1、單級倒立擺穩(wěn)定控制 徐大生直線一級倒立擺系統(tǒng)在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。 圖1 直線一級倒立擺系統(tǒng) 圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)假設(shè)小車質(zhì)量M =0.5kg，勻質(zhì)擺桿質(zhì)量m=0.2kg，擺桿長度2l =0.6m，x(t)為小車的水平位移，為擺桿的角位移，?？刂频哪繕?biāo)是通過外力(t)使得擺直立向上（即）。該系統(tǒng)的非線性模型為：，其中。解：一、 非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)附近（）對系統(tǒng)進(jìn)行線性化，所以可以做如下線性化處理：當(dāng)很小時(shí)，由cos、sin的冪級數(shù)展開式可知，忽略高次項(xiàng)后，可得cos1，sin，20；因此模型線性化后如下： （J+

2、ml2）+mlx=mgl (a) ml+(M+m) x=u (b) 其中取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為輸出包括小車位移和擺桿的角位移.即X= Y= 由線性化后運(yùn)動方程組得X1=x=x2 x2=x=x3+uX3 =x4 x4=x3+u 故空間狀態(tài)方程如下：X= + u X=-2.1.1820 + 01.8180-4.545 uY= = 二、通過Matlab仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性，并說明其物理意義。（1）判斷可控性代碼：A=0 1 0 0;0 0 -2.672 0;0 0 0 1;0 0 31.182 0;B=0;1.818;0;-4.545;P=ctrb(A,B);n=rank(P);運(yùn)行了得n= 4所

3、以P為滿秩，系統(tǒng)能控（2）判斷可觀性代碼：A=0 1 0 0;0 0 -2.672 0;0 0 0 1;0 0 31.182 0; B=0;1.818;0;-4.545; C=1 0 0 0;0 0 1 0;P=obsv(A,C);n=rank(P);運(yùn)行了得n= 4所以P為滿秩，系統(tǒng)能觀。三、能否通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)？若能，通過Matlab仿真確定反饋控制規(guī)律K（如圖2），使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在上。并給出系統(tǒng)在施加一個(gè)單位脈沖輸入時(shí)狀態(tài)響應(yīng)曲線；答： 因?yàn)橄到y(tǒng)完全能控，所以能通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。要將閉環(huán)極點(diǎn)配置在上，所以期望特征方程為|I(A-BK)|=（+1）*（+2）*

4、(（+1）2+1） =4+53+102+10+4 Matlab求解K如下： A=0 1 0 0;0 0 -2.672 0;0 0 0 1;0 0 31.182 0; B=0;1.818;0;-4.545; J=-1 -2 -1+i -1-i; K=place(A,B,J);運(yùn)行得：K= -0. -0.22356 -9.0966 -1.1905;未加入極點(diǎn)配置。仿真圖： 未進(jìn)行極點(diǎn)配置仿真電路圖（1）X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：配置后：加入極點(diǎn)配置仿真圖（2）X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：四、 用MatLab中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動至豎直狀態(tài)，并可以控制倒

5、立擺左移和右移；欲對系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，及小化性能指標(biāo)為： J= 1 2 0XTQX+UTRUdt編寫matalab程序如下：A=0 1 0 0; R=1;0 0 -2.672 0; G=lqr(A,B,Q,R);0 0 0 1; A1=(A-B*G);0 0 31.182 0; B1=B;B=0;1.818;0;-4.545; C1=C;C=1 0 0 0; D1=D;0 0 1 0; t=0:0.01:5;D=0;0 U=zeros(size(t);x=1; x0=0.1 0 0.1 0;y=1; Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);Q=x 0 0 0; plo

6、t(t,Y); 0 0 0 0; legend(小車,倒立擺);0 0 y 0; 0 0 0 0;運(yùn)行可得：G=-1 -1.5498 -18.69 -3.4563由圖分析可得調(diào)節(jié)時(shí)間很長，所以增加Q的比重，將上程序中的x,y改為x=150,y=150.運(yùn)行可得：G=-12.259 -9.3424 -41.943 -7.7742比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著控制作用變強(qiáng)，消耗能量變大。將G放入系統(tǒng)中，進(jìn)行simulink仿真可得：仿真電路圖：仿真結(jié)果：X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：五、寫出本次仿真實(shí)驗(yàn)的心得體會。本次實(shí)驗(yàn)主要考察對基礎(chǔ)知識的掌握和設(shè)計(jì)能力，通過本實(shí)驗(yàn)，掌握了倒立擺仿真的整個(gè)過程，參考了大量的資料，熟悉了MATLAB的仿真軟件Simulink的使用，也對系統(tǒng)控制有了較好的理解。先是數(shù)學(xué)建模、搭建仿真系統(tǒng)，然后加入控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，通過對比得到的結(jié)果，設(shè)計(jì)出一套實(shí)驗(yàn)方案：先創(chuàng)建線性化數(shù)學(xué)模型，接著導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，matlab仿真后對系統(tǒng)可控可觀性作出判斷并進(jìn)行極點(diǎn)配置，然后