1、,一、 不定積分,五、平面曲線積分,四、重積分,積分學(xué),二、 定積分,三、 廣義積分,六、積分應(yīng)用,一、 不定積分,1. 不定積分概念,定義 ： 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,則稱 F (x) 為f (x),在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,定義 ：,上的不定積分,2. 基本積分表,從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,3.求不定積分方法 （1）直接積分法 通過簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 (要求記住基本積分公式）.,第一類換元的基本思路,第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用

2、的湊微分結(jié)果有,（2） 換元積分法,第二類換元的解題思路為,使用該公式的關(guān)鍵為,第二類換元常見類型有 三角代換 倒代換 根式代換等,（3.）分部積分法,一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u .,（1）當(dāng)被積函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)時(shí),取被積函數(shù)為 u,(2)當(dāng)被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積時(shí),例4 求積分,解：,例5 求積分,解,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo), 得,2、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,1、定積分定義：,二、定積分,性質(zhì)5,推論：,（1）,（2）,性質(zhì)4,性質(zhì)7 (定積分中值定理),性質(zhì)6,積分中值公式,3、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也可寫成,牛頓萊布尼茨

3、公式,4、牛頓萊布尼茨公式,5、定積分的計(jì)算法,換元公式,（2）第二類換元法,（3）分部積分法,分部積分公式,（1）湊微分法,6、重要結(jié)論,三、廣義積分,1、無窮限的廣義積分,例8. 證明第一類 p 積分,證:當(dāng) p =1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1,時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為,當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 .,例9. 計(jì)算反常積分,解:,2、無界函數(shù)的廣義積分,例10. 計(jì)算反常積分,解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以,原式,例11. 證明反常積分,證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1,時(shí)發(fā)散 .,當(dāng) q1 時(shí),所以

4、當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為,當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .,1.二重積分的性質(zhì),( k 為常數(shù)), 為D 的面積, 則,四、重積分（化為累次積分）,特別, 由于,則,5. 若在D上,6. 設(shè),D 的面積為 ,則有,7.(二重積分的中值定理),在閉區(qū)域D上, 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn),使,連續(xù),重要結(jié)論：如果積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于自變量y為奇函數(shù)，則積分為零；被積函數(shù)關(guān)于自變量y為偶函數(shù)，則積分值等于x軸上半部分積分值的兩倍。 如果積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于自變量x為奇函數(shù)，則積分為零；被積函數(shù)關(guān)于自變量x為偶函數(shù)，則積分值等于y軸右半部分積分值

5、的兩倍。,2.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分,若D為 X 型區(qū)域,則,若D為Y 型區(qū)域,則,解,3. 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分,例14.計(jì)算二重積分,其中D 為圓周,所圍成的閉區(qū)域.,提示: 由于積分區(qū)域關(guān)于X軸對(duì)稱，被積函數(shù)為偶函數(shù)，考慮上半圓。再利用極坐標(biāo),原式,4.在柱坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分,在柱坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分是將積分區(qū)域在某個(gè)坐標(biāo)面上投影，將投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示，最后找出另一個(gè)坐標(biāo)的變化范圍。,1.平面圖形的面積,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為,六、積分應(yīng)用,例15. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,所求弧長(zhǎng),2.平面曲線的弧長(zhǎng),(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,所求弧長(zhǎng),例15. 求曲線,上相應(yīng)于x從0到1的一段弧長(zhǎng)。,連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體