1、1.3 條件概率與貝葉斯公式,1.3.1 條件概率與乘法公式,1.3.2 全概率公式與貝葉斯公式,1,實際中，有時會遇到在某一事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，求另一事件B發(fā)生的概率，稱這種概率為A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率，記為,，這種概率,一般不同于,例1 一個家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問另一是男孩的概率是多大（假定一個小孩是男還是女是等可能的） ？,解 觀察兩個小孩性別的隨機(jī)試驗所構(gòu)成的樣本空間 =(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女),設(shè)A=兩個小孩中至少有一個男孩，B=兩個小孩中至少有一個女孩，C=一個男孩子一個女孩，從而,2,例1 一個家庭中有兩個小孩，已知其中一

2、個是女孩，問另一是男孩的概率是多大（假定一個小孩是男還是女是等可能的） ？,解,B=(女, 女), (男, 女), (女, 男).,顯然，P ( A ) = P ( B ) = 3/4?，F(xiàn)在 B 已經(jīng)發(fā)生，排除了有兩個男孩的可能性，相當(dāng)于樣本空間由原來的 縮小到現(xiàn)在的 B = B，而事件相應(yīng)地縮小到 C =(男, 女)，(女, 男)，因此,A=(男, 男), (男, 女), (女, 男)，,C=(男, 女), (女, 男).,3,定義1 設(shè) A，B為隨機(jī)試驗 E 的兩個事件，且 P(A)0，則稱,1.3.1 條件概率與乘法公式,為在事件 A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.,注：條件概率與

3、普通概率有相類似的性質(zhì)：,若 BC，則 P(BC)|A)= P(B|A)+ P(C|A).,4,條件概率的性質(zhì),1 非負(fù)性,2 規(guī)范性,3 可加性,其他概率的性質(zhì)如單調(diào)性,減法公式,加法公式等 條件概率同樣具備.,5,(1) 在縮減的樣本空間A中求B的概率，就得到P(B|A).,(2) 在中,先求P(AB)和P(A),在按定義計算P(B|A),計算條件概率有兩種方法:,6,例2 設(shè)試驗E為擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。用B表示事件“兩顆骰子的點數(shù)相等”，用A表示事件“兩顆骰子的點數(shù)之和為4”，求,解一 以 ( i , j )表示兩顆骰子的點數(shù)，則樣本空間,于是所求概率為,一共有36個事件。且,B

4、=(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).,A=(1, 3), (2, 2), (3, 1)，,7,例2 設(shè)試驗E為擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。用B表示事件“兩顆骰子的點數(shù)相等”，用A表示事件“兩顆骰子的點數(shù)之和為4”，求,解二 當(dāng)B發(fā)生時，樣本空間縮減為,于是，,在新樣本空間B中，,當(dāng),于是，,在新樣本空間,發(fā)生時，樣本空間縮減為,8,例 設(shè)某種動物由出生后活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，求現(xiàn)齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？,解 設(shè)A=活到20歲，B=活到25歲， 則,P(A)=0.8, P(B)=0.4.,于是

5、所求概率為,由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，,9,例 甲、乙兩城市都位于長江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，求：,（1）乙市為雨天時，甲市也為雨天的概率；,（2）甲市為雨天時，乙市也為雨天的概率.,解 設(shè)A=甲市是雨天，B=乙市是雨天，,則,10,例 一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè) A=“從盒中隨機(jī)取到一只紅球”,B = “從盒中隨機(jī)取到一只新球”,解:,或,11,定理1.3.1 乘法公式,若

6、(B)0, 則,P(AB) = P(B)P(A |B),推廣 若P(A1 A2 An-1) 0，則 P(A1 A2 An) P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) P(An A1 A2 An-1).,若(A)0, 則,P(AB) = P(A)P(B|A),乘法公式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).,上面兩式都稱為乘法公式，利用它們可以計算兩個事件同時發(fā)生的概率.,12,例 一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球， 先后兩次從袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球時，求第二次取得黑球的概率； (2) 已知第二次取得黑球

7、時，求第一次取得黑球的概率。,解 設(shè) Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2),(2) 由于,13,例 一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球， 先后兩次從袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球時，求第二次取得黑球的概率； (2) 已知第二次取得黑球時，求第一次取得黑球的概率。,解 設(shè) Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2),所以,(2) 由于,14,例 一袋中裝有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加進(jìn)c只與取到的球同色的球，如此連續(xù)取三次，試求三次均為黑球的概率,解 設(shè)A=三次取出的均為黑球，Ai = 第i次取出的是黑球

8、，i=1, 2, 3，則有 A=A1 A2 A3由題意得,故,15,該摸球模型稱為卜里耶（Poloya）模型上述概率顯然滿足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) .,這說明當(dāng)黑球越來越多時，黑球被抽到的可能性也就越來越大，這猶如某種傳染病在某地流行時，如不及時控制，則波及范圍必將越來越大；地震也是如此，若某地頻繁地發(fā)生地震，從而被認(rèn)為再次爆發(fā)地震的可能性就比較大所以，卜里耶模型常常被用作描述傳染病傳播或地震發(fā)生的數(shù)學(xué)模型,16,引例：設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取2球，求從乙盒取出2個紅球的概率,解 設(shè)A1從甲盒取

9、出2個紅球; A2 從甲盒取出2個白球; A3從甲盒取出1個白球1個紅球; B=從乙盒取出2個紅球; 則 A1, A2, A3 兩兩互斥, 且A1A2A3 ,所以 B = B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B) =P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),1.3.2 全概率公式與貝葉斯公式,17,引例：設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取2球，求從乙盒取出2個紅球的概率,解 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3

10、B, P(B)=P(A1BA2BA3B) =P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),思考：這種解法是否可一般化？,1.3.2 全概率公式與貝葉斯公式,18,定義1.3.2 設(shè)事件1, 2, ,n為樣本空間 的一組事件。 如果,(1) Ai Aj= （ij）;,則稱1，2，n為樣本空間的一個劃分。,1. 完備事件組（樣本空間的一個劃分）,(2),例如上例中的 1從甲盒取出 2 個白球， 2從甲盒取出 2 個紅球， 3從甲盒取出 1 個白球 1 個紅球， 就構(gòu)成了一個完備事件組。,19,2. 全概率公式,定理 設(shè)試驗

11、E的樣本空間為，設(shè)事件A1, A2, , An為樣本空間的一個劃分，且 P(Ai) 0 (i =1, 2, , n). 則對任意事件B，有,B,證明 因為Ai Aj = (ij),按概率的可加性及乘法公式有,20,例 設(shè)袋中有12個球, 9個新球, 3個舊球. 第一次比賽取3球, 比賽后放回, 第二次比賽再任取3球, 求第二次比賽取得3個新球的概率.,3. 全概率公式的應(yīng)用,如果試驗E有兩個相關(guān)的試驗E1，E2復(fù)合而成，E1有若干種可能的結(jié)果，E2在E1的基礎(chǔ)上也有若干種可能的結(jié)果，如果求和E2的結(jié)果有關(guān)事件的概率，可以用全概率公式試驗E的幾種可能的結(jié)果就構(gòu)成了完備事件組。,解 Ai=第一次比

12、賽恰取出i個新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比賽取得3個新球 顯然A0, A1, A2, A3構(gòu)成一個完備事件組，由全概率公式得：,21,例 設(shè)袋中有12個球, 9個新球, 3個舊球. 第一次比賽取3球, 比賽后放回, 第二次比賽再任取3球, 求第二次比賽取得3個新球的概率.,3. 全概率公式的應(yīng)用,如果試驗E有兩個相關(guān)的試驗E1，E2復(fù)合而成，E1有若干種可能的結(jié)果，E2在E1的基礎(chǔ)上也有若干種可能的結(jié)果，如果求和E2的結(jié)果有關(guān)事件的概率，可以用全概率公式試驗E的幾種可能的結(jié)果就構(gòu)成了完備事件組。,解,22,例1 播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子

13、，1%的四等種子， 用一等、二等、三等、四等種子長出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。,解 設(shè)從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別為B1，B2，B3，B4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個劃分，,用A表示在這批種子中任選一顆，且這顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒的事件，則由全概率公式,23,練習(xí)1 有朋自遠(yuǎn)方來，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0；求他遲到的概率,解 設(shè)A1他乘火車來，A2他乘船來，A3他乘汽車來，A4他乘

14、飛機(jī)來，B它遲到。 易見：A1, A2, A3, A4構(gòu)成一個完備事件組，由全概率公式得,=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40 =0.145。,24,練習(xí)2 兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，問是合格品的概率為多少？,解 令B=取到的零件為合格品，Ai=零件為第i臺機(jī)床的產(chǎn)品, i=1, 2. 此時, 全部的零件構(gòu)成樣本空間，A1, A2構(gòu)成的一個劃分。由全概率公式得:,25,乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率； 全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率； 貝葉斯公

15、式是已知“最后結(jié)果” ，求“原因”的概率.,貝葉斯公式,26,1. 引例 設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球，求 (1)從乙盒取出2個紅球的概率; (2)已知從乙盒取出2個紅球，求從甲盒取出兩個紅球的概率。,解 (1)設(shè)A1=從甲盒取出2個紅球，A2=從甲盒取出2個白球； A3從甲盒取出1個白球1個紅球 ；B=從乙盒取出2個紅球； 則A1, A2 , A3 兩兩互斥，且A1+A2+A3=, 所以,P(B) = P(A1)P(B|A1 ) +P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3),27,1. 引例 設(shè)甲盒有3個白球，2個

16、紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球，求 (1)從乙盒取出2個紅球的概率; (2)已知從乙盒取出2個紅球，求從甲盒取出兩個紅球的概率。,解 (1)設(shè)A1=從甲盒取出2個紅球，A2=從甲盒取出2個白球； A3從甲盒取出1個白球1個紅球 ；B=從乙盒取出2個紅球；,(2) P(A1|B),28,1. 貝葉斯公式,定理 設(shè)A1，A2，An為樣本空間的一個劃分，且 P (Ai) 0（i=1,2,n），則對于任何一事件B ( P(B)0), 有,事實上，由條件概率的定義及全概率公式,29,1. 貝葉斯公式,定理 設(shè)A1，A2，An為樣本空間的一個劃分，且 P (Ai

17、) 0（i=1,2,n），則對于任何一事件B ( P(B)0), 有,于是,事實上，由條件概率的定義及全概率公式,30,2. 貝葉斯公式的應(yīng)用,(1) 如果試驗E有兩個相關(guān)的試驗E1，E2復(fù)合而成，E1有若干種可能的結(jié)果，E2在E1的基礎(chǔ)上也有若干種可能的結(jié)果，如果已知和E2的結(jié)果有關(guān)某事件發(fā)生了，求和試驗E1的結(jié)果有關(guān)事件的概率，可以用貝葉斯公式試驗E1的幾種可能的結(jié)果就構(gòu)成了完備事件組。 (2) 如果把樣本空間的一個劃分A1, A2, , An看作是導(dǎo)致事件B發(fā)生的各種原因，如果B發(fā)生了，求P(Aj|B)可以用貝葉斯公式。,31,例1 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p

18、，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。,解 記Ai=該學(xué)生第i次考試及格，i=1,2顯然為樣本空間的一個劃分，且已知,于是，由全概率公式得,由貝葉斯公式得,32,例2 對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求某日早上第一件產(chǎn)品是合格時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率。,解 設(shè) A1= 機(jī)器調(diào)整良好, A2=機(jī)器調(diào)整不好, B = 產(chǎn)品合格，已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25 ；P(B|A1)=0.9，P(B| A2)=0.3需要求的概率為P(A1 |B)。由貝葉斯公式,33,例2 對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求某日早上第一件產(chǎn)品是合格時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率。,解,P(A1), P(A2)通常稱為驗前概率。,P(A1|B), P(A2|B)通常稱為 驗后概率。,34,例3 某醫(yī)院對某種疾病有一種看起來很有效的檢驗方法，97%的患者檢驗結(jié)果為陽性，95%的未患病者檢驗結(jié)果為陰性，設(shè)該病的發(fā)病率為0.4%