1、一、填空 (每小題 3分 ,共 15 分 )1.設(shè) zlnxy，則 xzyz1.xy22. 已知f x2y2z2 dvR(r )dr ，則 (r )4 r2 f ( r 2 ).0x2y2z2R23.已知Ly cos xdxa sin xdy 在整個 xOy 面內(nèi)與路徑無關(guān) , 則 a1 .4.設(shè) f x是以2為周期的函數(shù) ,它在區(qū)間 (, 上的表達式為f0,x 0x0,1,x則 fx 的傅里葉系數(shù)中b32.3二、選擇 (每小題 3分 ,共 15 分 )xy,( x,y)(0,0)1二元函數(shù)f (x, y)x 2y 2在點（ 0,0）處 (C ).0,(x,y)(0,0)(A)連續(xù)，偏導(dǎo)存在；

2、(B)連續(xù)，偏導(dǎo)不存在；(C)不連續(xù)，偏導(dǎo)存在；(D) 不連續(xù)，偏導(dǎo)不存在 .2.函數(shù) uln x2y2z2 在點 M(1,2, - 2)處正確的是（B） .3.設(shè) D1是以原點為中心1為邊長的正方形, D2 是 D1的內(nèi)切圓 , D3是 D1的外接圓 , 記I1e x2dxdy; I 2ex2dxdy; I 3e x2dxdy. 則 I 1 , I2 , I 3 的大小順序為 (B ) .D1D2D34.級數(shù)u n 在滿足條件 ( B )時 , 一定是收斂 .n 1A lim un0 ;Bun收斂 ;C1 收斂 ;Du2n 收斂 .nn1n 1 unn1三、計算下列各題( 每小題6 分 ,

3、共 12 分 )1 設(shè) z1f ( xy)y( xy), f ,具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求2 z .xxy解z1()y()()2.xx 2fxyx fxyyx y在曲面 zxy 上求一點，使這點的法線垂直于平面x3yz90 ，并寫出這條法線的方程 .解設(shè)所求點為 ( x 0 , y0 , z0 ) ，則過曲面 zxy 上點 ( x0 , y 0 , z0 ) 的法線的方向向量為y 0 , x0 ,1.由已知y0x01，得 x 03, y01, z03 .131過曲面上點( x 0 , y0 , z0 ) 的法線方程為四、 (6 分 )求由旋轉(zhuǎn)拋物面z6 x2y2 ，平面 y0, z0, x1及 yx

4、 所圍成的立體對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量（設(shè)體密度 =1） .解設(shè)是由旋轉(zhuǎn)拋物面z6x 2y2 ，平面 y0, z0, x1及 yx 所圍成的區(qū)域 .五、計算下列積分( 每小題6 分 , 共 24 分 )1.1 dx1 x2e y2 dy .0x解1dx1 x2e y2 dy1dyy x2e y2 dx0x002.yds,其中 L 是拋物線 y24x上介于點 O0,0 與點 B 1,2之間的一段弧 .L解yds14x11dxL0x3.ydxxdy 其中 L 為一條無重點、 分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L 的方向為逆Lx2y2時針方向 .解令Py, Qx.則當 x2y20 時，有Py 2x 2Qx

5、 2y 2x 2y 2yx 2y 2x記 L 所圍成的區(qū)域為D.當(0,0)D 時，ydxxdy0Lx2y2當 (0,0)D 時，記 L1 : x2y 2r 2 , 其中 L1 包含在 L 內(nèi)，并取其順時針方向 .4.xdydzydzdx zdxdy, 其中是球面 x2y2z2a 2 的外側(cè) .x2y223z解xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy2 3a3x2y2z六、 (7分)討論級數(shù)1是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散?n1 an n1解當 a1 時，由于 nlima n1 (n1)11，所以級數(shù)1絕對收斂 .1an1 anna n n當 a1 時，級數(shù)1 發(fā)散 .n1 n當 a1時，級數(shù)(1)n條件收斂 .n 1n1當 0a1 時，由于liman1 (n1)11，所以 lim10 級數(shù)1 發(fā)散 .n1annnn 1nnaaa n n七、 (7分) 將函數(shù) ln2x 展開成 x 的冪級數(shù) , 并求其收斂區(qū)間 .1111( 1)n xn解ln 2 xx2x212 n 022收斂區(qū)間為： ( 2,2 .八、 (6分) 求微分方程 2xydxx 2y 2 dy 的通解 .2yu 3dyxy ，