1、目 錄0. 前言11. 線性二次最優(yōu)控制LQR基本理論12. 方案設計23. 軟件編程34. 系統(tǒng)調(diào)試和結果分析36. 結論及進一步設想6參考文獻6課設體會8直線一級倒立擺LQR控制器的設計姬曉龍 沈陽航空航天大學自動化學院摘要：在控制理論上倒立擺使許多抽象的概念可以直觀的表達出來。無論是在實踐還是理論上都具有深刻的意義?？梢杂美窭嗜辗椒ń＃O計倒立擺二次型最優(yōu)控制器，通過MATLAB仿真和實際系統(tǒng)實驗，實現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定控制。建立模型，確定參數(shù)，進行控制算法設計、系統(tǒng)調(diào)試和分析等步驟實現(xiàn)。關鍵詞：二次型；倒立擺；穩(wěn)定控制0. 前言倒立擺的最初研究開始于20世紀50年代，由美國麻省理工學院

2、的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設計；而后人們有參照雙足機器人控制問題研究出二級倒立擺設備，從而提高了檢驗控制論和方法的能力，也拓寬了檢驗范圍。在控制理論上倒立擺使許多抽象概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以直觀的表現(xiàn)出來。同時由于倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為研究對象，并不斷從中發(fā)掘出新的控制理論和控制方法。課程設計要求：熟悉倒立擺實際控制系統(tǒng)；對倒立擺系統(tǒng)建模；進行控制算法設計；進行系統(tǒng)調(diào)試和分析；利用matlab高級語言編程，實現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定控制；實時輸出波形，得出結論。1. 線性二次最優(yōu)控制LQ

3、R基本理論LQR控制器是應用線性二次型最優(yōu)控制原理設計的控制器。它的任務在于，當系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或可線性化的，并且性能指標是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理為，由系統(tǒng)方程： 確定下列最佳控制向量的矩陣K： 使得性能指標達到最小值： 式中 Q 正定（或正半定）厄米特或?qū)崒ΨQ陣 R_為正定厄米特或?qū)崒ΨQ陣下面是最優(yōu)控制LQR控制原理圖：圖1 最優(yōu)控制LQR控制原理圖方程右端第二項是是考慮到控制能量的損耗而引進的，矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗

4、的相對重要性。并且假設控制向量u(t) 是無約束的。對線性系統(tǒng)：根據(jù)期望性能指標選取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反饋矩陣K的值。K=lqr(A,B,Q,R) 改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應效果，Q值越大（在一定范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾的的能力越強，調(diào)整時間越短。但是Q不能過大。2. 方案設計直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程：四個狀態(tài)量，分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出包括小車位置和擺桿角度。設計控制器使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達新的指定位置。假定全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)（4個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)

5、律的向量K,用MATLAB中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對應的K。Lqr函數(shù)允許選擇兩個參數(shù)R和Q，這兩個參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權重。假定R=1,Q=C*C.其中代表小車位置權重，而是擺桿角度的權重，輸入R是1。3. 軟件編程程序如下：clear; A= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B= 0 1 0 3; C= 1 0 0 0; 0 0 1 0; D= 0 0 ; Q11=1000; Q33=200; Q=Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) A

6、c = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),-);hold on; plot(T,X(:,2),-.);hold on; plot(T,X(:,3),.);hold on; plot(T,X(:,4),-) legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)運行程序可得K的值。4. 系統(tǒng)調(diào)試和結果分析根據(jù)方案設計結果，進行了設計電路的實際聯(lián)接。取=1，=1時，可得K = -1 -1.7855

7、 25.422 4.6849。此時系統(tǒng)的響應曲線如下圖：圖2 系統(tǒng)階躍響應曲線從圖中可以看出，響應的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，小車的位置沒有跟蹤輸入，而是反方向移動。當縮短穩(wěn)定時間和上升時間，可以發(fā)現(xiàn)：在Q矩陣中，增加使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。這里取=5000，=100，可得K =-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521,系統(tǒng)響應曲線如下：圖3 系統(tǒng)階躍響應曲線綜上,通過增大Q矩陣中的和，系統(tǒng)的穩(wěn)定時間和上升時間變短，超調(diào)量和擺桿的角度變化也同時減小。在simulink中建立直線一級倒立擺的模型如下圖所示：圖4 直線一級倒立擺L

8、QR 控制仿真模型輸入=1，=1時，得到的K = -1 -1.7855 25.422 4.6849，執(zhí)行仿真得到如下仿真結果：圖5 直線一級倒立擺LQR控制仿真結果1而輸入=5000，=100時，得到的K =-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521,執(zhí)行仿真得到如下仿真結果：圖6 直線一級倒立擺LQR控制仿真結果2在圖5、圖6中，car position和angel-pendulum分別代表小車位置曲線和擺桿角度曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，Q 矩陣中，增加使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小,增大和系統(tǒng)響應明顯明顯加快，但是對于實際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會引起

9、系統(tǒng)震蕩。6. 結論及進一步設想建立了一級倒立擺的數(shù)學模型，并設計了LQR控制器，用MATLAB實現(xiàn)了控制系統(tǒng)的仿真，得到了一級倒立擺各狀態(tài)量及控制量的響應曲線。由實驗結果可以看到，本次課設完成了要求，達到了目的。當然由于知識有限設計還有一些缺陷。參考文獻1 固高科技有限公司.固高倒立擺與自動控制原理實驗指導書M.深圳:固高科技有限公 司,2005年9月。2 鄒伯敏.自動控制理論M.北京:機械工業(yè)出版社，2003年3 劉豹.現(xiàn)代控制理論M.北京:機械工業(yè)出版社，2007年4 王仲民,孫建軍,岳宏.基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究J.工業(yè)儀表與自動化裝置.2 005年,3（6）:2832。5 吳曉燕,張雙選.MATLAB在自動控制中的應用M .西安：西安電子科技大學出版社,2006年。6 王士瑩,張峰,陳志勇,趙協(xié)廣.直線一級倒立擺的LQR控制器設計J.信息技術.2006年, 35（6）:9899。7 世界首例倒立擺實驗控制系統(tǒng)在我校試驗成功J.北京師范大學學報（自然科學版），2002，（10）:58.8 宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科學計算中的應用M,北京:清華大學出版社，2005 課設體會在課設過程中，我發(fā)現(xiàn)自己許多知識自己都還沒有掌握，而且欠缺一些