1、3 泰勒公式,多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù).用多項(xiàng),一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,三、在近似計(jì)算中的應(yīng)用,二、帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式,要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)的研究課題之一.,式來逼近一般的函數(shù)是近似計(jì)算的重,返回,一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,的多項(xiàng)式來逼近 f , 使得誤差更小,答案: 當(dāng) f (x)在點(diǎn) x0 有n 階導(dǎo)數(shù)時(shí), 這樣的 n 次多,設(shè),則,有什么關(guān)系？,項(xiàng)式是存在的. 現(xiàn)在來分析這樣的多項(xiàng)式與 f (x),即,上式表明 Pn(x) 的各項(xiàng)系數(shù)是由其在點(diǎn) x0 的各階,設(shè) f (x) 在 x0 處 n 階可導(dǎo). 如果,導(dǎo)數(shù)所確定的.,即,則不難得到:,為 f (x) 在點(diǎn) x0

2、 的 n 階泰勒多項(xiàng)式, 稱,為泰勒系數(shù). 確實(shí)是我們所需要的多項(xiàng)式.,即,只需證,因?yàn)橛桑?）式，,必達(dá)法則, 得到,證 設(shè),階泰勒公式.,f (x) 在點(diǎn)的 n 階泰勒多項(xiàng)式, 原因是 f (x),在點(diǎn) x = 0 的高階導(dǎo)數(shù)(二階和二階以上)都不存,比如,在,所以無法構(gòu)造 n 階多項(xiàng)式.,使得,注2 若 f (x) 在點(diǎn) x0 有n 階導(dǎo)數(shù), 則只有惟一的多,項(xiàng)式 ( 泰勒多項(xiàng)式 Tn(x) ) 滿足:,在以后的應(yīng)用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形,此式稱為(帶有佩亞諾型余項(xiàng))的麥克勞林公式.,式變?yōu)?麥克勞林( Maclaurin,C. 1698-1746, 蘇格蘭

3、),泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英國(guó) ),例1 驗(yàn)證下列公式,以上這些公式均為最基本的泰勒公式(麥克勞林,公式), 請(qǐng)務(wù)必牢記.,證 這里僅驗(yàn)證 1 和 6, 其余請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證.,故,解 由例1,那么,公式,由泰勒系數(shù)公式可知,于是得到,解,下面這個(gè)例題是說明如何利用泰勒公式來求極限.,例4 求,解 因?yàn)?本題雖然可用洛必達(dá)法則來求, 但上面的方法比,所以,較簡(jiǎn)單 .,前面講的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式實(shí)際上是,下面是一個(gè)定量形式的泰勒公式.,我們用泰勒多項(xiàng)式去替代函數(shù),其誤差為,有限增量公式的一個(gè)推廣,它只是定性地的告訴,到n 階連續(xù)導(dǎo)函數(shù), 在(a,b)內(nèi)存在(n

4、+1)階導(dǎo)數(shù), 則,或者,證 設(shè),上可導(dǎo), 且,由柯西中值定理, 得,因?yàn)?所以,為 f (x) 在點(diǎn) x0 的 n 階拉格朗日型余項(xiàng),公式 (5),于是就得到,我們稱,稱為 f (x) 在點(diǎn) x0 的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的 n 階,注 請(qǐng)比較公式 (5) 與拉格朗日中值定理.,泰勒公式.,公式 (6) 稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公,例1 中六個(gè)公式的余項(xiàng)均為佩亞諾型的, 現(xiàn)在將,不一樣.讀者在應(yīng)用時(shí),需根據(jù)不同情況選擇合適,分均為泰勒多項(xiàng)式,而不同的是 Rn(x) 的表達(dá)形式,式.公式 (3) 與公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部,它們改寫為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的公式:,形式的余項(xiàng).,這里僅對(duì)公式 (iii) 進(jìn)行驗(yàn)證, 其余 5 個(gè)請(qǐng)讀者自理.,于是,從而有,(2) 證明 e 是無理數(shù).,解 由例5 可知,三、 泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用,于是,下證 e 是無理數(shù). 這是因?yàn)?其誤差不超過.,矛盾. 所以 e 是一個(gè)無理數(shù).,( 同樣可證明都不是有理數(shù).),例 6 計(jì)算 ln2 的值, 使其誤差不超過10 -4.,解 我們自然會(huì)想到利用公式 (iv)，此時(shí)用 x = 1,代入，它的余項(xiàng)是,那么不是整數(shù). 而由 (7) 式得到,整數(shù)整數(shù) 整數(shù),現(xiàn)考慮函數(shù),顯然這樣的計(jì)算量太大, 所以必須尋找新的方法.,而,于是,只要取 n = 6, 便得到,其