1、第五章 微分方程模型,5.1 傳染病模型 5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除 5.5 香煙過(guò)濾嘴的作用 5.6 人口預(yù)測(cè)和控制 5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失 5.8 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn),動(dòng)態(tài)模型,描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程.,分析對(duì)象特征的變化規(guī)律.,預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài).,研究控制對(duì)象特征的手段.,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).,微分方程建模,根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè).,按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.,5.1 傳染病模型,描述傳染病的傳播過(guò)程.,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻.,預(yù)防傳染病蔓延的手

2、段.,不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.,背景 與 問(wèn)題,傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、),基本方法,已感染人數(shù) (病人) i(t),每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加,建模,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為 .,2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使接觸的健康人致病.,建模, 日 接觸率,SI 模型,模型2,tm傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻, (日接觸率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型

3、3,傳染病無(wú)免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.,增加假設(shè),SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為, 日治愈率,建模, 日接觸率,1/ 感染期, 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).,模型3,接觸數(shù) =1 閾值,感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過(guò)原有的病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例, 1, i0 1-1/,接觸數(shù) (感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)),模型4,傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 .,2）病人的日接觸率 , 日治愈率, 接觸數(shù) = / ,建

4、模,需建立 的兩個(gè)方程.,模型4,SIR模型,先做數(shù)值計(jì)算, 再在相平面上研究解析解性質(zhì),(通常r(0)=r0很小),模型4,SIR模型的數(shù)值解,i(t)從初值增長(zhǎng)到最大; t, i0.,s(t)單調(diào)減; t, s0.04.,設(shè)=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用MATLAB計(jì)算作圖i(t), s(t)及i(s),模型4,SIR模型的相軌線分析,相軌線 的定義域,在D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析,模型4,SIR模型,相軌線 及其分析,s(t)單調(diào)減相軌線的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)單調(diào)降至0,1/閾值,模型4,SIR模型,預(yù)防

5、傳染病蔓延的手段, (日接觸率) 衛(wèi)生水平,(日治愈率) 醫(yī)療水平,傳染病不蔓延的條件s01/, 的估計(jì),降低 s0,提高 r0,提高閾值 1/,模型4,預(yù)防傳染病蔓延的手段,降低日接觸率,提高日治愈率,提高移出比例r0,以最終未感染比例s和病人比例最大值im為度量指標(biāo)., , ,s0 (r0 ),模型4,SIR模型,被傳染人數(shù)的估計(jì),記被傳染人數(shù)比例, 小, s0 1,提高閾值1/,s0 - 1/ = ,傳染病模型,模型1,模型2 (SI),模型3 (SIS),模型4 (SIR),模型3, 4: 描述傳播過(guò)程, 分析變化規(guī)律, 預(yù)報(bào)高潮時(shí)刻, 預(yù)防蔓延手段.,模型4: 數(shù)值計(jì)算與理論分析相結(jié)

6、合.,5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型,增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì),增加投資,增加勞動(dòng)力,提高技術(shù),建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系.,研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大.,調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng).,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),產(chǎn)值 Q(t),F為待定函數(shù),資金 K(t),勞動(dòng)力 L(t),技術(shù) f(t),= f0 (常數(shù)),模型假設(shè),靜態(tài)模型,每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值,每個(gè)勞動(dòng)力的投資,z 隨著 y 的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減,1. Douglas生產(chǎn)函數(shù),解釋含義？,Douglas生產(chǎn)函數(shù),產(chǎn)值Q, 資金K, 勞動(dòng)力L, 技術(shù)f0, 資金在產(chǎn)值中的份額,1- 勞動(dòng)力在產(chǎn)

7、值中的份額,更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),1. Douglas生產(chǎn)函數(shù),單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值,單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值,w , r , K/L ,求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金) ，使效益S最大.,資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益,資金來(lái)自貸款，利率 r,勞動(dòng)力付工資 w,2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）,3) 經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)的條件 (動(dòng)態(tài)模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長(zhǎng), K(t), L(t)應(yīng)滿足的條件,模型假設(shè),投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比 (用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)),勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù),Bernoulli方程,3) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件

8、,產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng),3) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件, 勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率,每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng),3) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件,5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng).,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱.,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加.,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān).,建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題提供了可借鑒的示例.,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型.,一般模型,每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力.,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t).,f, g 取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型,

9、x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假設(shè),模型,正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力,雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒(méi)有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,a=ry py, ry 射擊率， py 命中率,正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型,為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關(guān)系.,平方律 模型,游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型,雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,c = ry py ry射擊率 py 命中率,游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型,線性律 模型,混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型,甲方為游擊

10、部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì),乙方必須10倍于甲方的兵力!,設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除,藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量).,血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計(jì).,藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程 藥物動(dòng)力學(xué).,建立房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟.,房室機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移.,本節(jié)討論二室模型中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等).,模型假設(shè),中心室(1)和周邊室(2),容積不變.,藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率

11、與該室血藥濃度成正比.,藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移, 從中心室排出體外.,模型建立,線性常系數(shù)非齊次方程,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,模型建立,幾種常見(jiàn)的給藥方式,1.快速靜脈注射,t=0 瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1,給藥速率 f0(t) 和初始條件,2.恒速靜脈滴注,t T, c1(t)和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零,0t T 藥物以速率k0進(jìn)入中心室,3.口服或肌肉注射,相當(dāng)于藥物( 劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室.,吸收室藥量x0(t),參數(shù)估計(jì),各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2,t

12、=0快速靜脈注射D0 ,在ti(i=1,2,n)測(cè)得c1(ti),由較大的 用最小二乘法定A,由較小的 用最小二乘法定B,參數(shù)估計(jì),建立房室模型,研究體內(nèi)血藥濃度變化過(guò)程,確定轉(zhuǎn)移速率、排除速率等參數(shù),為制訂給藥方案提供依據(jù).,機(jī)理分析確定模型形式，測(cè)試分析估計(jì)模型參數(shù).,藥物在體內(nèi)的分布與排除,房室模型：,一室模型,二室模型,多室模型,非線性(一室)模型,c1較小時(shí)近似于線性 一級(jí)排除過(guò)程,如,c1較大時(shí)近似于常數(shù) 零級(jí)排除過(guò)程,過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系?,人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中什么因素影響大，什么因素影響小?,模型分析,分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過(guò)程，建立吸煙過(guò)程

13、的數(shù)學(xué)模型.,設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個(gè)過(guò)程中不變.,問(wèn)題,5.5 香煙過(guò)濾嘴的作用,模型假設(shè),定性分析,1）l1煙草長(zhǎng)， l2過(guò)濾嘴長(zhǎng)， l = l1+ l2， 毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1 .,2）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a:a, a+a=1.,3）未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和 .,4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u， v u.,Q 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量,模型建立,t=0, x=0，點(diǎn)燃香煙,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(

14、x),流量守恒,t 時(shí)刻，香煙燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),考察t內(nèi)毒物密度的增量,(單位長(zhǎng)度煙霧毒物被吸收部分),4) 計(jì)算 Q,Q 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量,結(jié)果分析,煙草為什么有作用?,1）Q與a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 處的吸入量,2) 過(guò)濾嘴因素，, l2 負(fù)指數(shù)作用,是毒物集中在x=l1 處的吸入量,3）(r) 煙草的吸收作用,b, l1 線性作用,帶過(guò)濾嘴,不帶過(guò)濾嘴,結(jié)果分析,4) 與另一支不帶過(guò)濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉.,提高 -b 與加長(zhǎng)l2，效果相同

15、.,香煙過(guò)濾嘴的作用,在基本合理的簡(jiǎn)化假設(shè)下，用精確的數(shù)學(xué)工具解決一個(gè)看來(lái)不易下手的實(shí)際問(wèn)題.,引入兩個(gè)基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運(yùn)用物理學(xué)的守恒定律建立微分方程，構(gòu)造動(dòng)態(tài)模型.,對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行定性和定量分析，得到合乎實(shí)際的結(jié)論.,背景,世界人口增長(zhǎng)概況,中國(guó)人口增長(zhǎng)概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過(guò)快增長(zhǎng),5.6 人口預(yù)測(cè)和控制,做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào),建立人口數(shù)學(xué)模型,指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯1798年提出,常用的計(jì)算公式,x(t) 時(shí)刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng).,與常

16、用公式的一致,?,指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.,可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).,不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律.,不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程.,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長(zhǎng)模型邏輯斯蒂(Logistic)模型,人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x增加先快后慢,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),指數(shù)增長(zhǎng)模型,Logistic 模型的應(yīng)用,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增

17、長(zhǎng)規(guī)律(耐用消費(fèi)品的售量).,種群數(shù)量模型 (魚(yú)塘中的魚(yú)群, 森林中的樹(shù)木).,S形曲線,參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm .,模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào),指數(shù)增長(zhǎng)模型,阻滯增長(zhǎng)模型,由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用線性最小二乘法作參數(shù)估計(jì),例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)(百萬(wàn)),r =0.2022/10年，x0 =6.0450,模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào),指數(shù)增長(zhǎng)模型,阻滯增長(zhǎng)模型,r=0.2557/10年，xm =392.0886,指數(shù)增長(zhǎng)模型,阻滯增長(zhǎng)模型,模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口,誤差不到3%,與實(shí)際數(shù)據(jù)(2000年281.4)比較,=274.5,

18、模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào),為做模型檢驗(yàn)在參數(shù)估計(jì)時(shí)未用2000年實(shí)際數(shù)據(jù),模型應(yīng)用,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口,考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型,年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性.,只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移.,人口發(fā)展方程,F(r,t)人口分布函數(shù) (年齡r的人口),p(r,t)人口密度函數(shù),N(t)人口總數(shù),rm() 最高年齡,人口發(fā)展方程,一階偏微分方程,人口發(fā)展方程,定解條件,已知函數(shù)(人口調(diào)查),生育率(控制手段),生育率 f(t) 的分解,總和生育率,h生育模式,人口控制系統(tǒng),總和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反饋系

19、統(tǒng),滯后作用很大,輸入,輸入,輸出,反饋,人口指數(shù),1）人口總數(shù),2）平均年齡,3）平均壽命,t時(shí)刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間,4）老齡化指數(shù),控制生育率,控制 N(t)不過(guò)大,控制 (t)不過(guò)高,5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失,現(xiàn)象和 問(wèn)題,炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形 成圓形不透光區(qū)域.,不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐 漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失.,建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過(guò)程，分 析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系.,問(wèn)題分析,無(wú)窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過(guò)程， 用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化.,觀察到的煙霧消失與煙霧對(duì)光線的吸收、 以及儀器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān).,模型假設(shè),1）煙霧在無(wú)窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng) 的影響；擴(kuò)散服從擴(kuò)散定律.,2）光線穿過(guò)煙霧時(shí)光強(qiáng)的相對(duì)減少與煙霧 濃度成正比；無(wú)煙霧的大氣不影響光強(qiáng).,3）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分， 明暗界限由儀器靈敏度決定.,模型建立,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,擴(kuò)散定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位法向面積的流量q與濃度C的梯度成正比.,曲面積分奧氏公式,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,的微分形式，并利用積分中值定理,初始條件,Q炮彈釋放的煙霧總量, 單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù),對(duì)任意t, C的等值面是球面 x