1、2013 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分. 每道小題均給出了代號為A，B， C，D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0 分）a 2b+ 3c 0ab+bc+ ca）1設(shè)非零實數(shù) a， b， c，滿足則22 2 的值為（2a 3b+ 4c0a +b +c1（ B） 0（ C）1（D ）1（ A ） 222已知 a， b， c 是實常數(shù)，關(guān)于x 的一元二次方程212ax +bx+c=0 有兩個非零實根x ， x ，則下列關(guān)于 x的一元二次方程中，以1 ，1 為兩個實根的是（）x2x21

2、2（ A ） c2x2+( b2 2ac)x+a2=0（ B） c2x2 (b2 2ac)x+a2=0（ C） c2x2 +(b2 2ac)xa2 =0（ D） c2x2 (b2 2ac)x a2=03如圖， 在 Rt ABC 中，已知 O 是斜邊 AB 的中點， CD AB，垂足為 D，DE OC，垂足為 E，若 AD ，DB ， CD 的長度都是有理數(shù)，則線段OD， OE， DE ， AC 的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）（ A ） OD（ B） OE（ C） DE（ D）AC4如圖，已知 ABC 的面積為24，點 D 在線段 AC 上，點 F 在線段 BC 的延長線上， 且 BC=4CF

3、，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）（ A ） 3（ B） 4（ C） 6（D ）83x3y+3 x2y2+xy3+455對于任意實數(shù)x，y， z，定義運算“ * ”為： xy =( x+1) 3+(y+1) 360，且 x y z=（xy） z ，則 2013 2012 32 的值為（）607（ B） 1821（ C） 5463（D ）16389（ A） 967967967967二、填空題（共5 小題，每小題 7 分，共 35 分）6設(shè) a= 3 3 ，b 是 a2 的小數(shù)部分，則(b+2) 3 的值為 _ 7如圖，點D ，E 分別是 ABC 的邊 AC，AB 上的點，直線BD

4、 與 CE 交于點 F，已知 CDF ， BFE ， BCF 的面積分別為 3， 4，5，則四邊形 AEFD 的面積是 _ 8已知正整數(shù)a， b， c 滿足 a+b2 2c 2=0， 3a2 8b+c=0 ，則 abc 的最大值為 _ 9實數(shù) a， b，c， d 滿足：一元二次方程x2+cx+d=0 的兩根為 a，b，一元二次方程x2 +ax+b=0 的兩根為c， d，則所有滿足條件的數(shù)組（a， b， c， d）為 _ 10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4 元，圓珠筆每支售7 元開始時他有鉛筆和圓珠筆共 350 支，當(dāng)天雖然筆沒有賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了

5、 _支圓珠筆AACDEEEDADOBBCFBC（第 3 題 )（第 4 題 )（第 7題 )三、解答題（共4 題，每題 20 分，共 80 分）11如圖，拋物線2 ，頂點為，該拋物線與x 軸交于，兩點，與y軸交于點C，且y=ax +bx3EAB1OB=OC=3OA，直線 y=3x2+1 與 y 軸交于點 D ，求 DBC CBE yDxAOBCE第 1 頁 共 5 頁12設(shè) ABC 的外心，垂心分別為O，H，若 B， C，H ，O 共圓，對于所有的ABC，求 BAC 所有可14如果將正整數(shù)M 放在正整數(shù)m 左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7 整除，那么稱M 為 m 的“魔術(shù)數(shù)” （例能的度數(shù)如，把 86

6、 放在 415 的左側(cè)，得到的數(shù)86415 能被 7 整除，所以稱86 為 415 的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1， a2， an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在 a1， a2，an 中都至少有一個為m 的魔術(shù)數(shù)13設(shè) a，b， c 是素數(shù)，記x=b+c a， y=c+a b，z=a+b c，當(dāng) z2=y，xy=2 時， a ， b ， c 能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論第 2 頁 共 5 頁2013 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1【答案】 A【解答】由已知得abc(2 a3b4c)(a2b3c)0 ，故 (abc) 20 于是ab bc ca1 (

7、a2b2c2 ) ，所以 abbcca1 2a2b2c222【答案】 B【解答】由于ax2bx c 0是關(guān)于x 的一元二次方程， 則a 0因為x1b，c ，x2x1 x2aa2222013 2012 L43m3m33 3m29m2745，3m33m23m164960于是 2013 2012L329 23932392229 23455463 1033360967二、填空題6【答案】 9【解答】 由于 1a2a23 ，故 ba22392 ，因此 (b2) 3( 3 9) 39 2047【答案】13且 x1x20，所以 c11(x1 x2 )2x1x2b 2ac1 1a，0 ，且x22x12 x22

8、c2，c2x12x12 x22于 是 根 據(jù) 方 程 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 ， 以 1， 1為 兩 個 實 根 的 一 元 二 次 方 程 是x12x22x2b22ac xa20 ，即 c2 x2( b22ac) xa20 c2c3【答案】 D【解答】 因 AD， DB ，CD 的長度都是有理數(shù)，所以，OA OBOC ADBD 是有理數(shù)于是， OD OA AD 是有理數(shù)2由 Rt DOE RtCOD ，知 OEOD 2DC DO， DEOC都是有（第 3 題）OC【解答】 如圖，連接AF，則有：S AEF4 = S AEFS BFEBFS BCFS AFDS AFDFDS CDFS AF

9、D3S AFDS CDFCFS BCFS AEFS AEFFES BEF108， S AFD96解得 S AEF1313所以，四邊形 AEFD 的面積是 204 138【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c2 0， 3a28b c5，35，4（第 7 題答題）0 消去 c，并整理得（第 3 題答題）22a 66 由 a 為正整數(shù)及 6a 2a 66，可得 1 a 3b 86a理數(shù)，而 AC AD AB 不一定是有理數(shù)4【答案】 C【解答】 因為 DCFE 是平行四邊形，所以DE /CF ，且 EF/DC 連接 CE ，因為 DE/CF，即 DE/BF，所以 S DEB = S DEC，

10、因此原來陰影部分的面積等于ACE 的面積連接 AF ，因為 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE = S ACF因為 BC4CF ，所以 SABC = 4S ACF故陰影部分的面積為65【答案】 C【解答】 設(shè) 2013 2012 L4m，則若 a1 ，則 b259 ，無正整數(shù)解；8若 a2，則 b240 ，無正整數(shù)解；8若 a3，則 b29 ，于是可解得 b11， b5 8（ i）若 b11，則 c61 ，從而可得 abc311612013；（ ii）若 b5 ，則 c13 ，從而可得 abc35 13195 綜上知 abc 的最大值為2013（第 4 題）9 【答案】 (1， 2，1

11、，2) ， (t，0，t，0) （ t 為任意實數(shù)）（第 4 題答題）第 3 頁 共 5 頁ab，cab，【解答】 由韋達定理得dcd，acdb由上式，可知 bacd 若 bd0 ，則 ad1， cb1，進而 bda c 2 bd若 bd0 ，則 ca ，有(a，bcd ) (t，0t，0) （ t 為任意實數(shù)） 經(jīng)檢驗，數(shù)組 (1，2，1， 2)與 (t，0， t，0)（ t 為任意實數(shù)）滿足條件10【答案】 2074x7 y 2013，【解答】 設(shè) x， y 分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則y 350，x所以 x2013 7 y(5032 y)y144，于是 y1 是整數(shù)又2013

12、4( xy)3y4 3503y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值為 207，此時 x141 三、解答題11y ax2bx 3，頂點為Ex 軸交于A如圖，拋物線，該拋物線與，B 兩點，與 y 軸交于點 C，且 OB OC 3OA直線 y1 x1與 y 軸交3于點 DBC 3 2 ， CE 2 ， BE 2 5 因為 BC 2 CE2 BE2，所以， BCE 為直角三角形，BCE 90因此 tanCBE = CE =1 又 tan DBO= OD1，則 DBOCBE CB3OB3所以，DBCCBEDBCDBOOBC45 12設(shè) ABC 的外心，垂心分別為 O，H ，若 B， C， H，O 共

13、圓，對于所有的 ABC ，求 BAC 所有可能的度數(shù)【解答】 分三種情況討論（ i）若 ABC 為銳角三角形因為BHC180A，BOC2 A ，所以由BHCBOC ，可得 180A2A ，于是A60 （第 12 題答題（ i）（第 12 題答題（ ii ）（ ii）若 ABC 為鈍角三角形當(dāng) A90 時，因為BHC180A， BOC2 180A ，所以由BHCBOC180，可得 3180A180 ，于是 A 120 。求 DBCCBE【解答】 將分別代入12當(dāng)A90 時，不妨假設(shè)B90 ，因為BHCA， BOC2 A ，x0yx 1， yaxbx3 知， D (0，所以由BHCBOC180，可

14、得 3 A180 ，于是 A 601) ，C(0， 3 )，3（ iii）若 ABC 為直角三角形所以 B(3， 0)， A(1， 0)直線 y1 x1過點 B（第 11 題）當(dāng)A90時，因為 O 為邊 BC 的中點， B，C，H， O 不可能共圓，3所以A 不可能等于 90 ；將點 C(0，3)的坐標(biāo)代入 y a( x1)( x3) ，得 a1當(dāng)A90 時，不妨假設(shè)B90 ，此時點 B 與 H 重合，于是總有 B，C，H，O 共圓，因此 A可以是滿足0A90 的所有角拋物線 yx22x 3 的頂點為 E (1， 4 )于是由勾股定理得綜上可得，A 所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120第 4頁

15、 共 5 頁（第 11 題答題）13設(shè) a ， b ， c 是素數(shù)，記xbca， ycab， zabc，當(dāng) z2y,xy2時， a ， b ， c 能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論【解答】 不能1z)， b1( xz)，c1y) 依題意，得 a( y2( x22因為 y z2 ，所以 a1 ( yz)1 ( z2z)z( z1)222又由于 z為整數(shù)， a 為素數(shù)，所以z2 或3， a3 當(dāng) z2 時， yz24， x(y2)216 進而， b9 ， c10 ，與 b ， c 是素數(shù)矛盾；當(dāng) z3 時， abc0，所以 a ， b ， c 不能構(gòu)成三角形的三邊長14如果將正整數(shù)M 放在正整數(shù)m 左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7 整除，那么稱M 為 m 的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86 放在 415 的左側(cè)，得到的數(shù)86415 能被 7 整除，所以稱86 為 415 的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值， 使得存在互不相同的正整數(shù)a1， a2， ， an ，滿足對任意一個正整數(shù)m，在 a1， a2， ， an中都至少有一個為m 的魔術(shù)數(shù)【解答】 若 n 6，取 m1， 2， 7，根據(jù)抽屜原理知，必有a1， a2， ， an 中的一個正整數(shù) M 是 i，j (1 i j 7 ) 的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|(10Mi )，7|(10Mj )則有 7|( ji )，但0