1、小學(xué)數(shù)學(xué)競賽學(xué)習(xí)材料四年級上期第一講 等差數(shù)列初步我們把按照一定順序排列的一些數(shù)，叫做數(shù)列。數(shù)列的第一個數(shù)叫做首項，第二個數(shù)叫做第二項最后一個數(shù)叫做末項。常見的數(shù)列有：自然數(shù)列：1，2，3，4，5，；奇數(shù)列：1，3，5，7，9，；偶數(shù)列：2，4，6，8，10，等。稍做計算就會發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)列任意兩項的差都是1；奇數(shù)列和偶數(shù)列任意兩項數(shù)的差都是2。像這種“差”相等的數(shù)列，就叫做“等差數(shù)列”，那個公有的差，叫做“公差”。公差也可以是比較大的數(shù)。比如：3，9，15，21，27，33，39，45。就是等差數(shù)列，它的公差是6，共有8項。求等差數(shù)列的和，是一個經(jīng)常遇到的問題。就以上面這個等差數(shù)列為例，怎樣才

2、能使計算比較簡便呢？根據(jù)“等差”這個特點(diǎn)，可以再取一個同樣的數(shù)列，把排列順序顛倒過來：45，39，33，27，21，15，9，3。這個數(shù)列的和沒有改變，并且因為“等差”的緣故，兩個數(shù)列相對應(yīng)的兩個數(shù)的和也是相等的，都是48。比如，原數(shù)列第二項比第一項大一個公差，而新數(shù)列第二項比第一項小一個公差；原數(shù)列第三項比第一項大兩個公差，而新數(shù)列第三項比第一項小兩個公差；于是，合在一起，就等于8個48。48可以用345做代表，這樣就可以把求兩個數(shù)列的和的過程，簡單地寫作：和2(345)8，所以，和(345)82。也就是和(首項末項)項數(shù)2如果把公式改寫成，和(首項末項)2項數(shù)，其中的(首項末項)2，得數(shù)就

3、是各項的平均數(shù)，所以當(dāng)項數(shù)是奇數(shù)時，數(shù)列的中項正好是各項的平均數(shù)，公式就可以簡化為和中項項數(shù)有了這兩個公式，求等差數(shù)列的和，就方便多了。例1計算：280290300310320330340350360370？解：首項是280，末項是370，項數(shù)是10，所以280290300310320330340350360370(280370)1026501023250。例2計算：2000200220042006200820102012？解：項數(shù)是7，中項是2006，所以20002002200420062008201020122006714042。例3計算：14710100？解：因為公差是413,末項比首項

4、多100199，其中包含了99333(個)公差，也就是說，末項是首項加了33個公差的結(jié)果，所以總共有33134項。于是：14710100(1100)3421717。例4用3根火柴可以擺一個三角形。用火柴擺一個下面的圖形，如果每邊要用20根火柴，一共要用多少根火柴？解：這個圖形的三角形共有20行。第一行擺1個三角形；第二行擺2個三角形；第三行擺3個三角形；第20行擺20個三角形。一共要擺12320(120)202210(個)三角形。一共要用3210630(根)火柴。答：一共要用630根火柴。練習(xí)一1計算：8284868890929496？2計算：1351361371381391401411421

5、43？3計算：625615605595585575？4計算：123420052006？5計算：2581138？6有一個數(shù)列：1，5，9，13，17，21，這個數(shù)列的第500個數(shù)是多少？7已知5個連續(xù)自然數(shù)的和是225，第一個數(shù)是多少？8四個連續(xù)自然數(shù)的和是194，最后一個數(shù)是多少？9一些鋼管整齊地堆放在一起，最底下一層20根，每向上一層，兩邊各少1根，最上面一層10根，這堆鋼管有多少根？10小明家在一座大樓里，樓里一共有72戶，門牌號從1到72。有人問他們家在幾號，小明說：“除了我們家以外，樓里所有門牌號數(shù)的和，減去我們家的門牌號，等于2572?！蹦阒佬∶骷业拈T牌是多少號嗎？11有10位朋友

6、聚會，如果每人都和其余的人握一次手，總共要握多少次手？12有10把鎖，每把鎖有一把鑰匙，現(xiàn)在把鑰匙給弄亂了，最多試開多少次，就能使每把鑰匙找到相應(yīng)的鎖？第二講 加法原理初步例1小冬到新華書店買書，發(fā)現(xiàn)有他喜歡的5種數(shù)學(xué)書、3種科幻小說、6種卡通畫冊。他帶的錢只能買其中的一種，他有多少種不同的選擇方法？解：可以買5種數(shù)學(xué)書中的任意一種，也可以買3種科幻小說中的任意一種，還可以買6種種卡通畫冊中的任意一種，所以，共有53614(種)不同的選擇方法。答：小冬有14種不同的選擇方法。像這樣的思考方法，所遵循的就是“加法原理”。它的特點(diǎn)是分類計數(shù)，最終結(jié)果等于各類計數(shù)的和。例2把1、2、3、4四個數(shù)字從

7、小到大排成一行，在這四個數(shù)中間，任意插入乘號，可以得到多少個不同的乘積？解：按插入乘號的個數(shù)分類：(1)如果插入1個乘號，可以插在1、2中間，也可以插要2、3中間，還可插在3、4中間，有3種不同的插入方法，可以得到3個不同的乘積；(2)如果插入2個乘號，可以插在1、2中間和2、3中間，也可以插在1、2中間和3、4中間，還可以插在2、3中間和3、4中間，也有3種不同的插入方法，可以得到3個不同的乘積；(3)如果插入3個乘號，就只有1種插入方法，只能得到1個乘積。根據(jù)加法原理，一共可以得到3317(個)不同的乘積。答：可以得到7個不同的乘積。例3如左下圖，從甲地到乙地，最近的道路共有多少條？甲甲

8、A L M C H B D I N E J 乙 FG K 乙解：為了便于研究，給圖上道路的交點(diǎn)標(biāo)上字母，如右上圖。從甲到A只有1條路，在A的旁邊標(biāo)上1(下圖)；到B只有1條路，在B的旁邊標(biāo)上1；到C只有1條路，在C的旁邊標(biāo)上1；到D的走法既可以從A來，也可以從D來，有112條路，在D的旁邊標(biāo)上2。同理，在E的旁邊標(biāo)上2。在F的旁邊標(biāo)上1。在G的旁邊標(biāo)上213。在N的旁邊標(biāo)上3。在K的旁邊標(biāo)上7。甲 A 1 L 1 M1 C 1 H 2 B 1 D 2 I 2 N3 E 2 J 4 F1 G3 K7 乙所以從甲地到乙地共有3710條路。例4 一塊圓形紙片分成4個相同的扇形(如圖)。用紅、黃兩種顏

9、色分別涂滿各扇形，共有幾種不同的涂法？解：可以分成以下幾種情況(注意：紙片是可以轉(zhuǎn)動的)：(1)只用一種顏色的有：“紅、紅、紅、紅”，“黃、黃、黃、黃”兩種；(2)兩種顏色的扇形數(shù)量相同的有：“紅、紅、黃、黃”，“紅、黃、紅、黃”兩種；(3)兩種顏色的扇形數(shù)量不同的有：“紅、紅、紅、黃”，“黃、黃、黃、紅”兩種。共有2226(種)不同的涂法。練 習(xí) 二1每天從甲地到乙地有3班火車，4班汽車，2班輪船。每天從甲地到乙地，乘坐這些交通工具有多少種不同的選擇？2有1分、2分、5分幣各一枚，可以組成多少種不同的幣值？3從A、B、C、D、E五位同學(xué)中，選派2人升國旗，有多少種不同的組合？ 4現(xiàn)有1克、2

10、克、4克、8克的砝碼各一個，在天平上能秤出多少種不同的重量？5某校六年級畢業(yè)時，全班40名同學(xué)互相贈送一張照片留作紀(jì)念。請統(tǒng)計一下，全班同學(xué)一共送出了多少張照片？6從1到99這99個數(shù)中，任意取兩個數(shù)要求它們的和小于100，有多少種不同的取法？7如圖，從P到Q共有多少條不同的最短線路？ P Q8某城市的街道非常整齊(如圖)，從西南角A處到東北角B處，要求走最近的路，并且不能通過十字路口C(正在修路)，共有多少種不同的走法？ B C A9如圖，長方體有12條棱、8個頂點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著棱爬行，要經(jīng)過每個頂點(diǎn)一次，并且只經(jīng)過一次，共有多少種不同的走法？ HG EF D CA B10如圖，

11、一只小甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圖中的線段爬到B點(diǎn)。要求任何點(diǎn)和線都不重復(fù)經(jīng)過，問這只小甲蟲有多少種不同的走法？(第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽題) ACDB11兩個相同的正方體骰子，每個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，將兩個骰子擲到桌面上，向上一面的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？12從1到9這九個數(shù)字中，每次取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的和都必須大于10，能有多少種不同的取法？第三講 乘法原理初步例1小冬到新華書店買書，他喜歡的數(shù)學(xué)書有5種，科幻小說有3種，歌曲集有2種。如果數(shù)學(xué)書、科幻小說、歌曲集各買一本，有多少種不同的選法？解：小冬買書可以分三步完成：先買數(shù)學(xué)書，再買科幻小說，最后買

12、歌曲集。第一步，在5種數(shù)學(xué)書中任選一本，有5種選法；第二步，在3種科幻小說中任選一本，有3種選法；第三步，在2種歌曲集中任選一本，有2種選法。共有53230(種)不同的選法。答：有30種不同的選法。像這樣的思考方法，所遵循的就是“乘法原理”。它的特點(diǎn)是分步計數(shù)，最終結(jié)果等于各步計數(shù)的積。例2如圖，從A到B有4條路可走，從B到C有3條路可走，從A到C還有2條路可以直接到達(dá)。從A到C一共有多少種不同的走法？ A B C解：從A到C的走法可以分成兩類，一類經(jīng)過B，一類不經(jīng)過B，而經(jīng)過B的又可以分成兩步，即先到達(dá)B，再到達(dá)C。所以根據(jù)加法原理和乘法原理，從A到C共有43214(種)不同的走法。答：從A

13、到C一共有14種不同的走法。例3平面上有6個點(diǎn)，并且任何三個點(diǎn)都不在同一條直線上，連接其中的任意兩個點(diǎn)，都可以得到一條直線，那么，一共可以連成多少條直線？解法一：設(shè)這6個點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F。連接A和B、C、D、E、F得到5條直線；連接B和C、D、E、F得到4條直線；連接C和D、E、F得到3條直線；連接D和E、F得到2條直線；連接E、F得到1條直線。根據(jù)加法原理，一共可以連成5432115(條)直線。解法二：6個點(diǎn)中的任何一個點(diǎn)，都可以和其余5個點(diǎn)連成直線，根據(jù)乘法原理，一共可以連成6530(條)直線。不過在這個思考過程中，每個點(diǎn)都使用了兩次，如A和B連成的直線AB，與B和A連成的直

14、線BA，就是同一條直線，所以實(shí)際一共可以連成30215(條)直線。例4下圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，要求每行、每列只能出現(xiàn)一個棋子，問共有多少種不同的放法？解：如果采用一遍一遍地試放的方法，顯然是不可取的。由于四個棋子要一個一個地放入方格內(nèi)，所以，可以把這件事看成是一件需要分四步才能完成的事。第一步，棋子A可以放入4416個方格中的任意一個，有16種不同的放法；第二步，放棋子B時，因為放A的那一行和那一列不能放B，所以只有339種放法；第三步，放棋子C時，再去掉放了B的那一行和那一列，只有224種放法；第四步，放棋子D時，再去掉放了C的那一行和那一列，就只剩

15、一個方格了，也就是只有1種放法。根據(jù)乘法原理，完成這件事共有16941576(種)不同的放法。答：共有576種不同的放法。練 習(xí) 三1從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，試問從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？2運(yùn)行于南京、上海之間的某次快車，中途要?？?個站，這次快車要準(zhǔn)備多少種不同的車票？(小學(xué)生學(xué)習(xí)報第四屆數(shù)學(xué)競賽初賽題)3書架上有6本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的語文書。(1)從中任意取一本書，有多少種不同的取法？(2)數(shù)學(xué)、語文書各取一本，有多少種不同的取法？4王英、趙明、李剛?cè)藞竺麉⒓有＿\(yùn)動會的跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和擲壘球四項比賽中的一項，問報名的結(jié)果的會出現(xiàn)多

16、少種不同的情形？5王芳有4件上衣、3條褲子、2雙皮鞋。她能有多少天穿戴裝束不同？6如圖，甲、乙兩人在方格中各放一枚棋子。要求兩枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少種放法？7一個平面上有15個點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間可以作一條直線，如果沒有三個點(diǎn)或三個以上的點(diǎn)在同一條直線上，那么，這15個點(diǎn)之間可以連成多少條直線？8兩個學(xué)校進(jìn)行圍棋比賽，雙方各出5名男隊員和3名女隊員，每一方的一名隊員都要和另一方的每一名隊員進(jìn)行一場比賽。一共要進(jìn)行多少場比賽？如果每一方的男隊員只和另一方的男隊員比賽，每一方的女隊員只和另一方的女隊員比賽，一共要比賽多少場？9某市的電話號碼是七位數(shù)，首位不能是0，其余各位上可以是09中

17、的任何一個，并且數(shù)字可以重復(fù)。這個城市最多可以容納多少部電話？10在19888891的所有自然數(shù)中，十位數(shù)字與個位數(shù)字不同的數(shù)有多少個？11用9、8、7、6四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的和是多少？12用9、8、7、6四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？第四講 數(shù)字問題(一)例1在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字小的兩位數(shù)，總共有多少個？解：兩位數(shù)包括10、11、12、99，為了做到既不重復(fù)也不遺漏，思考時可以按照十位數(shù)從小到大的順序有序地進(jìn)行。(1)十位數(shù)字是1的有：12、13、14、19，共8個；(2)十位數(shù)字是2的有：23、24、25、29，共7個；(3)十

18、位數(shù)字是3的有：34、35、36、39，共6個；(8)十位數(shù)字是8的有：89這1個。總共有876136(個)。答：十位數(shù)字比個位數(shù)字小的兩位數(shù)，總共有36個。例2從1到1000，這1000個自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字1的數(shù)有多少個？(第一屆“九章杯”中國小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題)解：根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)區(qū)分不同情況，分別加以考慮：(1)從1到99中含有數(shù)字1的數(shù)有：1、10、11、12、19、21、31、41、91，共19個數(shù)。同理，從200到299,300到399，900到999，含有數(shù)字1的數(shù)也各有19個。所以，這類數(shù)共有199171(個)；(2)百位上是1的數(shù)有100個；(3)1000這個數(shù)也含有數(shù)

19、字1。所以，從1到1000這1000個自然數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)共有1711001272(個)，不含有數(shù)字1的數(shù)共有1000272728(個)。答：從1到1000這1000個自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字1的數(shù)有728個。例3一本書的頁碼，在印制時必須用1989個數(shù)字，這本書共有多少頁？(北京市第五屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題)解：按照頁碼的不同位數(shù)，分別考慮：(1)一位數(shù)的頁碼有9頁，共用199(個)數(shù)字；(2)兩位數(shù)的頁碼有90頁，共用290180(個)數(shù)字；(3)三位數(shù)的頁碼共用198991801800(個)數(shù)字，共有18003600(頁)。所以這本書共有990600699(頁)。答：這本書共有69

20、9頁。例4在四位數(shù)中，數(shù)字和等于34的數(shù)有多少個？(第一屆“九章杯”全國小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題)解：四個數(shù)字之和等于34的只有：999734，998834，所以，這樣的數(shù)有9997、9979、9799、7999、9988、9889、9898、8989、8998、8899，共十個。答：在四位數(shù)中，數(shù)字和等于34的數(shù)有10個。練 習(xí) 四1. 用 8、2、6、0、3、9 這六個數(shù)字, 所能組成的六位數(shù)中, 最大的是多少？最小的是多少？2. 用兩個3, 兩個7, 兩個0組成的最小六位數(shù)是多少？3. 用 5、0、3、1 四個數(shù)字可以組成許多四位數(shù)。如果把它們從小到大排列起來, 第八個數(shù)是多少？4. 在所

21、有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？5一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，如果這個數(shù)加上8，則和的兩個數(shù)字相同，求這個兩位數(shù)是多少？(鄭州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)6兩個數(shù)144和101有兩個共同特點(diǎn)：(1)每個數(shù)都是百位數(shù)為1的三位數(shù)；(2)每個數(shù)中，恰有兩個數(shù)字相同。問：符合以上條件的三位數(shù)有多少個？7一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大2，個位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大5，這個三位數(shù)在450到500之間，這個數(shù)是多少？(長春市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)8有一位五位數(shù)，最低位數(shù)字是8，最高位數(shù)字是3，個位上的數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，前三位數(shù)字的和與后三位數(shù)字的和都是19，這個五位數(shù)是多少？

22、9一本書有600頁，頁碼編號為1、2、3、600，問數(shù)字“1”在頁碼中共出現(xiàn)多少次？(北京市華羅庚數(shù)學(xué)學(xué)校招生試題)10給一本百科全書編上頁碼需要6869個數(shù)字，那么這本書共有多少頁？11一個兩位數(shù)，其中個位數(shù)字比十位數(shù)字大2，這個兩位數(shù)在50到60之間，這個兩位數(shù)是多少？(無錫市北塘區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)12一個小朋友今年歲數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，正好是他再過18年的年齡。他今年多少歲？(長春市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)第五講 數(shù)字問題(二) 例 1 從1寫到 9999, 一共要寫多少個 1、2、3、4、5、6、7、8、9？多少個0？ 解法一：在199之間，個位上是1的有：1, 11, 21,

23、 31, , 81, 91, 共10個數(shù), 要寫10個1。同理，在100199、200299、900999之間，也各要寫10個1，于是在1999之間要寫 1010100(個)1。同理，在10001999、20002999、90009999之間也各要寫100個1。總共要寫 100101000(個)1；在199之間，十位上是1的有：10, 11, 12, 13, , 18, 19, 共 10個數(shù), 要寫10個1。同理，在100199、200299、900999之間，也各要寫10個1，于是在1999之間要寫1010100(個)1。同理，在10001999、20002999、90009999之間也各要

24、寫100個1?？偣惨獙?100101000(個)1；在100999之間，顯然百位上是1的有100個數(shù), 要寫100個1。同理，在10001999、20002999、90009999之間，也各要寫100個1，于是在19999之間要寫100101000(個)1。總共要寫 100044000(個)1。同理，數(shù)字2、3、4、5、6、7、8、9也各要寫4000個。因為一位數(shù)有9個，兩位數(shù)有90個，三位數(shù)有900個，四位數(shù)有9000個，所以，從19999一共要寫 1929039004900038889(個)數(shù)字，減去0以外的 4000936000(個)數(shù)字，數(shù)字0要寫 38889360002889(個)。

25、 解法二：從1到9999一共9999個數(shù)，先用0把所有不是四位數(shù)的數(shù)都補(bǔ)成四位數(shù)，再添一個完全用0組成的四位數(shù)，變成10000個四位數(shù)。一位數(shù)添了3927個0，兩位數(shù)添了290180(個)0，三位數(shù)添了1900900(個)0，四位數(shù)添了4個0，總共添了 2718090041111(個)0。這10000個四位數(shù)總共用了 41000040000個數(shù)字, 由于十個數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會均等, 所以, 每個數(shù)字都要用 40000104000(個)。只有0例外，用了400011112889(個)。答：從1到9999總共要寫4000個1、2、3、4、5、6、7、8、9；要寫2889個0。例2有這樣一些三位數(shù)，它的

26、三個數(shù)字各不相同，并且，用這三數(shù)字所組成的所有兩位數(shù)之和，恰好等于這個三位數(shù)。請寫出一個這樣的三位數(shù)。解：如果用、分別三個不同的數(shù)字(都不是0)，那么用它們組成的兩位數(shù)有：、，共六個。觀察發(fā)現(xiàn)，每個數(shù)字在十位上出現(xiàn)2次，在個位上也出現(xiàn)2次，因此，這些數(shù)字組成的所有兩位數(shù)之和，等于(10212)()22()，即，所有兩位數(shù)的和等于這三個數(shù)字之和的22倍數(shù)。取三個數(shù)字為1、2、3，22(123)132。檢驗：122113312332132。所以，132就是一個滿足條件的三位數(shù)。答：132就是這樣的一個三位數(shù)。你能求出一些其他符合要求的三位數(shù)嗎？例3有一個六位數(shù)，個位數(shù)字是8，十位數(shù)字是6，任意三個

27、數(shù)字的和都是21，這個六位數(shù)是多少？(河北省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)解：設(shè)這個六位數(shù)是68，因為任意三個數(shù)字的和都是21，所以百位上的數(shù)字和21687；千位上的數(shù)字是21768；萬位上的數(shù)字是21876；十萬位上的數(shù)字是21687。這個六位數(shù)是768768。答：這個六位數(shù)是768768。例4如果一個數(shù)的各位數(shù)字的順序倒過來仍是它本身，這個數(shù)就稱為回文數(shù)，如55、606、717、80408等等。從1到100000中共有多少回文數(shù)？(江蘇省金壇市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)解：按照一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)的順序思考：(1)一位數(shù)中有：1、2、3、9，共9個；(2)兩位數(shù)中有：11、22、33、99，

28、共9個；(3)三位數(shù)中，形如aba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有91090(個)；(4)四位數(shù)中，形如abba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有91090(個)；(5)五位數(shù)中，形如abcba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，c可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有91010900(個)；共有 929029001098(個)。答：從1到100000中共有1098個回文數(shù)。練 習(xí) 五1. 從1寫到1000,

29、 總共寫了多少個數(shù)字?2. 有一個六位數(shù)，個位數(shù)字是9，十位數(shù)字是7，任意相鄰的三個數(shù)字的和都是24，這個六位數(shù)是多少？3從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任意取三個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？4. 計算1234234134124123。(1994 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題)5. 有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，如 257、1459 等等，這類自然數(shù)中最大的是多少？(2002年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽題)6用7、8、9三個數(shù)字可以寫出多少個三位數(shù)？所有這些三位數(shù)的和是多少？7有四個不同的數(shù)字(其中沒有0)，總和是10，用這四個數(shù)字可以寫出多少個

30、四位數(shù)？所有這些四位數(shù)的和是多少？8把一個三位數(shù)的百位和個位上的數(shù)字位置互換，十位上的數(shù)字不動，所得的新數(shù)與原數(shù)相等，求這樣的數(shù)共有多少個？9一個不超過四位的回文數(shù)，加上2000，和還是回文數(shù)，試問：這樣的回文數(shù)共有多少個？(江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)10將所有的四位數(shù)用它的各位數(shù)字之和去除，可能得到的最大的商是多少？11在12004這2004個數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)有多少個？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)12在1、2、3、1272這1272個數(shù)中，最多可選出多少個數(shù)，使其中任何兩個數(shù)的差都不等于5？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)第六講 枚舉與重疊例1一次射擊比賽中，5個泥制的靶子掛成三

31、列如左下圖。一位射手按下列規(guī)則去擊碎靶子：無論擊哪一列，必須先擊碎這列中尚未被擊碎的靶子中最低的一個。按照這一規(guī)則，擊碎全部靶子有多少種不同的次序？ 1 4 5 2 3解：給這五個靶子編上號如右上圖：(1)先擊碎“4”的次序有：4，5，3，2，1；4，3，5，2，1；4，3，2，5，1；4，3，2，1，5。共4種；(2)先擊碎“5”的次序同樣多，也是4種；(3)先擊碎“3”的次序有：3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；3，2，4，1，5；3，2，4，5，1；3，2，5，1，4；3，2，5，4，1；3，4，2，1，5；3，4，2，5，1；3，4，5，2，1；3，5，4，2，1；3，5，2，1

32、，4；3，5，2，4，1。共12種?？偣?41220(種)。上面這種把所涉及的情況一一列舉出來的思想方法，叫做枚舉。例2A、B、C三位同學(xué)，每人心里記著四個自然數(shù)，如果：(1)每人心中的四個數(shù)都不相同，并且每人心中四個數(shù)的和都是24；(2)B有兩個數(shù)和A的兩個數(shù)相同，B其余兩個數(shù)和C的兩個數(shù)相同；(3)A和C只有一個數(shù)相同；(4)每人心中的每個數(shù)都是3、4、5、6、7、8、9中的某個數(shù)。那么，A和C相同的那個數(shù)是幾？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)解：這樣的組合有：(3,4,8,9)、(3,5,7,9)、(3,6,7,8)、(4,5,6,9)、(4,5,7,8)。觀察發(fā)現(xiàn)，B心中的數(shù)是(4

33、,5,7,8)，A心中的數(shù)是(4,5,6,9)，C心中的數(shù)是(3,6,7,8)。仔細(xì)對比后發(fā)現(xiàn)，A和C相同的那個數(shù)是6。例3某研究所有100名研究員，每人至少懂法語或俄語中的一種，其中懂法語的有80名，既懂法語又懂俄語的有24名，懂俄語的有多少名？解：可以畫一個示意圖以便分析題中的數(shù)量關(guān)系。畫一個圈，里面表示懂法語的人數(shù)。再畫一個圈，里面表示懂俄語的人數(shù)。因為有既懂法語又懂俄語的人，所以兩個圈有共同(重疊)部分, 如圖： b a c 懂法語的人數(shù) 懂俄語的人數(shù)于是，a表示既懂法語又懂俄語的人數(shù)，b表示只懂法語不懂俄語的人數(shù)，c表示只懂俄語不懂法語的人數(shù)，ab表示懂法語的人數(shù)，ac表示懂俄語的人

34、數(shù)，abc表示總?cè)藬?shù)。解法一：從總?cè)藬?shù)中減去只懂法語的人數(shù)，就是懂俄語的人數(shù)。100(8024)44(人)。解法二：既懂法語又懂俄語的人數(shù)，加上只懂俄語的人數(shù)，就是懂俄語的人數(shù)。24(10080)44(人)。答：懂俄語的有44人。上面這類問題叫做重疊問題。例4有40名運(yùn)動員，其中25人會摔跤，有20人會擊劍，有10人擊劍、摔跤都不會，問既會摔跤又會擊劍的運(yùn)動員有多少人？(天津市第一屆“我愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題)解：畫出示意圖： db a c 會摔跤的人數(shù) 會擊劍的人數(shù)總?cè)藬?shù)解：a表示既會摔跤又會擊劍的人數(shù)，b表示只會摔跤不會擊劍的人數(shù)，c表示只會擊劍語不會摔跤的人數(shù)，d表示摔跤和擊劍都不會的人數(shù)，

35、ab表示會摔跤的人數(shù)，ac表示會擊劍的人數(shù)，abc表示會摔跤或擊劍的人數(shù)，abcd表示總?cè)藬?shù)。所以，總?cè)藬?shù)減去摔跤和擊劍都不會的人數(shù)，就是會摔跤或擊劍的人數(shù)(abc)，有401030(人)；會摔跤的人數(shù)(ab)加上會擊劍的人數(shù)(ac)，是252045(人)，大于會摔跤或擊劍的人數(shù)(abc)，這是因為在計算時，既會摔跤又會擊劍的人數(shù)(a)無形中算了兩次的緣故，所以既會摔跤又會擊劍的有453015(人)。答：既會摔跤又會擊劍的有15人。練 習(xí) 六1在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)中，選取兩個數(shù)的和為10，共有多少種不同的方法？其中乘積最大的一對是哪一對？2有八張卡片，上面分別寫著

36、1、2、3、4、5、6、7、8，取出其中的三張，這三張卡片的數(shù)的和等于9的有多少種情況？3有一分硬幣1枚，二分硬1枚，五硬分幣2枚。用這些硬幣可以組成1角3分及其以下的許多種不同的幣值，但是，不能組成哪些幣值？4把10個蘋果分成三堆，每堆至少1個，有幾種不同的分法？5把28表示成若干個不相同的奇數(shù)(單數(shù))之和(如果加數(shù)一樣，相加的次序不同，則只算一種表示法。如1513和1315算同一種表示法)，共有多少種不同的表示法？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)6把1、2、3、4、5、6填入下表中，使每一行右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，每一列下面的數(shù)比上面的數(shù)大，共有哪些不同的填法？7把11表示成幾個自然數(shù)的

37、和，有許多種不同的方法，如果要求這幾個自然數(shù)的積最大，應(yīng)該怎樣表示？最大的積是多少？8A、B、C、D四位男同學(xué)進(jìn)行乒乓球雙打比賽，相互之間可以任意搭配，有多少種對陣方法？9把6個同樣的球，放入4個不同的盒子里，要求不能有空盒子，共有多少種不同的放法？10學(xué)校舉行四年級象棋比賽，共有A、B、C、D、E、F六名選手參加，相互之間各賽一場，計劃5天賽完，每天比賽的場次同樣多。請對選手的對陣情況做出安排。11一個班42名同學(xué)都訂了中國少年報的小學(xué)生報報，訂閱中國少年報的有32人，訂閱小學(xué)生報的有27人，這兩種報都訂閱的有多少人12一次測驗，共有38位同學(xué)參加，結(jié)果，答對第二題的有25人，答對第四題的有

38、23人，這兩題都答對的有15人，這兩題都沒有答對的有多少人？第七講 綜合練習(xí)(一)1有一個六位數(shù)，個位數(shù)字是7，十位數(shù)字是9，任意三個數(shù)字的和都是24，這個六位數(shù)是。2在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字不比個位數(shù)字小的兩位數(shù)有個。 3從1寫到100, 一共要寫個1。4小明是一位中學(xué)生，如果把他今年歲數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，正好是他爸爸的年齡。已知他爸爸比他大27歲，小明今年歲。5一條小街上順次安裝有10盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響路面照明，要關(guān)閉其中的4盞燈，但是首末兩盞燈不能關(guān)閉，并且關(guān)閉的燈不能相鄰，共有種不同的關(guān)法。6把5、2、1、9四個數(shù)字從小到大排成一行，在這四個數(shù)中間，任意插入加號

39、，可以得到個不同的和。7從A地到C地，可以直接走也可以先繞道B地再到達(dá)C地。如果在A、B之間，B、C之間和A、C之間都有3條路可供選擇，那么，從A地到C地一共有種不同的走法。8用3、4、5、6四個數(shù)字能組成多少個四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的和是。9用1角、2角、5角三種人民幣(每一種的張數(shù)沒有限制)組成1元錢，有種不同的方法。10有40名運(yùn)動員，其中25人會摔跤，有20人會擊劍，有10人摔跤、擊劍都不會，既會摔跤又會擊劍的有人。11有10個連續(xù)自然數(shù)，它們的和是935。這10個連續(xù)自然數(shù)中，最小的是，最大的是。12下面的數(shù)陣中，第10行第3個數(shù)是。 12 34 5 6 7 8 9 1011 12

40、13 14 15 第八講 找規(guī)律例1下面有七個算式，排成一個寶塔形，在這座寶塔中隱藏著一個秘密，讓我們從塔尖上的算式開始算起，看看究竟是一個什么秘密。799 698959879 498769 3987659 29876549198765439 解：79988，6989888，難道所有的算式得數(shù)都是一連串8組成的嗎？再試試看：598798888。果然秘密被我們發(fā)現(xiàn)了，于是下面的算式不必計算，立即可以寫出它們的得數(shù)： 49876988888 3987659888888 29876549888888819876543988888888例2如果用22表示22，稱為2的平方；用32表示33，稱為3的平方

41、；先驗算下列算式是否正確，然后再根據(jù)算式的規(guī)律，在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(天津市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)22123，32225，42327，52429，242()()解：經(jīng)驗算，上面的算式完全正確。如果把算式變形為：22123, 32225, 42327, 52429，發(fā)現(xiàn)算式的規(guī)律是：相鄰兩個自然數(shù)的平方差等于這兩個自然數(shù)的和。于是得出應(yīng)有的填法：24223247。例3計算123199920001999321？解：為了找到算式的規(guī)律，先取一些比較小的加數(shù)做試驗：121412321912343211612345432125注意到422, 932, 1642, 2552。可以看出，算式中最大的加數(shù)的平方

42、就是要求的和。所以，原式20002200020004000000。例4某人買來一對小兔子，雌雄各一只，兩個月后，小兔子長成大兔子，生了一對小兔子，也是雌雄各一只。此后，一直是這樣，即，每對小兔子兩個月長成大兔子，生一對兔子，也都是雌雄各一只。而已經(jīng)長大的兔子每個月都生一對小兔子。那么，一年后這群兔子一共有多少對？解：邊逐月計算，邊找規(guī)律：第1個月：1對兔子；第2個月：上個月已有的1對兔子；第3個月：上個月已有的1對兔子，新生的1對小兔子(數(shù)量和兩個月前的兔子數(shù)相等)，共2對兔子；第4個月：上個月已有的2對兔子，新生的1小對兔子(數(shù)量和兩個月前的兔子數(shù)相等)，共3對兔子；第5個月：上個月已有的3

43、對兔子，新生的2對小兔子(數(shù)量和兩個月前的兔子數(shù)相等)，共5對兔子；根據(jù)上面的計算，總結(jié)出下面的規(guī)律：從第3個月開始，本月的兔子數(shù)上上個月的兔子數(shù)上個月的兔子數(shù)第6個月：358(對)；第7個月：5813(對)；第8個月：81321(對)；第9個月：132134(對)；第10個月：213455(對)；第11個月：345589(對)；第12個月：5589144(對)。第13個月：89144233(對)。所以，一年后這群兔子一共有多少對233對。練 習(xí) 八 1. 下面有兩個寶塔形的算式，只要你能做出每個塔尖上的三道題，再找找規(guī)律, 就一定能直接寫出下面六道題的得數(shù)。 11 34 1111 3334

44、111111 333334 11111111 33333334 1111111111 3333333334 111111111111 333333333334 11111111111111 33333333333334 1111111111111111 3333333333333334 111111111111111111 3333333333333333342在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)1002992()；(2)9876298752()；(3)892882()()()；(4)756432756422()()()。3邊計算，邊找規(guī)律，再按找到的規(guī)律計算。19192929393989891591

45、592349234998765432109987654321094計算12310321？5計算123100321？6有一個用黑珠子和白珠子穿成的珠環(huán)。珠子的直徑都是1厘米，兩粒珠子之間的間隔也是1厘米。已知白珠子的粒數(shù)為2、5、10、17、50，這串珠環(huán)的長度是多少厘米？(圖中只畫出了極少的一部分)7按照下圖的規(guī)律排列的一個數(shù)表，已經(jīng)寫出了它的前五行，求第七行所有各數(shù)的和是多少？(貴陽市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 18有一排算式：34, 410, 516, 622，問：按照這個規(guī)律，第10個加法算式是怎樣的？它的得數(shù)是多少？9把從1開始的自然數(shù)按

46、照下面的形式排列，試問：第20行最左邊的數(shù)是多少？第20行最右邊的數(shù)是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 101949、甲、乙、丙、1997是按規(guī)律排列的五個數(shù)，已知1997丙丙乙乙甲甲1949。問：其中甲、乙、丙各是多少？(長春市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)11下圖是一張黑白相間的方格紙，如果用記號(2,3)表示從上往下數(shù)第2行，從左往右數(shù)第3列的這一格，那么(18,7)這一格是黑色還是白色？12一只母雞生蛋很有規(guī)律，總是連著兩天每天生一個蛋，然后就要有一天不生蛋。已知2005年元旦這天沒生蛋，那么2005年全年會生多少個蛋？第九講 謎題(一)例1杭州有名的景點(diǎn)九溪十八洞，林木蔥蘢，泉水淙淙。曾有許多文人墨客在此留下了不少抒懷寫景的佳句。清朝末年，詩人俞曲園寫過一首膾炙人口的五言絕句：重重迭迭山，曲曲環(huán)環(huán)路；丁丁東東泉，高高下下樹。下面四道加法數(shù)謎題就是根據(jù)這首詩設(shè)計的。每