1、推理與證明,推理,證明,言之有理，論證有據(jù)！,第二章 推理與證明,類比推理,歸納推理,福爾摩斯,狄仁杰,4.北軍不善水戰(zhàn),1.今夜恰有大霧,2.曹操生性多疑,3.弓弩利于遠(yuǎn)戰(zhàn),草船借箭必將成功,我們來推測諸葛亮“先生”的推理過程:,佛教百喻經(jīng)中有這樣一則故事。 從前有一位富翁想吃芒果,打發(fā)他的仆人到果園去買,并告訴他:要甜的,好吃的,你才買.仆人拿好錢就去了.到了果園,園主說:我這里樹上的芒果個個都是甜的,你嘗一個看.,第一個芒果是甜的,第二個芒果是甜的,第三個芒果是甜的,這個果園的芒果都是甜的,每幅地圖可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的相鄰區(qū)域著上不同色.,四色猜想,1852年，英國人弗南

2、西斯格思里為地圖著色時，發(fā)現(xiàn)了四色猜想.,1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在兩臺計算機(jī)上，用了1200個小時，完成了四色猜想的證明.,用數(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字。,一、推理定義 根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫推理.,推理,10 37 20 317 30 1317,引入1.數(shù)學(xué)皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),銅能導(dǎo)電

3、鋁能導(dǎo)電 金能導(dǎo)電 銀能導(dǎo)電,一切金屬都能導(dǎo)電.,三角形內(nèi)角和 為 凸四邊形內(nèi)角 和為 凸五邊形內(nèi)角 和為,凸n邊形內(nèi)角和為,部分 個別,蛇類是用肺呼吸的,鱷魚是用肺呼吸的 海龜是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的,爬行動 物都是 用肺呼 吸的,整 體 一 般,引入2：,由某類事物的 具有某些特征, 推出該類事物的 都具有這些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).,部分對象,全部對象,個別事實,一般結(jié)論,二、歸納推理,注意：（1）歸納是由部分到整體,從個別到一般的推理. （2）歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.所以結(jié)論未必可靠，僅僅

4、是一種猜想。,需證明,1.已知數(shù)列 的第一項 =1,且 ( 1，2，3，)，請歸納出這個數(shù)列的通項公式為_.,讓我們一起來歸納推理,2.對于數(shù)列1,3,5,7,由此你猜想出第 個數(shù)是_ .,3.觀察右圖,可以發(fā)現(xiàn): _. 1=12， 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ,4.數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,然后探求面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系.,四棱柱,三棱錐,八面體,三棱柱,四棱錐,尖頂塔,四棱柱,6,8,12,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱錐,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱錐,12

5、,8,6,八面體,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱錐,12,8,6,八面體,6,9,5,三棱柱,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱錐,12,8,6,八面體,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱錐,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱錐,12,8,6,八面體,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱錐,9,16,9,尖頂塔,6,9,5,9,5,5,8,16,9,6,8,12,6,4,4,12,8,6,猜想凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系式為：,FVE2,歐拉公式,5.傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則,把

6、圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用. 1.每次只能移動1個圓環(huán)； 2.較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面. 如果有一天，僧侶們將這64個圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了. 請你試著推測：把 個圓環(huán)從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?,1,2,3,游戲：河內(nèi)塔（Tower of Hanoi）,解;設(shè)an表示移動n塊金屬片時的移動次數(shù).,當(dāng)n=1時,a1=1,當(dāng)n=2時,a2=,3,1,2,3,當(dāng)n=1時,a1=1,當(dāng)n=2時,a2=,3,解;設(shè)an表示移動n塊金屬片時的移動次數(shù).,當(dāng)n=3時,a3=,7,當(dāng)n=4時,a4=,15,猜想 an=,2n -1,1

7、,2,3,除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動中，還常常應(yīng)用類比。例如：,2.人們仿照魚類的外型和它們在 水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.,4、火星上是否存在生命？,引入3：,3.蒼蠅的眼睛是一種“復(fù)眼”，由3000多只小眼組成，人們模仿它制成了“蠅眼透鏡” ，一次就能 照出千百張相同的相片。,可能有生命存在,有生命存在,溫度適合生物的生存,一年中有四季的變更,有大氣層,行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn),火星,地球,火星上是否存在生命,由兩類對象具有某些類似特征和其中 一類對象的某些已知特征,推出另一類對 象也具有這些特征的推理稱為類比推理.,三、類比推理,注意：（1）類比推理是由特殊到特殊的推理 （2）

8、類比推理的結(jié)論不一定成立.,圓的概念和性質(zhì),球的概念和性質(zhì),與圓心距離相等的兩弦相等,與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長.,以點P(x0,y0)為圓心,r為半徑的 圓的方程為(x-x0)2(y-y0)2=r2.,與球心距離相等的兩截面圓面積相等;,與球心距離不等的兩截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大.,球的體積,球的表面積,圓的周長,圓的面積,類比推理1、利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì),圓心與弦(非直徑)中點連線垂直于弦.,球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓) 圓心連線垂直于截面圓.,以點P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想,思考：這個結(jié)論是正確的嗎？,2、類比推理,由特殊到特殊的推理;,以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；,結(jié)論不一定成立.,1、歸納推理,由部分到整體、特殊到一般的推理;,以觀察分析為基礎(chǔ),推測新的結(jié)論;,具有發(fā)現(xiàn)的功