1、解析幾何中焦點(diǎn)相關(guān)的常用結(jié)論解析幾何中跟焦點(diǎn)及焦半徑（橢圓、雙曲線、拋物線上的一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線）、焦點(diǎn)弦（經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦）有關(guān)的的問(wèn)題是一類基本的、常見(jiàn)的問(wèn)題，這于這類問(wèn)題，我們一般利用第一、第二定義、正、余弦定理等方法求解，熟練掌握有關(guān)結(jié)論并能加以靈活運(yùn)用，將有效提高解題速度。結(jié)論1、焦半徑公式：F1F2圖110 設(shè)P是橢圓上的一點(diǎn)，則焦半徑|PF1|、|PF2|的長(zhǎng)分別為aex0。其中a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，e為離心率，x0為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（圖1）。20 設(shè)P是雙曲線上的一點(diǎn)，則焦半徑|PF1|、|PF2|的長(zhǎng)分別為ex0a。其中a為實(shí)半軸長(zhǎng)，e為離心率，x0為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)。證明：對(duì)本題的證明只要根據(jù)定

2、義，下面以橢圓為例加以證明：設(shè)點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則d=x0+,由第二定義得=e，|PF1|=de= (x0+)e= e x0 +a。同理可證|PF2|= ae x0。圖2結(jié)論2、以拋物線y2=2px (p0)的焦半徑|PF|為直徑的圓（C）與y軸相切（圖2）。證明：分別過(guò)點(diǎn)P、C、F向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足記為P1、C1、F1，與y軸交于P2、C2，O，則C到y(tǒng)軸的距離|CC2|=，而|PF|=|PP1|=|PP2|+|P2P1|=|PP2|+|FO|，|CC2|=，即點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離等于C的半徑，C與y軸相切。結(jié)論3、以拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線

3、相切，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值（圖3）。證明：分別過(guò)點(diǎn)A、B、C向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足記為A1、B1、C1，與y軸交于A2、B2，C2，則C到l軸的距離|CC1|=，由第二定義得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，|AA1|+|BB1|=|AB|，|CC1|=，即點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離等于C的半徑，C與準(zhǔn)線相切。圖3當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為：y=k(x),代入拋物線得4k2x24p(k2+2)x+k2p2=0,設(shè)A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韋達(dá)定理得x1x2=為定值；而|y1y2|=2p=p2. y1y2=p2。當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，易證上

4、式結(jié)論成立。結(jié)論4、已知拋物線y2=2px (p0),過(guò)焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為（0），且與拋物線交于A、B，則|AB|=；且當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AB|min=2P（此時(shí)稱弦AB為拋物線的通徑）（圖4）。證明：同結(jié)論3，分別過(guò)點(diǎn)A、B向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足記為A1、B1，則|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，|AB|=|AA1|+|BB1|。設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則|AA1|= x1+，|BB1|= x2+，|AB|= x1+ x2+p。當(dāng)900時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=tg(xc),代入拋物線方程得：圖4tg2x2(2p+ptg2)x+=0,x1+ x2=，|

5、AB|=+p=。當(dāng)=900時(shí)，顯然|AB|=2p,符合上式，|AB|=。當(dāng)=900時(shí)，|AB|min=2P，即為通徑的長(zhǎng)。結(jié)論5、設(shè)AB是橢圓的焦點(diǎn)弦，則當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|min=。證明略。想一想：在拋物線及橢圓的焦點(diǎn)弦中，當(dāng)該弦垂直于拋物線的對(duì)稱（或橢圓的長(zhǎng)軸）時(shí)，弦|AB|取得最小值，那么在雙曲線中是否有相同的結(jié)論？結(jié)論6、過(guò)拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為（0）的直線，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則AOB的面積S=。證明：由結(jié)論4得|AB|=，點(diǎn)O到直線AB y=tg(x)的距離為d=|sin|。SAOB=|sin|=。結(jié)論7、P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，且F1PF2=（00)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸，則直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（圖6）。圖6O1證明：設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)，則C(,y2),直線A