不精確的影響盡量由調(diào)整學(xué)習(xí)率來補(bǔ)償。由控制方程不難得到.m c t k pid x kp e t ki e t dt kdde t(0-12)dtm ct(0-13)ok2xk tt將所有公式整合，不難得到神經(jīng)元k 的局部梯度為k2 t e t sgnyouttxk t f vk2 t(0-14)mct由此可得，網(wǎng)絡(luò)輸出層神經(jīng)元的突觸權(quán)值調(diào)整的修正公式為wkj2 tk2 t o1j twkj2 dt(0-15)同理，可得隱含層神經(jīng)元的突觸權(quán)值學(xué)習(xí)算法。w1ji t1j t oi0 tw1ji t dt(0-16)其中，神經(jīng)元 j 的局域梯度為31jt v1j tk2 t wkj2 t(0-17)k1至此，本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理已介紹完成，考慮到本次仿真過程采用的變時間步長仿真方式類似于連續(xù)仿真，故在上文公式中將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中所有離散部分連續(xù)化。現(xiàn)將網(wǎng)絡(luò)工作過程歸納如下。初始化確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，確定輸入層節(jié)點數(shù) m 和隱含層節(jié)點數(shù) q，并給出各層突觸權(quán)值的初值，選擇學(xué)習(xí)率和動量因子；采樣得到 xin 和 yout，并計算此時誤差e；.計算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層神經(jīng)元的輸入和輸出，輸出即為 pid 的三個可調(diào)參數(shù) kp、ki 、 kd;計算控制器的輸出u；進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)，在線調(diào)整突