1、第四節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系,知識自主梳理,1.直線與圓錐曲線的位置關系 要解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，可把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或消去x)得到關于x(或關于y)的一元二次方程如聯(lián)立后得到以下方程： Ax2BxC0(A0)，B24AC 若0，則直線與圓錐曲線 ； 若0，則直線與圓錐曲線 ； 若0，則直線與圓錐曲線 ,沒有公共點,有且只有一個公共點,有兩個不同的公共點,2弦長公式 直線與圓錐曲線相交時，常常借助根與系數(shù)的關系解決弦長問題直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y后得到關于x的一元二次方程當0時，直線與圓錐曲線相交，設交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB

2、的斜率為k，則直線被圓錐曲線截得的弦長 |AB| |x1x2| . 再利用根與系數(shù)的關系得出x1x2，x1x2的值，代入上式計算即可,3用點差法求直線方程 在給定的圓錐曲線f(x，y)0中，求中點為(m，n)的弦AB所在直線方程時，一般可設A(x1，y1)、B(x2，y2)，利用A、B在曲線上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0.兩式相減，結(jié)合x1x22m，y1y22n，可求出kAB 從而由點斜式寫出直線AB的方程這種方法我們稱為點差法,4解決直線與圓錐曲線關系問題的一般方法 (1)解決焦點弦(過圓錐曲線焦點的弦)的長的有關問題，注意應用圓錐曲線的定義和焦半徑公式(2)已知直線與圓錐曲線

3、的某些關系求圓錐曲線的方程時，通常利用待定系數(shù)法(3)圓錐曲線上的點關于某一直線的對稱問題，解此類題的方法是利用圓錐曲線上的兩點所在的直線與對稱直線垂直，則圓錐曲線上兩點的中點一定在對稱直線上，再利用根的判別式或中點與曲線的位置關系求解,重點 辨析,3涉及直線被圓錐曲線截得的弦的中點問題時，常用一元二次方程根與系數(shù)的關系(韋達定理)，這樣可直接得到兩交點的坐標之和，也可用作差方法(平方差法)找到兩交點坐標之和，直接與中點建立聯(lián)系 4有關曲線關于直線對稱的問題，只需注意兩點關于一條直線對稱的條件： (1)兩點連線與該直線垂直(斜率互為負倒數(shù))； (2)中點在此直線上(中點坐標適合對稱軸方程),方

4、法規(guī)律歸納,例1直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點A、B. (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由,分析(1)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y得關于x的一元二次方程，則判別式大于零，且兩根應均大于0，得到關于k的不等式，求出k的范圍 (2)假設存在k，設出A、B兩點的坐標，則AFFB.利用根與系數(shù)的關系，得到關于k的方程，看方程是否有解,規(guī)律總結(jié)用代數(shù)法解決直線與圓錐曲線的位置關系時，其實質(zhì)就是解方程組，判斷方程解的個數(shù)問題，在運算過程中，要注意消元后得到的方程的二次項系

5、數(shù)是否為零，以及題目給出的其他限制條件例如本例要求直線與雙曲線右支有兩個相異交點，則其充要條件是判別式0且兩根之和與兩根之積均為正值.,例2已知某橢圓的焦點是F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|F2B|10，橢圓上不同的兩點A(x1，y1)，C(x2，y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列 (1)求該橢圓的方程； (2)求弦AC中點的橫坐標； (3)設弦AC的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍,備考例題2 設A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點在拋物線y2x2上，l是AB的垂直平分線 (1)當且僅當x1x2

6、取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？并證明你的結(jié)論； (2)當x11，x23時，求直線l的方程,分析(1)先由題意求出曲線方程，聯(lián)立直線方程與曲線 方程組成的方程組，消元后利用根的存在性求出k的范圍 (2)在第(1)問計算的基礎上，利用弦長公式求解,備考例題3設橢圓ax2by21與直線xy10相交于A、B兩點，點C是AB的中點，若|AB|2 ，OC的斜率為 ，求橢圓的方程,分析(1)由|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列可得PQ的中點橫坐標，引入?yún)?shù)得PQ中點的縱坐標，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解(2)建立|PB|關于動點坐標的目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值,規(guī)律總結(jié)求圓錐曲線的最值問

7、題是高考考查的一個重要問題，通常是先建立一個目標函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象、函數(shù)的有界性或重要不等式等求最值，本題是建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象求最值,備考例題4 如圖，直線y x與拋物線y x24交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y5交于Q點 (1)求點Q的坐標； (2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時，求OPQ面積的最大值,答案,錯誤，過雙曲線上一點，可以作雙曲線的一條切線和兩條與漸近線平行的直線，這三條直線分別與雙曲線有一個公共點；正確，當M在雙曲線含焦點區(qū)域外部(非漸近線上)時，可以作雙曲線的兩條切線，可以作兩條直線分別與兩條漸近線平行，因此可以作四條直線與雙曲線有且只有一個公共點因此，正確的是.,錯因分析誤區(qū)一：過點M作與雙曲線只有一個公共點的直線有兩類，一類是雙曲線的切線，另一類是與漸近線平行的直線，學生解答這類問題時，極易漏掉第二類的情形 誤