1、最新資料推薦第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法教學(xué)重點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)過程 ：一、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程ypyqy 0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中 p、 q 均為常數(shù)如果 y1、 y2 是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解那么 y C1y1 C2y2 就是它的通解我們看看能否適當(dāng)選取r 使 y erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將 yerx 代入方程ypyqy 0得(r 2 pr q)erx 0由此可見只要 r 滿足代數(shù)方程r

2、 2 pr q 0函數(shù) y erx 就是微分方程的解特征方程方程 r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0 的特征方程特征方程的兩個根r 1、r 2可用公式r1,2pp2 4q2求出特征方程的根與通解的關(guān)系(1) 特征方程有兩個不相等的實根r 1、 r 2 時函數(shù) y1er1x 、 y2er2 x 是方程的兩個線性無關(guān)的解這是因為函數(shù) y1r1x、 y2er2 x是方程的解y1er1x(r1r2) x不是常數(shù)e又er2xey2因此方程的通解為y C1er1xC2er2 x(2) 特征方程有兩個相等的實根r1 r 2 時 函數(shù) y1 er1x 、y2 xer1 x 是二階常系數(shù)齊次線性微

3、分1最新資料推薦方程的兩個線性無關(guān)的解這是因為y1 er1x 是方程的解又(xer1x )p(xer1x)q( xer1x)(2rxr 2 )er1xp(1xr )er1xqxer1x111er1x(2r1 p) xer1x (r12 pr1 q) 0所以 yxer1x也是方程的解y2xer1 xx 不是常數(shù)且2y1er1x因此方程的通解為y C1er1x C2 xer1x(3) 特征方程有一對共軛復(fù)根 r1, 2i 時 函數(shù) y e( i)x、y e(i ) x 是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解函數(shù) ye xcos x、ye xsin x 是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解函數(shù) y

4、1 e(i)x 和 y2e(i)x 都是方程的解而由歐拉公式得y1(i)xx(cos xi sinx)eey2e(i)xe x(cos xi sinx)y1y2xxe x cos x1 ( yy)2ecos212y1y22iexsinxe x sinx1 ( yy )2i12故 e xcos x、 y2 e xsin x 也是方程解可以驗證y1 e xcos x、 y2 e xsin x 是方程的線性無關(guān)解因此方程的通解為y e x(C1cos x C2sin x )求二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy 0 的通解的步驟為第一步寫出微分方程的特征方程2prq 0r第二步求出特征方程的兩個根r

5、 1、 r2第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況寫出微分方程的通解例 1求微分方程 y 2y 3y0 的通解解 所給微分方程的特征方程為22r3 0 即 (r 1)(r 3)0r其根 r11r23 是兩個不相等的實根因此所求通解為y C1e x C2e3x例 2 求方程 y2yy 0 滿足初始條件y|x 0 4、 y |x 02 的特解2最新資料推薦解 所給方程的特征方程為r22r 1 0 即 (r 1) 2 0其根 r1 r 21 是兩個相等的實根因此所給微分方程的通解為xy (C1 C2x)e將條件 y|x 04 代入通解 得 C1 4從而y (4 C2x)e將上式對x 求導(dǎo)得xy( C2

6、 4 C2x)e x再把條件 y |x 02 代入上式得 C2 2 于是所求特解為x(4 2x)e x例 3求微分方程 y 2y5y0 的通解解 所給方程的特征方程為25 0r2r特征方程的根為r 11 2i r2 12i是一對共軛復(fù)根因此所求通解為y ex(C1cos2x C2sin2x)n 階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y(n ) p1y( n 1) p2 y(n 2)pn 1y pny 0稱為 n 階常系數(shù)齊次線性微分方程其中 p1p2pn 1pn 都是常數(shù)二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的 n 次多項

7、式L(D)=D np1Dn 1 p2 D n 2pn 1 Dpn則 n 階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(D n p1Dn 1p2 D n 2pn 1Dpn)y 0 或 L(D) y 0注 D 叫做微分算子D0y y Dy yD2y yD3y yDny y(n)分析令 y erx則L(D) yL(D) erx (r n p1r n 1p2 rn 2pn 1rpn)erxL( r)erx因此如果 r 是多項式 L(r)的根則 y erx 是微分方程 L(D) y 0的解n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程L(r ) rnn 1n 2p1rp2 rpn 1 r pn 0稱為微分方程L(D) y 0

8、 的特征方程特征方程的根與通解中項的對應(yīng)單實根 r對應(yīng)于一項Cerx3最新資料推薦一對單復(fù)根 r 1 2i 對應(yīng)于兩項e x(C1cos x C2sin x)k 重實根 r 對應(yīng)于 k 項 erx(C1 C2xCk xk 1)一 對 k重復(fù)根 r1 2i 對應(yīng)于2k 項x(C1 C2xk 1k 1eCk x )cos x ( D1 D2 xDk x )sin x例 4 求方程 y(4) 2y 5y 0 的通解解這里的特征方程為r42r35r2 0即 r 2(r 2 2r5) 0它的根是 r1r 20 和 r 34 1 2i因此所給微分方程的通解為y C1 C2 x ex(C3cos2x C4s

9、in2x)例 5 求方程 y(4)4y 0 的通解其中0解這里的特征方程為440r它的根為 r(1 i)r(1i)1,223,42因此所給微分方程的通解為yxxCsinx)excos xCsin x)e 2 (C cos2 (C12223242二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程方程ypy qy f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中 p、 q 是常數(shù)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解 y Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y y*( x) 之和yY( x) y*( x)當(dāng) f(x)為兩種特殊形式時方程的特解的求法一、 f(x) Pm(x

10、)e x 型當(dāng) f(x)Pm(x)e x 時可以猜想方程的特解也應(yīng)具有這種形式因此 設(shè)特解形式為y* Q(x)e x將其代入方程得等式Q(x) (2 p)Q (x) ( 2pq)Q(x)Pm(x)(1) 如果不是特征方程2prq 0的根 則2q 0 要使上式成立Q(x)應(yīng)設(shè)為 m 次多rp項式Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1xbm通過比較等式兩邊同次項系數(shù)可確定 b0 b1bm并得所求特解4最新資料推薦y*Qm(x)e x(2) 如果是特征方程r2prq0 的單根則2 pq 0 但 2p 0要使等式Q(x) (2p)Q (x)(2pq)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為 m 1

11、 次多項式Q(x)xQ m(x)Qm(x) b0xmb1xm 1bm 1x bm通過比較等式兩邊同次項系數(shù)可確定 b0 b1bm并得所求特解y*xQ m(x)e x(3) 如果是特征方程r2prq0 的二重根 則 2pq 0 2 p0要使等式Q(x) (2p)Q (x)(2pq)Q(x) Pm(x)成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為 m2 次多項式Q(x)x2Qm(x)mm 1bm 1x bmQm(x) b0xb1x通過比較等式兩邊同次項系數(shù)可確定 b0 b1bm并得所求特解y*x2Qm(x)e x綜上所述我們有如下結(jié)論如果 f(x) Pm(x)e x則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y pyqyf( x)有形

12、如y*xk Qm(x)e x的特解其中 Qm(x)是與 Pm( x)同次的多項式而 k 按不是特征方程的根、 是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、 1 或 2例 1 求微分方程 y 2y3y3x 1 的一個特解解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且函數(shù) f( x)是 Pm(x)e x 型 (其中 Pm(x) 3x 10)與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y2y3y 0它的特征方程為2r2r 3 0由于這里0 不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y* b0x b1把它代入所給方程得3b0 x 2b0 3b1 3x 1比較兩端x 同次冪的系數(shù)得3b033b032b03b112b03b115最新資料推

13、薦由此求得b01b11于是求得所給方程的一個特解為31y*x例 2 求微分方程 y 5y 6y xe2x 的通解解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且 f(x)是 Pm( x)e x 型 (其中 Pm(x) x 2)與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y 5y6y 0它的特征方程為r2 5r6 0特征方程有兩個實根r 1 2 r 2 3于是所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為2x3xY C1eC2e由于2 是特征方程的單根所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y* x(b0x b1)e2x把它代入所給方程得2b0 x 2b0 b1 x比較兩端x 同次冪的系數(shù)得2b012b0 1 2b0 b1 02b0 b1 0由此求得

14、b01b11于是求得所給方程的一個特解為2y*x(1 x1)e2x2從而所給方程的通解為y C1e2x C2 e3x1 (x22x)e2 x2提示y* x(b0x b1)e2x (b0x2b1x) e2x22x(2 b0xb1)22x(b0xb1x)e ( b0x b1x) 2e(b0x2b1x)e2x2b02(2b0x b1) 2(b0x2 b1x) 22e2xy* 5y* 6y*( b0x2 b1x)e2x 5( b0x2 b1x)e2x 6( b0x2b1x)e2x2b02(2b0x222x22 x22xb1) 2 (b0xb1x) 2 e 5(2 b0xb1) (b0xb1x) 2e6

15、(b0xb1x)e2b04(2b0xb1) 5(2b0xb1)e2x 2b0x 2b0b1e2x方程 ypyqy e xPl (x)cosx Pn (x)sinx的特解形式6最新資料推薦應(yīng)用歐拉公式可得e xPl(x)cosx Pn(x)sinxexeixe ixPn(x)eixe ix Pl( x)22i1 P (x) iP (x)e(i) x1 P( x)iP (x)e(i )x2ln2lnP(x)e(i )x P( x)e(i )x其中 P( x)1(PlPni )P (x)1(PlPni )而 m max l n22設(shè)方程 ypyqy( i)x的特解為k(i)xP(x)ey1* x Q

16、m(x)e則 y1* xkQm(x)e( i) 必是方程 ypyqy P(x)e( i) 的特解其中 k 按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0 或 1于是方程ypyqyxxPn(x)sinx 的特解為e Pl(x)cosy*xkQ (x)e(i) xxkQ (x)e(i) xmmxkexQ(x)(cosxi sinx)Q(x)(cosxi sin x)mmxk e xR(1)m( x)cosxR(2)m(x)sinx綜上所述我們有如下結(jié)論如果 f(x) e x Pl(x)cosx Pn(x)sinx則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqy f(x)的特解可設(shè)為y* xk e xR(1)

17、m(x)cosx R(2)m(x)sinx其中 R(1)m(x)、R(2)m(x) 是 m 次多項式m max l n而 k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0 或 1例 3 求微分方程 y y xcos2x 的一個特解解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且 f(x)屬于 e xPl(x)cos x Pn(x)sinx型 (其中 02 Pl(x) x Pn(x) 0）與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y y0它的特征方程為r2 10由于這里i2i 不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x把它代入所給方程得7最新資料推薦( 3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x比較兩端同類項的系數(shù)得a1 b0 c 0d439于是求得一個特解為y1xx4s