1、,第 二 章,幾個(gè)重要的不等式,1柯西不等式 11簡單形式的柯西不等式 12一般形式的柯西不等式,1簡單形式的柯西不等式 (1)理解并掌握二維形式柯西不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，會(huì)應(yīng)用二維形式的柯西不等式證明簡單的不等式或求一些特定函數(shù)的最值 (2)掌握二維形式的三角不等式的代數(shù)形式及其幾何意義 (3)理解柯西不等式在證明中的作用,學(xué)習(xí)目標(biāo),2一般形式的柯西不等式 理解一般形式的柯西不等式的證明過程，掌握一般形式的柯西不等式；會(huì)用一般形式的柯西不等式解決一些簡單問題. 1用柯西不等式進(jìn)行簡單的證明(重點(diǎn)) 2用柯西不等式求最值(重點(diǎn)) 3二維形式，向量形式的柯西不等式及其幾何意義(難點(diǎn)) 4柯

2、西不等式的幾種形式(易混點(diǎn)),學(xué)法指要,預(yù) 習(xí) 學(xué) 案,1.如右圖，已知在正方形ABCD中，有四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a、b，則正方形ABCD的面積為S1_，4個(gè)直角三角形面積的和為,a2b2,S2_，則S1_S2(填“”“”或“”)據(jù)此，我們就可得到一個(gè)不等式_ (用a、b的式子表示)，并且當(dāng)a_b時(shí)，直角三角形變?yōu)開時(shí)，S1S2.,2ab,a2b22ab,等腰直角三角形,2平面向量a，b中，若a(4，3)，b1，且ab5，則向量b_.,1簡單形式的柯西不等式 對任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有_ ()當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d) _時(shí)，等號成立其向量形式|()，不等

3、式()稱為柯西不等式，不等式()稱為柯西不等式的向量形式,(a2b2)(c2d2)(acbd)2,共線,2一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，an與b1，b2，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有_.當(dāng)_共線時(shí)等號成立 3推論：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則有_. 當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時(shí)“”成立,向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn),1二維形式的柯西不等式可用_表示() Aa2b22ab(a，bR) B(a2b2)(c2d2)(abcd)2(a，b，c，dR) C(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a，b，c，dR) D(a2b2)(c

4、2d2)(acbd)2(a，b，c，dR) 答案：C,答案：A,課 堂 講 義,已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)，求證：,利用柯西不等式證明,1已知a2b21，x2y21.求證：axby1. 思路點(diǎn)撥構(gòu)造柯西不等式的形式，證明不等式 證明：a2b21，x2y21. 又由柯西不等式知 1(a2b2)(x2y2)(axby)2 1(axby)2， 1|axby|axby， 所以不等式得證,已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的最值 思路點(diǎn)撥利用柯西不等式構(gòu)造出與a有關(guān)的不等式，求解不等式得出a的最值,應(yīng)用柯西不等式解最值問題,2若2x3y1，求4x29y2的最小

5、值，并求最小值點(diǎn) 思路點(diǎn)撥利用柯西不等式求最小值，當(dāng)?shù)忍柍闪r(shí)，求最小值點(diǎn),柯西不等式的向量形式的應(yīng)用,3已知a，bR，且ab1. 求證：(axby)2ax2by2. 思路點(diǎn)撥解答本題可采用向量形式的柯西不等式,簡單柯西不等式 (acbd)2(a2b2)(c2d2) 與中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能更本質(zhì)地把握不等式，并更自覺地應(yīng)用它 (1)全量不小于部分由恒等式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2. 即得(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,簡單柯西不等式的認(rèn)識,(5)二次函數(shù)的判別式，由 f(x)(axc)2(bxd)20， 可得其判別式不大于0， 4(acbd)24(a2b2)(c2d2)