1、internal training,實(shí) 驗(yàn) 設(shè) 計 基 礎(chǔ),內(nèi)容提要,DOE簡介 正交實(shí)驗(yàn) DFM（design for manufacture)簡介,實(shí)驗(yàn)設(shè)計的意義: 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本知識，討論如何合理地安排試驗(yàn)、取得數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行綜合科學(xué)分析，從而盡快獲得最優(yōu)組合方案。在工程學(xué)領(lǐng)域是改進(jìn)制造過程性能的非常重要的手段。在開發(fā)新工序中亦有著廣泛的應(yīng)用。 在工序開發(fā)的早期應(yīng)用實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法能得出以下成果： 1. 提高產(chǎn)量； 2. 減少變異性，與額定值或目標(biāo)值更為一致； 3. 減少開發(fā)時間； 4. 減少總成本；,實(shí)驗(yàn)設(shè)計的意義及其發(fā)展過程,實(shí)驗(yàn)設(shè)計的意義及其發(fā)展過程,實(shí)驗(yàn)設(shè)計的發(fā)展過程: 試驗(yàn)設(shè)

2、計始于20世紀(jì)20年代，其發(fā)展過程大致可分為三個階段： 1. 早期的方差分析法: 20世紀(jì)20年代由英國生物統(tǒng)計學(xué) 家、數(shù)學(xué)家費(fèi)歇(R.A.Fisher)提出的，開始主要應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、生物學(xué)、遺傳學(xué)方面，取得了豐碩成果。二戰(zhàn)期間，英、美采用這種方法在工業(yè)生產(chǎn)中取得顯著效果； 2. 傳統(tǒng)的正交試驗(yàn)設(shè)計法：以日本的田口玄一為代表； 3. 信噪比試驗(yàn)設(shè)計與三階段設(shè)計：1957年，田口玄一提出信噪比 設(shè)計法和產(chǎn)品的三階段設(shè)計法。他把信噪比設(shè)計和正交表設(shè)計、方 差分析相結(jié)合，開辟了更為重要、更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。 4. 謝寧法 （多變差分析，成對比較，過程參數(shù)研究),實(shí)驗(yàn)設(shè)計在生產(chǎn)/制造過程中的位置：,生產(chǎn)

3、/ 制造 造程,可控制因素,不可控制因素,資 源,產(chǎn) 品,統(tǒng)計技術(shù)在 生產(chǎn)/制造程過程 中的應(yīng)用是對 過程中輸入 的變量 (人,機(jī),料,法,環(huán)) 進(jìn)行有目的地優(yōu)化, 使輸出的結(jié)果更加理想. 實(shí)驗(yàn)設(shè)計 是其中較為有效的一種工程工具.,通過實(shí)驗(yàn) 進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,通過實(shí)驗(yàn),控制其不良 的影響程度,DOE 基礎(chǔ)培訓(xùn)目標(biāo),理解術(shù)語 建立簡單的試驗(yàn) 解釋基本結(jié)論,響應(yīng)(Response): 試驗(yàn)輸出的結(jié)果 因素(Factor): 試驗(yàn)過程中的不同輸入變量 水平(Level): 試驗(yàn)中對因素的不同設(shè)定值. 干擾(Noise)：人不可控制的事物 Blocking:將干擾最小化的方法 主要影響(Main Effe

4、ct)：對單個因素而言, 從一個水平到另一個水平的變化對輸出的平均影響,術(shù)語,Interaction(交互作用)：兩 個因素合起來對總輸出的影響將高于兩個單獨(dú)的因素造成的影響 重復(fù) (Replication)： 以隨機(jī)次序重新做一次試驗(yàn) 隨機(jī)化 (Randomization)：以一種無固定模式的次序做試驗(yàn),試 驗(yàn) 策 略,定義問題 確定試驗(yàn)?zāi)康?試驗(yàn)輸出方式(試驗(yàn)) 確定試驗(yàn)的限制條件 選擇輸入因素(試驗(yàn)輸入變量) 試驗(yàn)因素的水平 選擇試驗(yàn)方案 收集數(shù)據(jù) 分析數(shù)據(jù) 得出結(jié)論 在執(zhí)行結(jié)論之前，做一次確認(rèn)試驗(yàn) 達(dá)到試驗(yàn)?zāi)康?試驗(yàn)的目的是 更好地試驗(yàn)真實(shí)的世界 , 而不是試驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 Willia

5、m Diamond IBM - Retired Statistician,我將有多少種組合方案 ？,總的方案數(shù)取決于 有多少種因素 每種因素有多少水平 如果知道因素的個數(shù)及每個因素的水平數(shù)，將各因素的水平數(shù)相乘即得到方案的個數(shù)。 方案 = 因素1的水平數(shù) X 因素2的水平數(shù) X 因素3的水平數(shù) X 例如: 因素水平方案數(shù) 3 2, 2, 22 X 2 X 2 = 8 3 2, 3, 3:2 X 3 X 3 = 18 25, 5 5 X5 = 25 62, 2, 2, 2, 2, 22X2X2X2X2X2 = 64,確定試驗(yàn)限制條件,確定限制試驗(yàn)可采用方案數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的限制條件。 試驗(yàn)限制條件可

6、以是試驗(yàn)，錢，人力資源，物質(zhì)限制等。 決定你將做多少次試驗(yàn)。 結(jié)合你的試驗(yàn)?zāi)康模x擇最佳試驗(yàn)設(shè)計及你可以采用的最多的試驗(yàn)次數(shù)。,注意: 1. 不要在第一次試驗(yàn)中用完你所有的資源成功的DOE 不是一次試驗(yàn)就能試驗(yàn)的，需要有反復(fù),曲奇餅DOE,烘烤時間（A） 烘烤溫度（B） 目標(biāo)：改進(jìn)曲奇的口味和外觀,試驗(yàn)設(shè)計- 例子1,DOE設(shè)計及結(jié)果,烘烤時間烘烤溫度 (min) ()口味 AB 637541 1037550 645047 1045035,問題： 那一個因子比較重要？ 如何設(shè)定重要的因子？,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,圖形分析,烘烤時間烘烤溫度 (min) ()口味 AB 6(-)375 (

7、-) 41 10(+)375 (-) 50 6(-)450 (+) 47 10 (+) 450 (+) 35,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,定量分析,開始分析之前，用（）、（）號表示每一個水平,烘烤時間烘烤溫度 (min) ()口味 AB 41 50 47 35,烘烤時間烘烤溫度 (min) ()口味 AB 637541 1037550 645047 10 450 35,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,定量分析,烘烤時間烘烤溫度 (min) (oF)口味 AB 41 50 47 35,因子的影響高水平平均值低水平平均值 在本例中， A的主要影響42.5 - 44 = - 1.5 B的主要影響 4

8、1- 45.5 = - 4.5,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,交互作用 一個因子的影響取決于另一個因子的水平,烘烤時間烘烤溫度 (min) (oF)口味 ABAB 6(-)375 (-) 41 10(+)375 (-) 50 6(-)450 (+) 47 10 (+) 450 (+) 35,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,交互作用 交互作用的水平可由因子的水平值相乘得出,烘烤時間烘烤溫度 (min) (oF)口味 ABAB 6(-)375 (-) 41 10(+)375 (-) 50 6(-)450 (+) 47 10 (+) 450 (+) 35,AxB=AB 1-x-=+ 2+x-=- 3-

9、x+=- 4+x+=+,交互作用的影響 AB= (41+35)/2 - (50+47)/2 = - 10.5,全因子實(shí)驗(yàn)示例1曲奇餅DOE,DOE結(jié)果分析總結(jié),因子影響 時間1.5 溫度4.5 時間溫度10.5,內(nèi)容提要,DOE簡介 正交實(shí)驗(yàn) DFM（design for manufacture)簡介,為什么要進(jìn)行正交試驗(yàn): 在實(shí)際生產(chǎn)中，影響試驗(yàn)的因素往往是多方面的，我們要考察各因 素對試驗(yàn)影響的情況。在多因素、多水平試驗(yàn)中，如果對每個因素 的每個水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，需要做的試驗(yàn)次數(shù)就會很多. 比如對三個7水平的因素，如果三因素的各個水平都互相搭配進(jìn)行 全面試驗(yàn)，就要做73=343次

10、試驗(yàn)，對6個7水平的因素，進(jìn)行全面試 驗(yàn)要做76=117649次試驗(yàn)。這顯然是不經(jīng)濟(jì)的。 我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù)。正 交設(shè)計就是解決這個問題的有效方法。 正交設(shè)計的主要工具是正交表。,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交實(shí)驗(yàn)所需要的實(shí)驗(yàn)次數(shù).,普通實(shí)驗(yàn)所需要的實(shí)驗(yàn)次數(shù),為什么說正交實(shí)驗(yàn)節(jié)約成本,提高效率:,右圖是一個比較典型 的正交表. “L”表示此為正交表, “8”表示實(shí)驗(yàn)次數(shù), “2”表示兩水平, “7”表示實(shí)驗(yàn)最多可 以有7個因素 (包括單 個因素及其交互作 用).,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交表:,正交表的表示方法: 一般的正交表記

11、為Ln(Mk)，n是表的行數(shù)， 也就是要安排的試驗(yàn)次數(shù); k 是表中的列數(shù)，表示因素的個數(shù)；m 是各因素的水平數(shù)； 常見的正交表: 2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211), L16(215)等； 3水平的有 L9(34), L27(313)等； 4水平的有 L15(45); 5水平的有 L25(56);,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交表的兩條重要性質(zhì): 1) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)中，每列中不同的 數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次；,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,2) 在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對 出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L

12、9(34)中有序數(shù)對共有9個: (1,1), (1,2), (1,3) ,(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), 它們各出現(xiàn)一次。 所以，用正交表來安排試驗(yàn)時，各因素的各種水平的搭配是均衡的， 這是正交表的優(yōu)點(diǎn)。,例1：(單指標(biāo)的分析方法) 某煉鐵廠為提高鐵水溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案 經(jīng)初步分析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng) 壓和底焦高度， 每個因素都 考慮3個水平，具體情況見表。問 對這3個因素的3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,解：如果每個因素的每個水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必 須

13、做試驗(yàn)33=27次?，F(xiàn)在我們使用L9(34)正交表來安排試驗(yàn)。,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,我們按選定的9個試驗(yàn)進(jìn)行試驗(yàn)，并將每次試驗(yàn)測得的鐵水溫 度記錄下來： 為了便于分析計算，我們把這些溫度值和正交表列在一起組成 一個新表。另外，由于鐵水溫度數(shù)值較大，我們把每一個鐵水 溫度的值都減去1350，得到9個較小的數(shù)，這樣使計算簡單。,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,分析表：,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,解釋： K1這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第1水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和; K2這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第2水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和; K3這一行的3個數(shù)分別是因

14、素A, B, C的第3水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和; k1, k2, k3這3行的3 個數(shù)，分別是K1, K2, K3這3行中的3個數(shù)的平均值； 極差是同一列中， k1, k2, k33個數(shù)中的最大者減去最小者所得的差。極差越大，說 明這個因素的水平改變時對試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，就是那個 因素的水平改變時對試驗(yàn)指標(biāo)的影響最大，那個因素就是我們要考慮的主要因素. 通過分析可以得出：各因素對試驗(yàn)指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序應(yīng)當(dāng)是C (底 焦高度) A (焦比) B (風(fēng)壓)；最好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2。與此結(jié)果比較接近的是第9 號試驗(yàn)。 為了最終確定上面找出的試驗(yàn)方案是

15、不是最好的，可以按這個方案再試驗(yàn)一次， 并同第9號試驗(yàn)相比，取效果最佳的方案。,正交試驗(yàn)、正交表及其用法,內(nèi)容提要,DOE簡介 正交實(shí)驗(yàn) DFM（design for manufacture),Introduction,What is DFM? DFM is product design considering manufacturing requirements DFM is the first step in which a team approach is taken to develop the product DFM is an umbrella which covers a var

16、iety of tools and techniques to accomplish a manufacturable product Why DFM? Lower development cost Shorter development time Faster manufacturing start of build Lower assembly and test costs Higher quality,Introduction,How do all the pieces fit together? The objective of DFM is to identify product c

17、oncepts that are easy to manufacture Focus on component design for ease of manufacture and assembly Integrate manufacturing to ensure the best match of needs and requirements. DFM in industry is typically divided into 2 main activities: A team which will be responsible for the product development an

18、d delivery. (cross functional team: ME, EE, MFG., CE, PE, Quality) The tools and methods to enable DFM that ensure the design meets the objectives.,DFM Product Considerations,Product Considerations Environmental Ergonomics Safety Pollution Recycling Shock/vibration Temperature,Customer Depth of prod

19、uct line Customization Test requirements,Process and Tooling Cycle time Quality Ease of Assembly Ease of Testing Rework Shipping and Handling Tooling Costs,Suppliers Partnerships Supplier tolerance capability Merging mechanical sub-assemblies Costs,Introduction: Product Design,Product Design Today D

20、evelopment Cycle Endless engineering changes Non standard parts have long lead times Quality “Designed and thrown over the wall” Lower due to more parts, manual processes, and untested parts Customer configuration management Cost Higher due to unique designs and specialized parts Equipment and Tooli

21、ng Reliability and quality problems,DFM Typical Approach,Product Development Process Conceptual DESIGN and development Product optimization, TEST TOOL BUILD (ease of assembly) LAUNCH, ramp, ship, and deliver Product Team Product requirements and deliverables Collaborative cross functional team (ME,

22、EE, MFG, Test, Quality, etc.). Not “designed in a vacuum” Uses DFM tools and methods,Technology Roadmap Challenges,65nm Lithography OPC/PSM integr. w/ photo-window Front-end/Transistor Layout dependent performance Parametric variation,45nm Lithography Layout pattern dependence Immersion litho, OPC/P

23、SM integration w/ photo window Front end/Transistor New gate/oxide architectures Reliability,90nm Back-end integration Low-k CMP Product ramp issues Yield vs. performance,Random defects are no longer the dominant yield loss mechanism Yields are limited by design features,The Evolution of Product Yie

24、lds,DFM characterization Of IP libraries,Characterize IP library for yield Extract design attributes of yield models Include random, design systematic andlitho effects New yield library view Enable hierarchical large capacity DFM chip analysis,Random Yield Loss: Physical Mechanisms,Contact and via o

25、pens due to formation defectivity,Active, poly and metal shorts and opens due to particle defects,Random,Yield Loss Mechanisms,Type,Material opens,Material shorts,Random Yield Loss: Test Structures,Extract Metal layer open and short defectivity,Extract Metal layer open and short Defect Size Distribu

26、tion (DSD),Systematic Yield Loss: Physical Mechanisms,Misalignment, line-ends/borders,Contact/via opens due to local neighborhood effects (e.g. pitch/hole size),Leakage from STI related stress,Impact of micro/macro loading design rule marginalities,Systematic,Yield Loss Mechanisms,Type,Printability

27、Yield Loss: Physical Mechanisms,Material opens,Poor contact coverage due to misalignment and defocus/pull back,Systematic,Yield Loss Mechanisms,Type,Poly/Metal shorts,Printability Yield Loss: Modeling,Layout Metric,Misalignment,Mask Error,Defocus,Exposure,Yield Loss,coverage,BEOL1 CV Test Chip Exper

28、iment Design Strategy,Baseline high resolution on typical design-rule compliant structures Defect Size distribution for metal opens and shorts at and above design rule Fail rate for via and via stacks with typical product environments Defect localization on stacked layers to enable accurate Defect S

29、ource Analysis Sub-Chip level break-down to enable edge defectivity observability from different layers 75% of the die area is dedicated to estimating baseline fail rates Margin Measure impact of environment on via fail rates and systematic opens and shorts Characteristics of via environment in meta

30、l and via layers Process-design interactions for opens and shorts at edges and corners Impact of contact processing on M1 shorts Impact of lower metal layer density and width on upper metal layer shorts and opens Measure impact of misalignment on yield and parametric responses Parametric Impact of e

31、nvironment on Metal Rs and Via Rc CMP and Lithography effects for metal Rs Via environment effects,Baseline Improvement Experiment Summary,Metal Rs baseline extracted using Van der Pauw structures Metal kelvins can be used for this purpose when Parametric test is not performed Metal Defectivity cons

32、ists of two types of structures Stacked M1/M2/M3 combSnakes are SEMVision compatible for defect localization NEST structures stacked on top of V1 chains and under V2 chains to extract defect size distribution (not SEMVision compatible) Both structure types can be tested for inter-layer shorts Via an

33、d Stack baseline Via chains to mimic typical environments and configurations Process Margin variants Baseline DOEs include “PXMargin” variations which are used to test the effect of process variation on baseline performance (misalignment) These portion of the experiments is analyzed with the process

34、 and pattern margin experiments,BEOL1 CV Reticle Floorplan,10700,10700,10700,Client will ensure that internal scribe widths are the same as external scribe widths as shown in diagram to left. Having the same width for internal and external scribes is critical to “essential set” testing and edge obse

35、rvability A and B to be determined,BEOL CV Defect Density Observability: Spatial Resolution,Select defectivity structures will have identical placement in each block. (Essential Sets) High spatial resolution for defectivity Allows for defectivity testing of partial die along wafer edge.,Partially Pr

36、inted Die,Structures with identical placement in each block still testable on this block,Structures with identical placement in each block.,Will require 2 pass testing on pdFastest Essential set (Includes partial die at edge) Fully printed die (excluding the Essential set),2,1,3,4,Definitions,PXMarg

37、in = “Process Margin” Intended to characterize the effects of process variations on the baseline performance MAL = Misalignment, Vertical runner, lateral direction MAI = Misalignment, Vertical runner, inline direction LWM = Line width margin LSM = Line space margin NOM = with-in ground rule cellOrie

38、ntation V = Vertical structure orientation parallel to padframe H= Horizontal structure orientation perpendicular to padframe ppb = parts per billion or failures per billion Do = defect density in defects/cm2 Fail rate = probability of failure in ppb,謝謝大家,Appendix:,第一節(jié)：問題的提出 第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析 第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)

39、的方差分析 第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念 第五節(jié)：2k 因子設(shè)計 第六節(jié)：3k 因子設(shè)計,方差分析和2k因子、3k因子設(shè)計,Appendix:,第一節(jié)：問題的提出,先看一個例子： 考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的度， 同一溫度做了三次試驗(yàn)，測得結(jié)果如下： 要分析溫度的變化對得率的影響,總平均得率=89.6%,第一節(jié)：問題的提出,從平均得率來看，溫度對得率的影響? 1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試 驗(yàn)過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差 統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差； 2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗(yàn)中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC

40、相比較，第一次65oC比70oC 好，而后二次70oC比65oC 好。 產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗(yàn)誤差的干擾。 由于試驗(yàn)誤差的存在，對于不同溫度下得率的差異自然要提出疑 問，這差異是試驗(yàn)誤差造成的，還是溫度的影響呢?,第一節(jié)：問題的提出,1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部15個數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或 總離差)。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗(yàn)誤差，一是條件變差。 2) 方差分析解決這類問題的思想是： a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗(yàn)誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù) 量表示； b. 用條件變差和試驗(yàn)誤差在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標(biāo)

41、影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視； c. 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗(yàn)的方向；,第一節(jié)：問題的提出,變差的數(shù)量表示： 有n個參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, , xn, 它們之間的差異稱為變差。 如何給變差一個數(shù)量表示呢? 1) 一個最直觀的想法是用這n個數(shù)中最大值與最小值之差，即極 差來表達(dá)，用R記之； 2) 變差平方和，以S記之。 S是每個數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的 差異越大。,其中,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論： 例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為: 4.59，4.44，4.53，4.52， 4.72，4.55，求其變差平方和

42、。,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論(2)： 我們看到S的計算是比較麻煩的，原因是計算x時有效位數(shù)增加了 因而計算平方時工作量就大大增加。另外，在計算x時由于除不 盡而四舍五入，在計算S時，累計誤差較大。為此常用以下公式:,對于前面的例子,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論(3)： 這樣計算雖然計算誤差較小，但工作量還較大，因此常采用如下 的辦法： 1. 每一個數(shù)據(jù)減(加)去同一個數(shù)a, 平方和S仍不變。 如在此例中令 ，即每個數(shù)同減去4.50，這時 與以上結(jié)果是完全一樣的。,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論(4)： 2. 每一個數(shù)據(jù)乘(除)同一個數(shù)b, 相應(yīng)

43、的平方和S增大(縮小)b2倍。 如在此例中令 ， 則相應(yīng)數(shù)據(jù)變?yōu)?, -6, 3, 2, 22, 5, 這時 把原來的平方和S放大了1002倍。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出： 例2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它 們是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原來的六爐共十爐，求其平方 和。 將數(shù)據(jù)減去4.50然后乘上100得,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(2)： 平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們 要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。 一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推 知這不是一個最好的辦法，而應(yīng)

44、把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù) 就叫做自由度。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(3)： 設(shè)有n個數(shù)y1, y2, , yn, 它們的平方和 的自由度是多 少呢? 這就看yi 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有m個(0mn) 線性約束方程 a11y1+a12y2+ +a1nyn = 0 a21y1+a22y2+ +a2nyn = 0 am1y1+am2y2+ +amnyn = 0 并且這m個方程相互獨(dú)立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于m, 則S的自 由度是n - m.,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(4)： 根據(jù)這個定義，如令yi = xi - x (i=1, 2, , n) 則 顯然 yi之間有一個線性

45、約束關(guān)系，即 即m = 1, a11 = a12 = = a1n = 1 所以變差平方和的自由度 = n - m = n - 1,第一節(jié)：問題的提出,均方的概念： 平均平方和(簡稱均方)等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度f. 平均平方和以MS表示， 它的開方叫做均方差 對例1、MS = 0.043483/5 = 0.0086966, 均方差為0.09326 對例2、MS = 0.07949/9 = 0.0088322，均方差為0.09398 我們看到六爐和十爐的MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻 合的，說明用MS反映波動的大小是更為合理的。,假設(shè)： 單因素A有a個水平A1，A2, , Aa，在水

46、平Ai (i=1, 2, , a)下，進(jìn)行ni次獨(dú)立 試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表： 我們假定在各個水平Ai下的樣本來自具有相同方差2，均值分別為i的正 態(tài)總體XiN(i , 2 )，其中i , 2均為未知，并且不同水平Ai下的樣本之間 相互獨(dú)立。可以取得下面的線性統(tǒng)計模型： xij = +i +ij , i = 1, 2, , a; j = 1, 2, , ni, ij N (0, 2) 其中i = i -,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析的任務(wù)就是檢驗(yàn)線性統(tǒng)計模型中a個總體N(i,2)中 的各i的相等性，即有: 原假設(shè) H0: 1 =2 = =a 對立假設(shè)H1: i =j 至少

47、有一對這樣的i, j, 也就是下面的等價假設(shè)： H0: 1 =2 = =a = 0 H1 : i = 0 至少有一個i,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解: 記在水平Ai 下的樣本均值為 樣本數(shù)據(jù)的總平均值為 總離差平方和為 將ST改寫并分解得,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解(2): 上面展開式中的第三項為0 若記 SA= SE= 則有： ST = SA + SE ST表示全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異 SA表示在Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異, 是組間差 SE表示在Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異, 是組內(nèi)差， 它是由隨機(jī)誤差引起的。,第二節(jié)

48、：單因素試驗(yàn)的方差分析,自由度的概念: 在實(shí)際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要 大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠 的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。為此引 入了自由度的概念。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)， 但應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫自由度。 ST的自由度為 ( n - 1); SE的自由度為 ( n - a); SA的自由度為 ( a - 1); 均方: MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a),第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析: 在H0成立的條件下，取統(tǒng)計量 F = MSA/MS

49、E F (a - 1, n - a) 對于給出的，查出F(a - 1, n - a)的值， 由樣本計算出SA和SE， 從 而算出F值。從而有如下判斷： 若F F (a - 1, n - a)，則拒絕H0； 若F F(a - 1, n - a)，則接受H0 為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式： 記 i= 1, 2, , a, 則有,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析表:,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,例1：(單因素的方差分析) 人造纖維的抗拉強(qiáng)度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是 有疑問的?，F(xiàn)確定棉花百分比的5個水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每個水平中測5個

50、抗拉強(qiáng)度的值，列于下表。問： 抗拉強(qiáng)度是否受摻入棉花百分比的影響(0.01)?,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,解: 設(shè)抗拉強(qiáng)度為xij = i+ ij , i, j = 1, 2, 3, 4, 5. 原假設(shè)H0：1=2=3=4=5 備選假設(shè)H1：i=j, 至少有一對i, j. 這里 a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, , 5), n = 25 ST, SA, SE的自由度分別為24，4，20,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,解(2): 已給出=0.01，查表得F(a-1, n-a)=F0.01(4,20)= 4.43 這里F=14.764.43=F0.01(4, 20) 故拒絕原假

51、設(shè)H0，接受H1: i =j 說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強(qiáng)度有影響。,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,無交互作用的方差分析: 設(shè)兩因素A，B。A有a個水平A1，A2, , Aa，B有b個水平，B1，B2, , Bb, 在 每一個組合水平(Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無重復(fù)試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值 列于下表： 設(shè)XijN(ij , 2 )，各xij相互獨(dú)立?？梢匀〉孟旅娴木€性統(tǒng)計模型： xij = +i +j+ij , i = 1, 2, , a; j = 1, 2, , b, ij N (0, 2), 各相互獨(dú)立， 其中, i,j ,2都是未知數(shù),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,對這個線性模

52、型，我們檢驗(yàn)如下的假設(shè) HA0: 1 =2 = =a = 0 HA1: i = 0 至少有一個i, HB0: 1 =2 = =b = 0 HB1: j= 0 至少有一個j,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解: 記在水平Ai 下的樣本均值為 記在水平Bj 下的樣本均值為 樣本數(shù)據(jù)的總平均值為 總離差平方和為 將ST改寫并分解得 記為ST = SA (效應(yīng)平方和)+ SB (效應(yīng)平方和)+ SE (誤差平方和),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,自由度: ST的自由度為 ( ab - 1); SA的自由度為 ( a - 1); SB的自由度為 ( b - 1); SE的自由度為 ( a

53、- 1)(b-1); 均方:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析: 在H0成立的條件下，取統(tǒng)計量 對于給出的，查出F(a - 1, (a - 1)(b-1), F(b - 1, (a - 1)(b-1)的 值， 由樣本計算出F1, F2值。從而有如下判斷： 若F 1 F (a - 1, (a-1)(b-1)，則拒絕HA0，否則就接受； 若F2 F (b - 1, (a-1)(b-1)，則拒絕Hbo，否則就接受； 為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析表:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,例2：(雙因素?zé)o交互作用的方差分析) 使用4種燃料，3種推進(jìn)器

54、作火箭射程試驗(yàn)，每一種組合情況 做一次試驗(yàn)，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料(Ai)與 各種推進(jìn)器(Bj)對火箭射程有無顯著影響(=0.05),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解: 設(shè)火箭的射程為: xij =+i+j+ij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3 原假設(shè) HA0: =0 HB0: =0 備擇假設(shè) HA1:i=0, 至少一個i HB1:j=0, 至少一個j 這里a=4, b=3, ab=12,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解(2): 給出的=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14 因?yàn)镕1=0.434.76,

55、F2=0.925.14 所以接受原假設(shè)HA0, HB0 故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對火箭射程均無顯著影響。,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(分析過程略): 自由度: ST的自由度為 ( abn - 1); SA的自由度為 ( a - 1); SB的自由度為 ( b - 1); SAxB的自由度為(a-1)(b-1): SE的自由度為 ab(n-1); 均方:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(2): 簡化公式,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(3): 方差分析表,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,為什么要進(jìn)行因子設(shè)計: 很多試驗(yàn)包含著兩個、三

56、個或更多的因子。對這些因子產(chǎn)生的 效果都要進(jìn)行研究。使用因子設(shè)計方法，在每一個完全的試驗(yàn) 或試驗(yàn)的多次重復(fù)中，各個因子的各個水平的所有可能的組合 都要考慮。例如，假若因子A有a個水平，因子B有b個水平。完 成全部試驗(yàn)應(yīng)包含所有的ab個組合。 一個因子的效果是由因子水平的改變而引起的反應(yīng)的變化，經(jīng) 常稱為主要效果。,第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念,例: 設(shè)某一試驗(yàn)有兩個因子A和B，因子A有兩個水平A1，A2，因子B兩個 水平B1，B2，試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)如表。試考察因子A，B 的效果。 解: 對于第一種情況。 因子A的主要效果可看成是在A的第一個水平 下的平均反應(yīng)與在第二個水平下的平均反應(yīng) 之差，即 類似

57、地，因子B的主要效果是,第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念,解: 對于第二種情況。 因子A的主要效果是 因子B的主要效果是 分別畫出這兩種情況的圖形： 交互作用是不能忽視的 有時它比因子的作用還 大。,第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念,什么是2K因子設(shè)計: 假設(shè)試驗(yàn)中共有k個因子，每個因子都只有兩個水平。這些水平 可以是數(shù)量性的，也可以不是數(shù)量性的(如兩種操作方法)。這 種設(shè)計的安排總共有2k個不同的組合，若每種組合下取一個觀 察值，總觀察值共有2K個，因此叫2K因子設(shè)計。 我們對2K設(shè)計作如下假設(shè)： 1) 因子是固定的； 2) 設(shè)計是完全隨機(jī)的； 3) 一般都滿足正態(tài)性假定； 4) 反應(yīng)近似于線性；,第五

58、節(jié)： 2k 因子設(shè)計,22設(shè)計: 這是2k因子設(shè)計中最簡單的一種設(shè)計,每個因子的兩個水平可以用“低” 和“高”來作一般性的描述。 為分析問題方便，我們用A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB 表示交互作用AxB的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低水平情況 下觀察值之和；b表示因子A在低水平、因子B在高水平下的觀察值之 和；ab表示因子A，B都在高水平情況下觀察值之和，l表示因子A，B都 在低水平情況下觀察值之和。,第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計,假設(shè)在每一種水平組合下作n次重復(fù)觀察 因子A的平均效果：在B的低水平下為 在B的高水平下為 總平均效果是這兩個數(shù)的平均值 同理因子B的總平均效果是 交互作用AxB的平均效果AB定義如下： 它是在B的高水平下與在B的低水平下 A的平均效果之差的平均值。,第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計,方差分析: 定義：若有線性組合 滿足約束條件 ，則稱這樣的線性 組合為對照(contrast)，并記為: (對照)C= 根據(jù)前面的式子，我們可以定義因子A，B，交互作用