1、圓形有界磁場問題的分類及解析1、對心飛入問題【例1】電視機的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖1所示。磁場方向垂直于圓面。磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點。為了讓電子束射到屏幕邊緣，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，此時磁場的磁感應(yīng)強度B應(yīng)為多少?解析：如圖2所示，電子在磁場中沿圓弧ab運動，圓心為C，半徑為R?？勺C三角形CaO CbO，則CbO90，電子離開磁場時速度的反向延長線經(jīng)過O點。由幾何關(guān)系可知 tan又有 eU mv2 evBm 三式聯(lián)立解 B tan點評：粒子沿半徑

2、方向飛入圓形勻強磁場，必沿半徑方向飛出磁場。2、圓心出發(fā)問題【例2】 一勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁場分布在以O(shè)點為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x軸正方向。后來粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離為L，如圖3所示。不計重力的影響。求磁場的磁感應(yīng)強度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。解析：如圖4所示，粒子在磁場中軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區(qū)之外。粒子從A點離開磁場區(qū)，設(shè)軌跡半徑為r。則L r3r又 qvBm可求得 B磁場區(qū)域的半徑 R2rcos30rL 點評：畫

3、軌跡時可先畫一個完整的圓，然后分析粒子從圓周上哪一點離開，速度方向才會與題意相符，只要找到了離場點，問題就能解決了。3、最長時間（最大偏角）問題【例3】如圖5所示，在真空中半徑r3.010-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強度B0.2 T，方向垂直紙面向里的勻強磁場，一束帶正電的粒子以初速度v01.0106 m/s，從磁場邊界直徑ab的a端沿各個方向射入磁場，且初速方向都垂直于磁場方向。若該束粒子的比荷1.0108C/kg，不計粒子重力。求粒子在磁場中運動的最長時間。解析：如圖6所示，由 qv0Bm得 R5.010-2 mr要使粒子在磁場中運動的時間最長，應(yīng)使粒子在磁場中運動的圓弧最長，即所對應(yīng)的弦

4、最長。則以磁場圓直徑 為弦時，粒子運動的時間最長。設(shè)該弦對應(yīng)的圓心角為2，而 T，則最長運動時間 tmaxT又 sin ， 故 tmax6.510-8s。點評：粒子穿過圓形磁場時，以磁場圓直徑為弦時，粒子運動時間最長，偏轉(zhuǎn)角最大。4、最小半徑問題【例4】 如圖7所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電荷量為q，以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。解析：質(zhì)點在磁場區(qū)中的軌跡弧MN是圓周。由

5、qvBm 得軌跡半徑 R在通過M，N 兩點的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。故所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為，rMNR，所求磁場區(qū)域如圖8中實線圓所示。點評：粒子穿過圓形磁場時，若軌跡是確定的，則以軌跡圓弧對應(yīng)的弦為直徑時，磁場圓最小。5、會聚一點問題【例5】如圖9所示x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R 的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m，電荷量q(q 0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0 y 0。點評：一束帶電粒子以平行的初速度

6、v垂直射入圓形勻強磁場，若帶電粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點。6、平行離開問題【例6】電子質(zhì)量為m，電荷量為e，從坐標(biāo)原點O處沿xOy平面射入第一象限，射人時速度方向不同，速度大小均為v0。，如圖11所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求熒光屏上光斑的長度。解析：這些電子只有從O點進入圓形勻強磁場，偏轉(zhuǎn)后才能成平行線離開磁場，如圖12所示。初速度沿x軸正方向的電子，沿弧OB運動到P；初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運動到Q。設(shè)電子軌跡半徑為R，

7、則ev0Bm即 R 。熒光屏上光斑的長度 PQ=R=點評：速度大小相等的一束帶電粒子從圓周上同一點沿不同方向垂直射入圓形勻強磁場，若粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相同，那么所有粒子成平行線離開磁場，而且與磁場圓在入射點的切線方向平行。7、最小面積問題【例7】如圖13所示，ABCD 是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m，電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：(1)此勻強磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的方向和大??；(2)此勻強磁場區(qū)域的最小面積。解析：(1)讓平行粒子束射入圓形勻強磁場，若軌道

8、半徑與磁場圓半徑a相同，則這些帶電粒子將會聚于初速度方向與磁場圓的切點A。由 ev0Bm 得所加勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小B，方向垂直于紙面向外。(2)如圖14所示，以D為圓心、a為半徑的圓周與電子最上邊軌跡CEA 圓弧所圍的區(qū)域，就是所求的最小磁場區(qū)域。其面積為S=2a2點評：此題也屬會聚一點問題，圓形磁場內(nèi)剛好能覆蓋粒子軌跡范圍的部分，就是所要求的磁場最小面積。8、先散后聚問題【例8】 某平面內(nèi)有M，N兩點，距離為L，從M點向此平面內(nèi)各個方向發(fā)射速率均為v的電子，請設(shè)計一種勻強磁場分布，使得由M點發(fā)出的電子都能匯聚到N點。要求畫出勻強磁場分布圖，并加以必要的說明，電子質(zhì)量為m，電荷量為e。解

9、析：加上四個磁感應(yīng)強度B大小相等的圓形勻強磁場，磁場方向如圖15所示，磁場圓半徑R要和軌跡圓半徑相等，故要滿足RB的條件，而且2RL。(矩形M1 N1 N2 M2。區(qū)域外的磁場可向外圍區(qū)域擴展)點評：此題是平行離開和會聚一點問題的綜合，需要較好的空間想象能力。9、回歸起點問題【例9】如圖16所示，半徑為R的圓筒形區(qū)域內(nèi)，分布著磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，一帶正電的微粒從圓筒壁上小孔A點沿半徑方向射入磁場，且初速度方向垂直于磁場方向。若該微粒與筒壁碰撞時不損失電荷量，并能以大小相等的速度反向彈回，問初速度大小滿足什么條件時，微粒能回到A點，并求出微粒回到A點所經(jīng)歷的時間。已知微粒

10、質(zhì)量為m，電荷量為q，不計微粒重力。解析：如圖17所示，設(shè)微粒經(jīng)n1次碰撞，飛行n段圓弧后回到A 點，設(shè)AOC ，則，微粒軌跡半徑r=RtanRtan，再由qvBm可得初速度滿足vtan的條件時，微粒能回到A點，其中n取大于2的整數(shù)。設(shè)微?；氐紸點所經(jīng)歷的時間為t，周期為T，圓弧AB 對應(yīng)圓心角ACB，則2，T，tT三式聯(lián)立可得：t點評：由于微粒軌跡有無數(shù)種可能，關(guān)鍵是理清幾何關(guān)系找到通式。10、粒子束縛問題【例l0】 如圖l8所示，環(huán)狀勻強磁場圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運動的帶電粒子，但由于環(huán)狀磁場的束縛，只要速度不很大，都不會穿出磁場的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑R10.5m，外半徑R21.0m

11、，磁感應(yīng)強度B1.0 T，方向垂直紙面，若被束縛的帶電粒子的比荷為4107 C/kg，中空lI區(qū)域中帶電粒子具有各個方向的速度，試計算：(1)粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度；(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析：(1)如圖19(a)所示，粒子沿圓弧AD運動時，剛好沒有出磁場外沿，C點為軌跡的的圓心，對直角三角形 OAC，由勾股定理有(R2r)2Rr2，與qvBm 聯(lián)立可求得粒子不能穿越磁場的r最大速度為 v1.510 7m/s。(2)如圖19(b)所示，當(dāng)沿內(nèi)圓切線方向射入磁場的粒子也飛不出磁場外沿時，所有粒子都不能穿越磁場。由幾何關(guān)系有2r=R2R1 ，再由qvBm

12、，可解得所有粒子不能穿越磁場的最大速度為 v=1.0107 m/s。點評：應(yīng)分析粒子的可能軌跡，從中找到剛好不出磁場的臨界軌跡。11、循環(huán)運動問題【例l1】如圖20所示，三個圓半徑分別為R，2R，3R，中心圓和外環(huán)區(qū)域分布著相同的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里，內(nèi)環(huán)是無磁場區(qū)。從圓心O點沿著紙面射出一帶正電的粒子，初速度大小v，問此粒子能否逃出兩個磁場的束縛沖出圓環(huán)外？若能，請求出粒子從圓心到?jīng)_出圓環(huán)所需的時間。若不能，請求出粒子完成一次周期性運動的時間。已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計粒子重力。解析：由qvBm求得粒子的軌跡半徑rR，粒子從O點沿紙面向不同方向射出時，軌跡不同

13、，但軌跡形狀是一樣的。如圖21所示，粒子先完成圓周到A點離開磁場，沿AB做勻速直線運動，在B點進入外環(huán)磁場。容易判斷粒子沒有沖出外環(huán)，而是做了半個圓周運動后到E點回到里側(cè)無磁場區(qū)，E到F做勻速直線運動，從F點進入圓形磁場，做圓周運動后回到O點，完成一次周期性運動。設(shè)ABCDEFd，在OBD 中，由勾股定理有(rd)2+r2(2R)2，解得 dR，則從A到B的時間為：tAB ；粒子在磁場中做圓周運動的周期為： T，故粒子完成一次周期性運動的時間為： tT2tAB點評：分析粒子的入場點和出場點從而確定軌跡是關(guān)鍵。12、電磁綜合問題【例12】 1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計出了回旋加速器。回旋加速器

14、的工作原理如圖22所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計。磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A 處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m，電荷量為q，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用。(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間；(3)實際使用中，磁感應(yīng)強度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm，fm，試討論粒子能獲得的最大動能Ekm 。解析：(1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為rl，速度為v1，則qUmv ，qv1Bm 解得 r1 同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑r2，則r2r11 。(2)設(shè)粒子到出口處被加