1、平面的基本性質(zhì)與空間 兩條直線的位置關(guān)系,第57講,平面的基本性質(zhì),【例1】 回答下列問題： (1)不重合的三條直線相交于一點，最多能確定多少個平面；若相交于兩點，又最多能確定多少個平面？ (2)分別和兩條異面直線都相交的兩直線的位置關(guān)系是怎樣的？,【解析】(1)依據(jù)“兩條相交直線可確定一個平面”知：不重合的三條直線相交于一點，最多能確定3個平面若三條直線相交于兩點，則最多能確定2個平面(這里有兩條直線為異面直線),(2)不妨設(shè)a、b為異面直線，直線c分別與a、b交于點A、B，直線d分別與a、b交于點C、D.若A、C重合或B、D重合，則直線c、d相交；若A與C和B與D均不重合，則c、d異面(否

2、則，c、d共面，不妨設(shè)c、d共面于平面，則c、d，所以A、B、C、D.又A、Ca，B、Db，所以a、b，與a、b異面矛盾！),點評,(1)中若去掉“最多”二字，則前者結(jié)論是1或3；后者結(jié)論是1或2.(2)題不易從正面說清，因而用反證法，體現(xiàn)“正難則反”的思維規(guī)律,【變式練習(xí)1】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和CC1的中點請畫出平面DMN與平面BB1C1C及平面ABB1A1的交線,【解析】如圖，平面DMN平面BB1C1CPN，平面DMN平面ABB1A1RM.,共點、共線、共面 問題,【例2】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，

3、求證： (1)E、C、D1、F四點共面； (2)CE、D1F、DA三線共點,【解析】(1)連結(jié)A1B、CD1. 因為E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，則EFA1B. 又在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1BD1C， 所以EFD1C. 故E、C、D1、F四點共面,(2)由(1)知，EFD1C且EFD1C， 故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE、D1F相交，設(shè)其交點為P，則PCE. 又CE平面ABCD，所以P平面ABCD. 同理，P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1AD， 所以PAD，所以CE、D1F、DA三線共點,點評,公理體系是整個立體幾何的基礎(chǔ)，是空間線面位置關(guān)系的支撐，是

4、學(xué)生形成空間想象能力的基本依據(jù)熟練掌握四個公理及其推論，是解決共點、共線、共面問題的關(guān)鍵公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2是證明三線共點或三點共線的依據(jù)要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理；公理3及其推論(過直線和直線外一點、兩條相交直線、兩條平行直線有且只有一個平面)是判斷或證明點線共面的依據(jù),【例3】 一個正方體的紙盒展開后如圖在原正方體的紙盒中有下列結(jié)論： ABEF； AB與CM成60角； EF與MN是異面直線； MNCD. 其中正確的是_,空間兩條直線的位 置關(guān)系,【解析】原正方體如圖所示，AB可平行移動到CM位置，即ABCM.在正方形CEMF中，CMEF，

5、故ABEF，正確，錯誤；同理，MNCD，故錯誤，只有正確 答案：,點評,本題考查學(xué)生的空間想象能力解決問題的關(guān)鍵是將其還原成正方體，要注意字母的相應(yīng)位置千萬不能搞錯空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面對于異面直線，考綱泛讀也僅僅是了解而已，但也必須會判斷，這對理解兩條異面直線的垂直問題有很大幫助,【變式練習(xí)3】 如圖是正方體的平面展開圖，則這個正方體中：BM與ED平行；CN與BM成60角；BE與CN是異面直線；DMBN.其中正確命題的序號為_.,【解析】將平面展開圖還原成 正方體，如圖所示觀察圖形 知，錯，因為BM與ED垂直； 對連結(jié)BE、EM.因為CN BE，故EBM是異面直線CN

6、、BM所成的角在正三角形EBM中，EBM60，故CN與BM成60角；錯，因為BE與CN是平行直線；對，因為CN為BN在平面CDNM內(nèi)的射影，且CNDM，所以BNDM.綜上，正確命題的序號是.,1.下列四個命題： 經(jīng)過三點確定一個平面； 經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面； 四邊形確定一個平面； 兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面 其中真命題為_.,【解析】經(jīng)過不在同一直線上的三點確定一個平面；經(jīng)過一條直線和直線外的一點確定一個平面；空間的四邊形不可能確定一個平面,2.已知a、b、c是三條不同的直線，有下列四個命題： 若ab，bc，則ac； 若a與b是異面直線，c與b是異面直線，則a與c是異面

7、直線； 若ab，bc，則ac； 若ac，a與b是異面直線，則b與c是異面直線 其中真命題為_.,3.下列各圖是正方體或正四面體(四個面都是正三角形的四面體)，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則這四點不共面的一個圖形是_.,【解析】正方體ABCDA1B1C1D1中，因為PSA1C1QR，所以P、Q、R、S共面，如下圖(1)，排除. 如圖(2)， (1) (2) (3),正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AA1、BC的中點，則PEQFRS為正六邊形，所以P、Q、R、S共面，排除. 如圖(3)，因為PQABSR， 所以P、Q、R、S共面，排除. 故選.,4.已知直線l與三條平行線a、b

8、、c都相交求證：l與a、b、c共面,5.如圖，在三棱錐ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點 (1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形； (2)若ACBD，求證：四邊形EFGH是菱形； (3)當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形,本節(jié)是立體幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，四個公理及其推論是判斷共線、共面的依據(jù)，也是將空間問題平面化的主要依據(jù) (1)證明點線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給條件先確定一個平面，然后證明其余的點或線都在面內(nèi)；二是將所有元素分成幾個部分，然后分別確定幾個平面，再證這些平面重合；三是采用反證法,(2)證明三線共點：可以證明兩條直線的交點在第三條直線上，而第三條直線往往是兩個平面的交線 (3)善于利用長方體模型判別空間中點線