1、第二章 靜 電 場(chǎng),2.1 庫侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度 2.2 高斯定理 2.3 靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位 2.4 電偶極子 2.5 電介質(zhì)中的場(chǎng)方程 2.6 靜電場(chǎng)的邊界條件 2.7 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 2.8 電場(chǎng)能量與能量密度 2.9 電場(chǎng)力,2.1 庫侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度,2.1.1 庫侖定律,圖 2 1 庫侖定律用圖,式中：R=r-r表示從r到r的矢量；R是r到r的距離；R是R的單位矢量；0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為,庫侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線， 同號(hào)電荷之間是斥力， 異號(hào)電荷之間是引

2、力。點(diǎn)電荷q受到q的作用力為F，且F=-F，可見兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。,庫侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。 對(duì)于實(shí)際的帶電體， 一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元V，若其中的電量為q，則電荷體密度為,其單位是庫/米3(C/m3)。這里的V趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子， 這樣才可以將電荷分布

3、看作空間的連續(xù)函數(shù)。,如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元S內(nèi)的電量為q，則面密度為,對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。 若線元l內(nèi)的電量為q，則線密度為,2.1.2 電場(chǎng)強(qiáng)度,電荷q對(duì)電荷q的作用力，是由于q在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷q在電場(chǎng)中受力。用電場(chǎng)強(qiáng)度來描述電場(chǎng)，空間一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r處，試驗(yàn)電荷q受到的電場(chǎng)力為,對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為,同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為,例 2 - 1 一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，

4、求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。,解： 取坐標(biāo)系如圖 2 - 2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為l 。,圖 2 -2 例 2 - 1 用圖,所以,2.2 高斯定理,圖 2 3 立體角,若S是封閉曲面， 則,高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。先考慮點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過任意閉曲面S的通量：,若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為,(2 - 15),要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為的體分布電荷，則式(2 - 15)可以寫為,由于體積V是任意的， 所以有

5、,例 2 - 2 假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為0的電荷，試求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。,解：,當(dāng)ra時(shí)，,故,當(dāng)ra時(shí)，,所以,例 2 - 3 已知半徑為a的球內(nèi)、 外的電場(chǎng)強(qiáng)度為,求電荷分布。,解：由高斯定理的微分形式 ， 得電荷密度為,用球坐標(biāo)中的散度公式,可得,(ra),(ra),2.3 靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位,由于,電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有,可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場(chǎng)強(qiáng)度。 這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場(chǎng)的位函數(shù)，簡稱為電位。電位的定義由下式確定,電位的單位是伏(V)， 因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。,體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為,線電荷和面電荷的電

6、位表示式與上式相似， 只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對(duì)于位于源點(diǎn)r處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位為,因?yàn)殪o電場(chǎng)是無旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，即,或,通常，稱(P)-(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為,當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)，,將E=-代入高斯定理的微分形式 ， 得到,若討論的區(qū)域=0， 則電位微分方程變?yōu)?上述方程為二階偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中2在直角坐標(biāo)系中為,例2-4 位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤，

7、面電荷密度為S，如圖 2 - 4 所示，求z軸上的電位。 解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式：,以上結(jié)果是z0 的結(jié)論。 對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)， 電位為,圖2-4 均勻帶電圓盤,例 2 - 5 求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。,解：,(ra),(ra),由此可求出電位。當(dāng)ra時(shí)，,當(dāng)ra時(shí)，,例 2-6 若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0, 球外無電荷，求空間的電位。 解：,即,再對(duì)其積分一次， 得,在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、 r=代入上式，得,這樣解出兩個(gè)常數(shù)為,所以,總之， 真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為,2.4 電偶極子,圖 2 -5 電偶極子,用電偶極矩表示電偶極子的大小和

8、空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l， 即,電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為,其中，r1和r2分別表示場(chǎng)點(diǎn)P與q和-q的距離，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。當(dāng)1r時(shí)，,從而有,其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為,圖 2 - 6 電偶極子的電場(chǎng)分布,2.5 電介質(zhì)中的場(chǎng)方程,2.5.1 介質(zhì)的極化,極化強(qiáng)度的單位是C/m2。,2.5.2 極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位,圖 2 -7 極化介質(zhì)的電位,設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是P，現(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。在介質(zhì)中r處取一個(gè)體積元V， 因|r-r|遠(yuǎn)大于V的線度，故可將V中介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為p=PV，它在r處產(chǎn)生的電位是,整個(gè)極化介質(zhì)

9、產(chǎn)生的電位是上式的積分：,對(duì)上式進(jìn)行變換，利用,變換為,再利用矢量恒等式：,令,例2-7 一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是P0ez，求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。 解：取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。 極化電荷體密度為,極化電荷面密度為,分布電荷對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩由下式計(jì)算：,積分區(qū)域D是電荷分布的區(qū)域。 因此,得,2.5.3 介質(zhì)中的場(chǎng)方程 在真空中高斯定理的微分形式為E=/0，其中的電荷是指自由電荷。在電介質(zhì)中， 高斯定理的微分形式便可寫為,將P=- P代入，得,這表明，矢量0E+P的散度為自由電荷密度。,稱此矢量為電位移矢量(或電感應(yīng)強(qiáng)度矢量)， 并記為D，即,于是，介質(zhì)中高斯

10、定理的微分形式變?yōu)?將介質(zhì)中靜電場(chǎng)的方程歸納如下：,與其相應(yīng)的積分形式為,2.5.4 介電常數(shù),式中e為極化率，是一個(gè)無量綱常數(shù)。從而有,稱r為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。,對(duì)于均勻介質(zhì)(為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程：,例 2 - 8 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼， 殼外是空氣，如圖 2 - 8 所示。求空間任一點(diǎn)的D、 E、 P以及束縛電荷密度。,圖 2 -8 例 2 - 8 用圖,解：,(ra),介質(zhì)內(nèi)(arb)：,介質(zhì)外(br)：,介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度：,介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：,2.6 靜電場(chǎng)的邊

11、界條件,圖 2 -9 法向邊界條件,或,如果界面上無自由電荷分布，即在S=0時(shí)，邊界條件變?yōu)?或,圖 2 - 10 切向邊界條件,因?yàn)閘2=ll，l1=-ll, l是單位矢量，上式變?yōu)?注意到nl，故有,場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即,由于,法向分量的邊界條件用電位表示為,在S=0時(shí)，,設(shè)區(qū)域 1 和區(qū)域 2 內(nèi)電力線與法向的夾角分別為1、2，,導(dǎo)體內(nèi)的靜電場(chǎng)在靜電平衡時(shí)為零。設(shè)導(dǎo)體外部的場(chǎng)為E、D， 導(dǎo)體的外法向?yàn)閚，則導(dǎo)體表面的邊界條件簡化為,例 2-9 同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為1，下半部分的介電常數(shù)為2，如圖

12、2 - 11 所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為q和-q， 求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。,圖 2 -11 例 2 - 9 用圖,解：,在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有,2.7 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,2.7.1 電位系數(shù),(i=1, 2, , n),導(dǎo)體i的總電位應(yīng)該是整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有導(dǎo)體對(duì)它的貢獻(xiàn)的疊加，即導(dǎo)體i的電位為,或?qū)懗删仃囆问?由電位系數(shù)的定義可知，導(dǎo)體j帶正電，電力線自導(dǎo)體j出發(fā)，終止于導(dǎo)體i上或終止于地面上。又由于導(dǎo)體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電力線不是終止于其它導(dǎo)體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其它導(dǎo)體的電位一定介于導(dǎo)體j的電位和地

13、面的電位之間， 所以,(ij, j=1, 2, , n),電位系數(shù)具有互易性質(zhì)， 即,2.7.2 電容系數(shù)和部分電容,(ij),令,(ij),則上式變成,圖 2 -12 部分電容,例 2 - 10 導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度很薄可以不計(jì)(如圖 2 - 13 所示)，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。,圖 2 -13 例 2 - 10 用圖,解：,再設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得,因此,電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有,部分電容為,例 2- 1 假設(shè)真空中兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間的距離為d，且da，

14、求兩個(gè)導(dǎo)體球之間的電容。 解：,例 2 - 12 一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a， 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b, 內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，arr0的介電常數(shù)為1，r0rb的介電常數(shù)為2， 如圖 2 - 14 所示， 求單位長度的電容。,圖 2 -14 例 2 - 12 用圖,解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電分別為l、-l，內(nèi)、外導(dǎo)體間的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位移為,各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為,內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為,因此，單位長度的電容為,2.8 電場(chǎng)能量與能量密度,2.8.1 電場(chǎng)能量,設(shè)每個(gè)帶電體的最終電位為1、2、n，最終電荷為q1、 q2、qn。帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程

15、無關(guān)，僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)。假設(shè)在建立系統(tǒng)過程中的任一時(shí)刻，各個(gè)帶電體的電量均是各自終值的倍(1)，即帶電量為qi，電位為i，經(jīng)過一段時(shí)間，帶電體i的電量增量為d(qi)，外源對(duì)它所作的功為id(qi)。外源對(duì)n個(gè)帶電體作功為,因而，電場(chǎng)能量的增量為,在整個(gè)過程中，電場(chǎng)的儲(chǔ)能為,2.8.2 能量密度,圖 2 -15 能量密度,將D=和Dn=S代入上式，有,利用矢量恒等式,則,并且注意在導(dǎo)體表面S上n=-n，得,式中V已經(jīng)擴(kuò)展到無窮大，故S在無窮遠(yuǎn)處。對(duì)于分布在有限區(qū)域的電荷，1/R，D1/R2, SR2, 因此當(dāng)R時(shí)，上式中的面積分為零，于是,對(duì)于各向同性介質(zhì)：,例2-13 若真空中電荷q

16、均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場(chǎng)能量。 解： 用高斯定理可以得到電場(chǎng)為,(ra),(ra),所以,例2-14 若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的單位為零)時(shí)，求單位長度的電場(chǎng)能量。 解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓為U時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為l， 則導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為,兩導(dǎo)體間的電壓為,即,單位長度的電場(chǎng)能量為,2.9 電 場(chǎng) 力,虛位移法求帶電導(dǎo)體所受電場(chǎng)力的思路是：假設(shè)在電場(chǎng)力F的作用下，受力導(dǎo)體有一個(gè)位移dr，從而電場(chǎng)力作功Fdr；因這個(gè)位移會(huì)引起電場(chǎng)強(qiáng)度的改變，這樣電場(chǎng)能量就要產(chǎn)生一個(gè)增量dWe； 再根據(jù)能量守恒定律，電場(chǎng)力作功及場(chǎng)能增量之和應(yīng)該等于外源供給帶電系統(tǒng)的能量dWb，即,1. 電荷不變 如果虛位移過程中，各個(gè)導(dǎo)體的電荷量不變，就意味著各導(dǎo)體都不連接外源，此時(shí)外源對(duì)系統(tǒng)作功dWb為零，即,因此，在位移的方向上，電場(chǎng)力為,2. 電位不變 如果在虛位移的過程中，各個(gè)導(dǎo)體的電位不變， 就意味著每個(gè)導(dǎo)體都和恒壓電源相連接。此時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體的相對(duì)位置改變時(shí)， 每個(gè)電源