1、工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1數(shù)學(xué)建模作業(yè)11 貸款問(wèn)題小王夫婦計(jì)劃貸款 20 萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一套房子，他們打算用 20年的時(shí)間還清貸款。目前，銀行的利率是 0.6%/月。他們采用等額還款的方式 (即每月的還款額相同 ) 償還貸款。(1)在上述條件下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計(jì)付了多少利息？(2)在貸款滿 5 年后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)诘?6 年初，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)， 才能將余下全部的貸款還清？(3)如果在第 6 年初，銀行的貸款利率由 0.6%/月調(diào)到 0.8%/月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~還款的方式，在余下的 15 年內(nèi)將貸款還清，那么在第 6 年后，每月的還款額應(yīng)是

2、多少？(4)某借貸公司的廣告稱，對(duì)于貸款期在 20 年以上的客戶，他們幫你提前三年還清貸款。但條件是 :(i)每半個(gè)月付款一次， 但付款額不增加， 即一次付款額是原付給銀行還款額的 1/2；(ii) 因?yàn)樵黾颖匾臋n案、文書(shū)等管理工作，因此要預(yù)付給借貸公司貸款總額 10%的傭金。試分析，小王夫婦是否要請(qǐng)這家借貸公司幫助還款。解：（ 1） 貸款 20 萬(wàn)元，還款總期數(shù)為 20 年=240 月。設(shè)：每月月供 M 萬(wàn)元，月利率為 v=0.006，每月欠銀行房款為Q ；于是有Q0 =20Q240 =0第 n 個(gè)月后欠銀行的錢(qián)為Qn ， n240第一個(gè)月后欠銀行的錢(qián)為：Q1 = Q0 (1+v)-M設(shè)為

3、 A 式第 n+1 個(gè)月后欠銀行的錢(qián)為：Q n=Q n1 (1+v)-M設(shè)為 B 式由 A 、B 式可推得：Q n= Q0 (1+v)nM (1+v) n-1 /v第 240 月還清Q240 =0于是有M=Q0 (1+v)n/(1+v) n-1/v代入 v 和 n 的值M= Q0 (1+0.006)240/(1+0.006) 240-1/ 0.006工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1M=0.157470 萬(wàn)元 =1574.70 元共付利息 =M 240-20=0.15747 240-20=17.792766萬(wàn)元（2） 根據(jù)房貸公式Q n= Q0 (1+v)n M (1+v) n-1 /v五年后月數(shù)為 n=60小王

4、夫婦欠銀行的錢(qián)為：Q 60Q 60 =20(1+v)60-0.157470(1+v)60-1/v6060=20(1+0.006) -0.157470(1+0.006) -1/ 0.006第六年初，還欠銀行17.303481 萬(wàn)元。（ 3） 第六年初，還欠銀行 17.303481 萬(wàn)元月利率 0.6% 變?yōu)樵吕蕿?.8%此時(shí) Q0 =17.303481 萬(wàn)元，月利率 v=0.008，還款 15 年 12=180 月且 Q180 =0根據(jù)房貸公式 Q n = Q0 (1+v)nM (1+v) n-1 /v M= Q0 (1+v)n/(1+v) n-1/v每月還款 M =17.303481(1+0

5、.008)180/(1+0.008)180-1/0.008每月還款 M=0.181733 萬(wàn)元 =181733 元（4） 根據(jù)題意，自己還款小王夫婦最后本息支付銀行總金額 M 240=0.15747 240=37.792766萬(wàn)元，請(qǐng)借貸公司幫助還款，可提前三年還清，支付貸公司數(shù)為 0.1574712 17=32.12388萬(wàn)元再加上支付給借貸公司2010%=2 萬(wàn)元的傭金，總支付 34.12388 萬(wàn)元。小于自己還款總金額。所以小王夫婦請(qǐng)借貸公司幫助還款比較合算一些。2. 冷卻定律與破案按照 Newton 冷卻定律，溫度為 T 的物體在溫度為 To (ToT)的環(huán)境中冷卻的速度與溫差 T-T

6、o 成正比。你能用該定律確定張某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于晚上 7 時(shí) 30 分發(fā)現(xiàn)一具女尸，當(dāng)晚 8 時(shí) 20 分法醫(yī)測(cè)得尸體溫度為 32.6 ,一小時(shí)后，尸體被抬走時(shí)又測(cè)得尸體溫度為 31.4,，已知室溫在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)均為 21.1,由案情分析得知張某是此案的主要犯罪嫌疑人，但張某矢口否認(rèn)，并有證人說(shuō) :“下午張某一直在辦公室，下午 5 時(shí)打一個(gè)電話后才離開(kāi)辦公室”。從辦公室到案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)步行需要 5 分鐘，問(wèn)張某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解：知識(shí)一：根據(jù)一般常識(shí)人體正常體溫平均在 36 37之間，在一天的生物工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1節(jié)律中，清晨 25 時(shí)體溫最低，下午 5 7 時(shí)最高，

7、男、女的體溫也有不同，女子體溫一般比男子約高 0.3 。知識(shí)二：牛頓冷卻定律 （Newtons law of cooling)：溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律。當(dāng)物體表面與周圍存在溫度差時(shí)，單位時(shí)間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比，比例系數(shù)稱為熱傳遞系數(shù)。因而假定該女子遇害前體溫為36.8。設(shè)：被害人體溫為 T，t 時(shí)刻的體溫為 Tt散熱系數(shù)為 k，室內(nèi)溫度為 T0dTT0 )冷卻速度的微分方程為k (TdtT(t)T0CektT0=21.1t 時(shí)刻的體溫為晚上 8 時(shí) 20 分為 t=0時(shí)刻， T(0)=21.1+Cek0 = 32.6，晚上 9 時(shí) 20

8、分為 t=1時(shí)刻T（1）=21.1+Cek1=31.4，C=11.5, k=ln10.3- ln11.5 -0.11T(t ) T0 Cekt帶入到公式T(t )21.1 11.5e-0.11t設(shè)女子遇害前體溫為36.8，代入后有36.8= 21.1 11.5e-0 .11t代入后解得 t=-2.89由于 8 時(shí) 20 分為 t=0 時(shí)刻 8 時(shí) 20 分-2.895.445 時(shí) 27 分由此可判斷該女子遇害時(shí)間在 5 時(shí) 27 分左右。嫌疑人下午 5 時(shí)在辦公室，步行5 分鐘可到現(xiàn)場(chǎng)，有作案的時(shí)間故不能排除張某在犯罪嫌疑之外。4 鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問(wèn)題(1)某人早 8 時(shí)從山下旅店

9、出發(fā)沿一條山路上山，下午 5 時(shí)到達(dá)山頂并留宿，次日 8 時(shí)沿同一路徑下山， 下午 5 時(shí)回到旅店。該人必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路釋中的同一地點(diǎn)，為什么？(2)甲乙兩站之間有汽車相通，每隔 10 分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)刻不一定相同， 甲乙兩站之間有一中間站丙， 某人每天在隨機(jī)時(shí)刻到達(dá)丙站， 并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車。 結(jié)果發(fā)現(xiàn) 100 天中約有 90 天到達(dá)甲站， 大約 10 天到達(dá)乙站。問(wèn)開(kāi)往甲乙兩站的汽車經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表是如何安徘的？(3)張先生家住在 A 市，在 B 市工作，每天下班后他乘城際火車于18:00 抵達(dá) A 市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家。一日他提前下班，

10、乘早一班火車于 17:30 抵達(dá) A 市火車站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車前來(lái)，在半路相遇將他接回家。到家時(shí)張先生發(fā)現(xiàn)比往常提前了10 分鐘，問(wèn)張先生步行了多長(zhǎng)時(shí)間？(4)一男孩和一女孩分別在距家2 公里和 1 公里且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1每天同時(shí)放學(xué)后分別以每小時(shí) 4 公里和每小時(shí) 2 公里的速度步行回家。 一小狗以每小時(shí) 6 公里的速度由男孩處奔向女孩， 又從女孩處奔向男孩， 如此往返直至回到家中。問(wèn)小狗奔波了多少路程。 如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)， 小狗也往返奔波在他們中間，問(wèn)當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？解：（1）以旅店為原點(diǎn)，做 y 軸，早 8 點(diǎn)為原點(diǎn)做 x 軸，則

11、第一天時(shí)間、位移距離形成一個(gè)三角形， 第二天時(shí)間、 位移距離也形成一個(gè)三角形， 兩天三角形距離邊必有一個(gè)交點(diǎn)， 而這個(gè)交點(diǎn)時(shí)間坐標(biāo)是一致的， 所以表明在該交點(diǎn)處兩天同一時(shí)刻走過(guò)同一地點(diǎn)。（2），這個(gè)人是搭乘先到達(dá)丙站的汽車， 坐乙站發(fā)車的概率為甲的九倍。 隨機(jī)的到達(dá)丙站有 90 天到達(dá)甲站， 10 天到達(dá)乙站，即 90%的時(shí)間內(nèi)乙站開(kāi)出的車輛先到達(dá)丙站，兩個(gè)站的發(fā)車時(shí)間間隔均為 10 分鐘，說(shuō)明乙站發(fā)出的車比站發(fā)出的車早 1 分鐘。這樣在 10 分鐘內(nèi)，只有 1 分鐘是甲站 發(fā)車早于乙站發(fā)車。（3）以往是坐車回家， 顧以開(kāi)車為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間， 張先生當(dāng)天提前 10 分鐘到家，說(shuō)明少開(kāi)車 10 分

12、鐘，并在半路將他接回家，假定張先生妻子所駕駛的勻速行駛，那么實(shí)際上張先生走路的時(shí)間為 5 分鐘車程。即兩人相遇時(shí)間為 17:55，張先生走路的時(shí)間為 25 分鐘。（ 4） 男孩和女孩 回家時(shí)間為 0.5 小時(shí)，小狗時(shí)速 6 公里，總奔跑的路程為 0.5 6=3 公里；上學(xué)時(shí)間仍為 0.5 小時(shí)，小狗時(shí)速 6 公里，總奔跑的路程為 0.5 6=3公里。孩子到學(xué)校上學(xué)時(shí)小狗的最終位置不確定。3 公平投票問(wèn)題某部門(mén)推出一專項(xiàng)基金目的在于培養(yǎng)優(yōu)秀人才， 根據(jù)評(píng)比結(jié)果來(lái)確定資助的額度。許多單位的優(yōu)秀者都申請(qǐng)了該基金， 于是該基金的委員會(huì)聘請(qǐng)了數(shù)名專家，按照如下規(guī)則講行評(píng)比。(1)為了公平性，評(píng)委對(duì)本單位

13、選手不給分；(2)每位評(píng)委對(duì)每位參與申請(qǐng)的人 (除本單位選手外 )都必須打分，且不打相同的分；(3)評(píng)委打分方法為給參加申請(qǐng)的人排序，根據(jù)優(yōu)劣分別記 1 分、 2 分、 依次類推。(4)評(píng)判結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從低到高排序，依次確定本次評(píng)比的名次，即平均分最低者獲得資助最高，依次類推。本次基金申請(qǐng)中， 甲所在單位有一名評(píng)委， 這位評(píng)委將不參加對(duì)選手甲的評(píng)判，其它選手沒(méi)有類似情。 評(píng)審結(jié)束后選手甲覺(jué)得這種評(píng)比規(guī)則對(duì)他不公平。 問(wèn)選手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正來(lái)解決選手甲的抱怨？解：甲單位選手的抱怨是有道理的，其他選手得分為（ a1+a2+an）/n，甲單位選手的得分為 （ a1+a2