1、第7課時 一元二次方程根與系數(shù)的關系（2）一、學習目標1已知一元二次方程兩根的關系求參數(shù)的取值范圍；2已知一元二次方程兩根的關系會求參數(shù)；3會求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值.二、知識回顧1一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 一元二次方程的求根公式是什么？ （）3. 判別式與一元二次方程根的情況：是一元二次方程的根的判別式，設，則（1）當時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，原方程沒有實數(shù)根.4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根x1，x2與系數(shù)a,b,c的關系是什么？ ，三、新知講解幾種常見的求值：1.2.3.4.5.6.四

2、、典例探究1已知一元二次方程兩根的關系求參數(shù)或參數(shù)的范圍【例1】已知關于x的方程設方程的兩個根為x1,x2，若求k的取值范圍.總結(jié)：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實數(shù)根，則有這是著名的韋達定理.已知一元二次方程兩根x1，x2的不等關系求原方程中的字母參數(shù)時，一般考慮韋達定理和根的判別式，尤其是根的判別式不要忘記，這是保證方程有根的基本條件.練1已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0的兩個實數(shù)根，且x1，x2滿足x1x2x12x220，求k的取值范圍.【例2】（2015丹江口市一模）已知關于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1

3、）當m取何值時，方程有兩個實數(shù)根？（2）設x1、x2是方程的兩根，且（x1x2）2x1x2=26，求m的值總結(jié)：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的情況與判別式的關系如下：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）兩實數(shù)根x1，x2又有如下關系：，所以已知關于x1，x2的關系等式可以求原方程中的字母參數(shù).3. 注意使用的前提是原方程有根，所以必須保證判別式0.練2（2015廣水市模擬）已知x1、x2是一元二次方程2x22x+m+1=0的兩個實數(shù)根（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）如果x1、

4、x2滿足不等式7+4x1x2x12+x22，且m為負整數(shù)，求出m的值，并解出方程的根3根據(jù)一元二次方程求含兩根的代數(shù)式的值【例3】（2015大慶）已知實數(shù)a，b是方程x2x1=0的兩根，求+的值總結(jié)：在應用一元二次方程的根與系數(shù)的關系解題時，先要把一元二次方程化為它的一般形式，以便確定各項的系數(shù)和常數(shù)的值.注意中兩根之和、兩根之積的符號，即和是，積是，不要記混.如果待求式中沒有出現(xiàn)兩根之和或兩根之積的形式，注意適當變形.常見變形如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）練3（2015合肥校級自主招生）已知：關于x的方程x2+2xk=0有兩個不相等的實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）若，是這個方

5、程的兩個實數(shù)根，求的值.五、課后小測一、選擇題1.（2011江蘇南通，7，3分）已知3是關于x的方程x25xc0的一個根，則這個方程的另一個根是2b. 2c. 5d. 62. （2011湖北荊州，9，3分）關于的方程有兩個不相等的實根、，且有，則的值是a1b1c1或1d23.（2013四川瀘州）設是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（） a5 b5 c1 d1二、填空題4（2015瀘州）設x1、x2是一元二次方程x25x1=0的兩實數(shù)根，則x12+x22的值為_5（2013貴州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是 6.（2015日照）如果m，

6、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=3，那么代數(shù)式2n2mn+2m+2015=_三、解答題7（2015梅州）已知關于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根8. 已知，關于x的方程的兩個實數(shù)根、滿足，求實數(shù)的值.9（2015南充）已知關于x的一元二次方程（x1）（x4）=p2，p為實數(shù)（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）p為何值時，方程有整數(shù)解（直接寫出三個，不需說明理由）10（2015華師一附中自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的兩根（1）求（m+5）的值（2）求+的

7、值11（2015孝感校級模擬）已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由12（2014廣東模擬）已知關于x的方程x22（k1）x+k2=0有兩個實數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）求證：x1+x2=2（k1），；（3）求（x11）（x21）的最小值13.（2010黃州區(qū)校級自主招生）已知方程x22x+m+2=0的兩實根x1，x2滿足|x1|+|x2|3，試求m的取值范圍14.（2015黃岡中學自主招生）已知關于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有兩個正整數(shù)根

8、（m是正整數(shù)）abc的三邊a、b、c滿足，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0求：（1）m的值；（2）abc的面積典例探究答案：【例1】分析：先考慮判別式0，根據(jù)題意得，這說明k取任意實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關系得x1+x2=3k，x1x2=-6，代入即可求得k的取值范圍.解：根據(jù)題意，得，所以k為任意實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.x1+x2=3k，x1x2=-6，且，解得k-1.綜上，k的取值范圍是 k-1.點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系.注意：對于含參數(shù)的一元二次方程，已知兩根關系求參數(shù)的范圍時，除了用到韋達定理之外，還要考慮根的判別式.練1

9、【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，變形后代入即可得出關于k的不等式，求出不等式的解集即可解：關于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2，x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，x1x2x12x220成立，x1x2（x12+x22）0，即x1x2（x1+x2）22x1x20，k2+2k（2k+1）22（2k+1）0，k或k1.點評：本題考查了根與系數(shù)的關系的應用，解此題的關鍵是能得出關于k的不等式【例2】【解析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到4（m+1）24（m23）0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)

10、的關系得x1+x2=2（m+1），x1x2=m23，代入（x1x2）2x1x2=26，計算即可求解解：（1）根據(jù)題意，得=4（m+1）24（m23）0，解得m2；（2）當m2時，x1+x2=2（m+1），x1x2=m23則（x1x2）2x1x2=（x1+x2）25x1x2=2（m+1）25（m23）=26，即m28m+7=0，解得m1=12，m2=72，所以m1=1，m2=7點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程根的判別式練2【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到=（2）242（m1）0，然后解不等式；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=1，x1x2=，把7+4x1x2x

11、12+x22變形得7+6x1x2（x1+x2）2，所以7+61，解得m3，于是得到m的取值范圍3m，由于m為負整數(shù)，所以m=2或m=1，然后把m的值分別代入原方程，再解方程解：（1）根據(jù)題意得=（2）242（m1）0，解得m；（2）根據(jù)題意得x1+x2=1，x1x2=，7+4x1x2x12+x22，7+6x1x2（x1+x2）2，7+61，解得m3，3m，m為負整數(shù)，m=2或m=1，當m=2時，方程變形為2x22x1=0，解得x1=，x2=；當m=1時，方程變形為x2x=0，解得x1=1，x2=0點評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關系：

12、當0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當0時，方程無實數(shù)根也考查了根與系數(shù)的關系【例3】【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=1，ab=1，再利用完全平方公式變形得到+=，然后利用整體代入的方法進行計算解：實數(shù)a，b是方程x2x1=0的兩根，a+b=1，ab=1，+=3點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=練3【解析】（1）由方程x2+2xk=0有兩個不相等的實數(shù)根，可以求出0，由此可求出k的取值范圍；（2）欲求的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即

13、可解：（1）=4+4k，方程有兩個不等實根，0，即4+4k0k1（2）由根與系數(shù)關系可知+=2，=k，=，點評：將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法課后小測答案：一、選擇題1. b2. b3.【解析】由已知得x1+x23，x1x23，則原式5故選b點評：本題著重考查一元二次方程根與系數(shù)關系的應用，同時也考查了代數(shù)式變形、求值的方法二、填空題4【解析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關系求出x1+x2=5，x1x2=1，然后把x12+x22轉(zhuǎn)化為x12+x22=（x1+x2）22x1x2，最后整體代值計算解：x1、x2是一元二次方程x25x1=0的兩實數(shù)根，x1+x2=5，x1x2=

14、1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=25+2=27，故答案為：27點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關系的知識，解答本題的關鍵是掌握一元二次方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關系，此題難度不大5. 【解析】將x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代數(shù)式的值即可解：x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，12+a+b=0，a+b=1，a2+b2+2ab=（a+b）2=（1）2=1故答案為：1點評：此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程即可求得代數(shù)式的值6.【解析】由于m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=

15、3，可知m，n是x2x3=0的兩個不相等的實數(shù)根則根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n=2，mn=3，又n2=n+3，利用它們可以化簡2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值解：由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=3，所以m，n是x2x3=0的兩個不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n=1，mn=3，又n2=n+3，則2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021=21（3）+202

16、1=2+3+2021=2026故答案為：2026點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題關鍵是把所求代數(shù)式化成兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關系式求值三、解答題7【解析】（1）關于x的方程x22x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式=b24ac0即可得到關于a的不等式，從而求得a的范圍（2）設方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關系列出方程組，求出a的值和方程的另一根解：（1）b24ac=（2）241（a2）=124a0，解得：a3a的取值范圍是a3；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系得：，解得：，則a的值是1，該方程的另一根為3點評：本題考查了一元二次方程根的

17、判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根8.【解析】：先把原方程變形，得到一個一元二次方程的形式，利用已知條件，兩根或是相等，或是互為相反的數(shù)，從而找到關于m的方程，從而得到m的值，但前提條件是方程得有實數(shù)根.解：原方程可變形為：. 、是方程的兩個根，0,即：4（m +1）2-4m20, 8m+40, m.又、滿足,=或=- , 即=0或+=0, 由=0,即8m+4=0,得m=.由+=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合題意，舍去)所以,當時，m的值為. 點評：本題是考查一元二次方程有根的情況

18、求字母的值.首先在保證方程有實數(shù)的前提下，再利用兩根之間的關系找到含有字母的方程，從而得到字母的值.9【解析】（1）要證明方程總有兩個不相等的實數(shù)根，那么只要證明0即可；（2）要是方程有整數(shù)解，那么x1x2=4p2為整數(shù)即可，于是求得當p=0，1時，方程有整數(shù)解解；（1）原方程可化為x25x+4p2=0，=（5）24（4p2）=4p2+90，不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有整數(shù)解，x1x2=4p2為整數(shù)即可，當p=0，1時，方程有整數(shù)解點評：本題考查了一元二次方程的根的情況，判別式的符號，把求未知系數(shù)的范圍的問題轉(zhuǎn)化為解不等式的問題是解題的關鍵10【解析】（1）首先求

19、出m和n的值，進而判斷出m和n均小于0，然后進行分式的化簡，最后整體代入求值；（2）根據(jù)m和n小于0化簡+為（），然后根據(jù)m+n=3，mn=1整體代值計算解：（1）m，n是方程x2+3x+1=0的兩根，m=，n=，mn0，原式=62m=m，n是方程x2+3x+1=0的兩根，m2+3m+1=0，原式=0；（2）m0，n0，+=mn=+=（），m+n=3，mn=1，原式=92=7點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關系、分式的化簡求值以及代數(shù)求值等知識，解答本題的關鍵是能求出m和n的判斷出m和n均小于0，此題難度一般11【解析】由x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，可得x1

20、+x2=，x1x2=，=（2a）24a（a6）=24a0，又由x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值解：存在x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，x1+x2=，x1x2=，=（2a）24a（a6）=24a0，a0，x1+x1x2=4+x2，x1x2=4+x2+x1，即=4，解得：a=24點評：此題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式此題難度適中，注意掌握若二次項系數(shù)不為1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=12【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到=2（k1）241k20，然后解不等式即可；（2）利用求根公式得到x1=

21、k1+，x2=k1，然后分別計算x1+x2，x1x2的值即可；（3）利用（2）中的結(jié)論得到（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=k22（k1）+1，然后利用配方法確定代數(shù)式的最小值（1）解：依題意得=2（k1）241k20，解得k；（2）證明：=48k，x=，x1=k1+，x2=k1x1+x2=k1+k1=2（k1）；x1x2=（k1+）（k1）=（k1）2（）2=k2；（3）解：（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=k22（k1）+1=（k1）2+2，（k1）20，（k1）2+22，（x11）（x21）的最小值為2點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=也考查了根的判別式13.【解析】由于方程x22x+m+2=0的有實根，由此利用判別式可以得到m的一個取值范圍，然后利用根與系數(shù)的關系討論|x1|+|x2|3就又可以得到m的取值范圍，最后取它們的公共部分即可求出m的取值范圍解：根據(jù)題意可得=b24ac=441（m+2）0，解得m1，而x1+x2=2，x1x2=m+2，當m2時，x1、x2異號，設x1為正，x2為負時，x1x2=m+20，|x1|+|x2|=x1x2=3，m，而m2，m2；