1、,齊次線性微分方程 非齊次線性微分方程 高階變系數(shù)線性微分方程 小 結(jié),第四節(jié) 高階線性微分方程,4.2 非齊次線性微分方程,定理1. 設(shè)y1 , y2 是二階非齊次線性微分方程(1)的兩個解, 則,y = y1 - y2,是對應(yīng)的二階齊次線性微分方程(2)的解.,1. 二階非齊次線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu),記,證 因為x1 , x2是方程(1)的兩個解, 所以有,兩式相減得,是對應(yīng)齊次方程(2)的解.,是二階非齊次方程(1)的一個特解,X 是對應(yīng)齊次方程(2)的通解,定理2.,則,是非齊次方程(1)的通解 .,證 將,代入方程(1)左端, 得,是非齊次方程的解,又X 中含有,兩個獨立任意常數(shù),因

2、而是通解 .,例如, 方程,有特解,對應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,定理3. 設(shè)x1 , x2 分別是二階非齊次線性微分方程,的解, 則,是方程,的解.,(非齊次方程之解的疊加原理),已知微分方程,個解,求此方程滿足初始條件,的特解 .,解,是對應(yīng)齊次方程的解,且,常數(shù),因而線性無關(guān),故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,例1.,常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).,設(shè)線性無關(guān)函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例2.,提示:,都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證),二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法:,

3、根據(jù) f (t) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) .,（3）,- 待定系數(shù)法,2. 二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法,其中 為常數(shù)，,為 m 次已知多項式 .,設(shè)特解為,其中 為待定多項式 ,代入原方程 , 得,10 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,Z(t) 為 m 次待定系數(shù)多項式,類型1,20 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項式,故特解形式為,30 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項式,故特解形式為,綜上：,對方程（3）,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根時,可設(shè)特解,注：,上述結(jié)論可推廣到 n 階方程（k是重根次數(shù)）.,例1 .

4、寫出下列微分方程的特解的形式,解,特解形式,特解形式,特解形式,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例2,例3 寫出微分方程,的特解的形式.,設(shè) 的特解為 y*1,設(shè) 的特解為 y*2,則所求特解為,得特征根,解,由于,例4,解,特征方程為,特征根,齊方程通解,代入方程得,通解為,代入方程得,通解為,利用歐拉公式將 f(t) 表示成指數(shù)函數(shù)與多項式,類型2,的乘積形式, 化為類型1來討論.,方法:,注:,上述結(jié)論可推廣到 n 階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,（k是重根次數(shù)）,例5 寫出微分方程,例6 求微分方程,例7 求微分方程,得對應(yīng)齊次方程的通解,所以原方程

5、的通解為,為求滿足初值條件的特解，將上式求導(dǎo)，得,將初值條件代入上面兩式，得,故所求特解為,個線性無關(guān)的解,故此方程為,因此所求方程為,是對應(yīng)齊次方程兩,例10,解,由于 f 連續(xù), 則方程左邊的函數(shù)可導(dǎo), 從而 f 可導(dǎo),特征方程,齊次方程通解,代入方程求得,原方程的通解為,由初值條件得,思考: 設(shè),提示: 對積分換元 ,則有,解初值問題:,答案:,練習(xí):,例11.,求物體的運動規(guī)律.,解 問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動方程,當(dāng)p k 時,齊次通解:,非齊次特解形式:,因此原方程(*)之解為,在彈簧系統(tǒng)中，若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f 和,鉛直干擾力,代入(*)可得:,(*),當(dāng)干擾力的角頻率

6、p 固有頻率 k 時,自由振動,強(qiáng)迫振動,當(dāng) p = k 時,非齊次特解形式:,代入(*)可得:,方程(*)的解為,若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使,隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動的振幅,這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .,可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;,p = k .,自由振動,強(qiáng)迫振動,對機(jī)械來說, 共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有,利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.,歐拉方程（Euler）,的方程(其中a1, a2 , an為常數(shù)),叫歐拉方程.,特點：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自

7、變量的冪指數(shù)相同,解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.,形如,4.3 高階變系數(shù)線性微分方程,作變量變換,將自變量換為 t,上述結(jié)果可以寫為,一般地，,系數(shù)線性微分方程. 求出這個方程的解后把 t 換為lnx ，即得到原方程的解.,解,作變量變換,原方程化為,即,或,將上式代入歐拉方程，則化為以 t 為自變量的常,方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為,其特征方程,所以齊次方程的通解為,設(shè)特解為,代入原方程，得,所給歐拉方程的通解為,對應(yīng)齊次方程的特征方程為,得齊次通解,設(shè)函數(shù),在 r 0,內(nèi)滿足拉普拉斯方程,二階可導(dǎo), 且,試將方程化為以 r 為自變,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,解,利用對稱性,即,( 歐拉方程 ),原方程可化為,例3,解初值問題:,則原方程化為,通解:,利用初始條件得特解:,(1) 非齊次線性微分方程的通解等于它的任一特解,與對應(yīng)齊次線性微分方程的通解之和.,小 結(jié),1. 解的性質(zhì),(2) 非齊次線性微分方程的的任意兩個解的差是對應(yīng)齊次線性微分方程的解.,的解,二階方程,是系數(shù)待定的m次多項式.,2. 常系數(shù)非齊次方程的特解(待定系數(shù)法),(1),其中為常數(shù)，,2. 歐拉方程（Euler）,解法：作變量變