1、.投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題線性規(guī)劃分析1 問題的提出市 上有 n 種 （如股票、 券、 ）si（ i 1，n）供投 者 ，某公司有數(shù) m 的一筆相當(dāng)大的 金可用作一個(gè) 期的投 . 公司 分析人 n 種 行了 估，估算出在 一 期內(nèi) s i 的平均收益率 r i ，并 出 s i 的 失率 q i .考 到投 越分散、 的 越小，公司確定，當(dāng)用 筆 金 若干種 ， 體 可用所投 的s i 中最大的一個(gè) 來度量 .購買 s i要付交易 ， 率 p i ，并且當(dāng) 不超 定 u i ，交易 按 ui 算（不 當(dāng)然無 付 ） . 另外，假定同期 行存款利率是r ，0且既無交易 又無 .（r 05）已知 n

2、4 的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：n的相關(guān)數(shù)據(jù)sr( )q ( )p ( )u ( 元)iiiiis1282.51.0103s2211.52.0198s235.54.5523s4252.66.540 公司 一種投 合方案，即用 定的 金m，有 地 若干種 或存 行生息，使 收益盡可能大，而 體 盡可能小.2 模型的建立模型 1. 體 用所投 si 中的最大一個(gè) 來衡量，假 投 的 水平是k，即要求 體 q(x) 限制在 k以內(nèi)： q(x) k 模型可 化 ：maxr xs.t.?q xk ,fx m ,x0模型 2.假 投 的盈利水平是h ，即要求 收益 r（ x）不少于 h ：r（ x）;.h，則模型可轉(zhuǎn)

3、化為：min q xs.t.r x hf x mx 0模型 3. 要使收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型。人們總希望對那些相對重要的目標(biāo)給予較大的權(quán)重.因此，假定投資者對風(fēng)險(xiǎn)收益的相對偏好參數(shù)為（ 0），則模型可轉(zhuǎn)化為：minq x ?（1 ?） r xs.t.fx mx03. 模型的化簡與求解由于交易費(fèi) c i (x i ) 是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對比較復(fù)雜，是一個(gè)非線性規(guī)劃問題， 難于求解 . 但注意到總投資額 m 相當(dāng)大，一旦投資資產(chǎn) s i ，其投資額 x i 一般都會(huì)超過 u i ，于是交易費(fèi) c i (x i ) 可簡化為線性函數(shù)cix

4、ipi xi . 從而，資金約束簡化為nnf ( x)fi ( xi )(1pi )ximi0i0凈收益總額簡化為nnnr( x )ri ( xi ) ri xi ci ( xi )( ri pi ) xii 0i0i 0在實(shí)際進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可設(shè)m=1，此時(shí)yi（1pi）（xi i0，1， ， n）可視作投資 s i 的比例 .以下的模型求解都是在上述兩個(gè)簡化條件下進(jìn)行討論的.1）模型 1的求解模型 1 的約束條件 q(x) k 即q( x )max qi (xi )max( qi xi )k ，0 in0 in所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為;.qi xik（ i0，1， ， n） 模型 1 可化 如下

5、的 性 劃 ：nmax(ripi )xii0s.t. qixi k,i =1, 2,l , nn(1pi ) xi1, x0i 0具體到 n=4 的情形，按投 的收益和 中表3-1 定的數(shù)據(jù)，模型 ：max0.05x 0+0.27x 1 +0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4s.t. 0.025x1k，0.015x 2 k，0.055x 3k，0.026x 4 k，x0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3 +1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 4）利用 matlab7.0求解模型 1，以 k=0.005 例： 出 果是0.177638, x0 0.1581

6、92, x1 0.2,x2 0.333333, x3 0.0909091,x 4 0.192308 明投 方案 （ 0.158192 ，0.2 ，0.333333 ， 0.0909091 ，0.192308 ） ，可以 得 體 不超 0.005的最大收益是 0.177638m.當(dāng) k取不同的 （ 00.03 ）， 與收益的關(guān)系 下 ：0.30.250.2益收0.150.10.0500.0050.010.0150.020.025風(fēng) 險(xiǎn) a模型 1 與收益的關(guān)系 ;.輸出結(jié)果列表如下：模型 1的結(jié)果風(fēng)險(xiǎn) k凈收益 rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.66327

7、70.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.251

8、76500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.0298039000.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000從表 3.2 中的計(jì)算結(jié)果可以看出，對低風(fēng)險(xiǎn)水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的s 2，然后是 s 1 和 s 4，總收益較低；對高風(fēng)險(xiǎn)水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（r i pi ）較大的 s 1 和 s 2 這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的，這里給出了定量的結(jié)果2）模型 2的求解模型 2本來

9、是極小極大規(guī)劃：min max( qi xi )0 ins.t.nhnx 0(ri pi )xi(1 pi ) xi 1i0i0;.但是，可以引 量x n+1= max( qi xi ) ，將它改寫 如下的 性 劃：0 inmin( xn 1 )s.t.qi xixn 1， i0,1,2, n,nn(ri pi ) xi,h(1 pi )xi1 ,x 0i 0i 0具體到 n=4的情形，按投 的收益和 中表3.1 定的數(shù)據(jù)，模型 ：min x 5s.t. 0.025x1 x5，0.015x 2 x5，0.055x 3 x5， 0.026x 4 x5，0.05x 0+0.27x 1+0.19x

10、2+0.185x 3 +0.185x 4 h，x0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 5）利用 matlab7.0求解模型 2，當(dāng) h 取不同的 （ 0.04 0.26 ），我 算最小 和最 決策， 果如表 3 所示， 和收益的關(guān)系 2 所示0.250.2益收0.150.10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.002風(fēng)險(xiǎn)圖 2 模型 2 中 與收益的關(guān)系 表 3 模型 2 的 果 收益風(fēng)險(xiǎn) qx0x1x2x3x4水平 h;.0.060.0003917330.9340470.0156

11、6930.02611550.007122410.01506660.080.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.003525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.

12、1657330.180.005092530.1426150.2037010.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.088622800從表 3.3中我 可以推出和模型 1 似的 果 .3）模型 3的求解 似模型 2的求解，我 同 引 量x n+1=max( qi xi ) ，將它改寫 如下0 i n的 性 劃：min

13、- （1nxn1 ）(ripi ) xii0s.t.nx 0qi xi， ，n(1 pi ) xi1xn 1i 01 2i 0具體到 n=4的情形，按投 的收益和 表3.1 定的數(shù)據(jù)，模型 ：min x（ 1）（0.05x0+0.27x +0.19x2+0.185x +0.185x4）513s.t. 0.025x1 x5 ，0.015x 2 x5 ，0.055x 3 x5 ，0.026x 4x5，x0+1.01x 1 +1.02x 2+1.045x 3 +1.065x 4=1，xi 0（i 0，1， 5）利用 matlab7.0求解模型 3，當(dāng) 取不同的 （ 0.7 0.98 ），我 算最小

14、和最 決策， 和收益的關(guān)系 3 出 果列表如下：表 4模型 3的 果;.偏好系風(fēng)險(xiǎn) qx0x1x2x3x4數(shù) 0.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.9801.0000結(jié)論：從表 4