1、2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧）數(shù)學（文科）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2014年遼寧，文1，5分】已知全集，則集合（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故選D【點評】本題考查了集合的并集、補集運算，利用數(shù)軸進行數(shù)集的交、并、補運算是常用方法（2）【2014年遼寧，文2，5分】設復數(shù)滿足，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由，得：，故選A【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，是基礎的計算題（3）【2014年遼寧，文3，5分】已知，則（ ）（A） （B

2、） （C） （D）【答案】D【解析】，故選D【點評】本題考查指數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)，在涉及比較兩個數(shù)的大小關(guān)系時，有時借助于0、1這樣的特殊值能起到事半功倍的效果，是基礎題（4）【2014年遼寧，文4，5分】已知表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則【答案】B【解析】A：若，則，相交或平行或異面，故A錯；B若，則，故B正確；C若，則或，故C錯；D若，則或或，故D錯，故選B【點評】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟這些定理是迅速解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型（5）【2

3、014年遼寧，文5，5分】設是非零向量，已知命題：若，則；命題：若，則，則下列命題中真命題是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】若，則，即，則不一定成立，故命題為假命題，若，則，故命題q為真命題，則，為真命題，都為假命題，故選A【點評】本題主要考查復合命題之間的判斷，利用向量的有關(guān)概念和性質(zhì)分別判斷，的真假是解決本題的關(guān)鍵（6）【2014年遼寧，文6，5分】若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形中，其中， ，則質(zhì)點落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故選B【點評】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，求出對應的圖形的面積是解決本題的關(guān)

4、鍵，比較基礎（7）【2014年遼寧，文7，5分】某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底 面半徑為1，高為2，幾何體的體積，故選C【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應的幾何量是解題的關(guān)鍵（8）【2014年遼寧，文8，5分】已知點在拋物線：的準線上，記的焦點為，則直線的斜率為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】點在拋物線：的準線上，直線的斜率為，故選C【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線斜率的計算，考查學生

5、的計算能力，屬于基礎題（9）【2014年遼寧，文9，5分】設等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】等差數(shù)列的公差為，又數(shù)列為遞減數(shù)列，故選D【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運算法則等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題（10）【2014年遼寧，文10，5分】已知為偶函數(shù)，當時，則不等式的解集為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】當，由，即，則，即，當時，由， 得，解得，則當時，不等式的解為，（如圖）則由為偶函數(shù)，當時，不等式的解為，即不等式的解為或，則由或，解得或，即不等式的解集為或，故選A【點

6、評】本題主要考查不等式的解法，利用分段函數(shù)的不等式求出時，不等式的解是解決本題的關(guān)鍵（11）【2014年遼寧，文11，5分】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)（ ）（A）在區(qū)間上單調(diào)遞減 （B）在區(qū)間上單調(diào)遞增 （C）在區(qū)間上單調(diào)遞減 （D）在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象所對應的函數(shù)解析式為：即由，得，取，得所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選B【點評】本題考查了函數(shù)圖象的平移，考查了復合函數(shù)單調(diào)性的求法，復合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”原則，是中檔題（12）【2014年遼寧，文12，5分】當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

7、（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】當時，不等式對任意恒成立；當時，可化為，令，則（*），當時，在上單調(diào)遞增，；當時，可化為，由（*）式可知，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，即實數(shù)的取值范圍是，故選C【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集；若按照參數(shù)討論則取并集第II卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）【2014年遼寧，文13，5分】執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，若輸入，則輸出 【答案】【解析】由程序框圖知：算法的功能是求的值，當輸入時，跳出循環(huán)的值為4，輸出【點

8、評】本題考查了當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵（14）【2014年遼寧，文14，5分】.已知，滿足條件，則目標函數(shù)的最大值為 【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，得：由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，即最大【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題（15）【2014年遼寧，文15，5分】已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則 【答案】12【解析】如圖：的中點為，易得，在橢圓上， ，【點評】本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質(zhì)的應用，基本知

9、識的考查（16）【2014年遼寧，文16，5分】對于，當非零實數(shù)滿足，且使最大時，的最小值為 【答案】【解析】，由柯西不等式得，故當最大時，有，當時，取得最小值為【點評】本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）【2014年遼寧，文17，12分】在中，內(nèi)角，的對邊，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值解：（1）由得又，所以由余弦定理得又因為，所以解得或因為， （2）在中，由正弦定理得，所以因為，所以角為銳角【點評】此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵（18

10、）【2014年遼寧，文18，12分】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（2）已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率0.1000.0500.0102.7063.8416.635附：，解：（1）由題意，有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”（2）從這5

11、名學生中隨機抽取3人，共有種情況，有2名喜歡甜品，有種情況，至多有1人喜歡甜品的概率【點評】本題考查獨立性檢驗的應用，考查古典概型及其概率計算公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題（19）【2014年遼寧，文19，12分】如圖，和所在平面互相垂直，且，、分別為、的中點（1）求證：EF平面BCG；（2）求三棱錐DBCG的體積附：椎體的體積公式，其中為底面面積，為高解：（1），為的中點，同理，平面，平面 （2）在平面內(nèi)，作，交的延長線于，和所在平面互相垂直，平面，為的中點到平面的距離是長度的一半在中，【點評】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵（20）【2014年遼寧，文20，

12、12分】圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為（如圖）（1）求點的坐標；（2）焦點在軸上的橢圓過點，且與直線：交于、兩點，若的面積為2，求的標準方程解：（1）解法一： 設圓半徑，點上下兩段線段長分別為，由射影定理得：，三角形面積， 僅當時，取最大值，這時解法二：設切點的坐標為，且，則切線的斜率為，故切線方程為，即此時，切線與軸正半軸，軸正半軸圍成的三角形的面積再根據(jù)，可得當且僅當，故點的坐標為（2）設橢圓方程，橢圓過點得：，則到直線 的距離由題得：，解得由弦長公式得，即把點代入方程得：，由得，整理得，代入上式得，即，解得，或，（舍），所以橢圓方程為：【點評】本

13、題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于難題（21）【2014年遼寧，文21，12分】已知函數(shù)，證明：（1）存在唯一，使； （2）存在唯一，使，且對（1）中的解：（1），在上有零點， ，在上單調(diào)遞增（2）， ，設，則與的零點同，由（1）知，在上只有一個零點，且在點左負右正 在點左側(cè)遞減，在點右側(cè)遞增，且，故，存在唯一，使得，即，即，所以在上存在唯一零點，且【點評】本題考查零點的判定定理，涉及導數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時

14、，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑（22）【2014年遼寧，文22，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，交圓于、兩點，切圓于，為上一點且，連接并延長交圓于點，作弦垂直，垂足為 （1）求證：為圓的直徑；（2）若，求證：解：（1）為圓的切線， 又，為直徑（2）連接，在，由（1） 【點評】本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查直徑所對的圓周角為直角，屬于中檔題（23）【2014年遼寧，文23，10分】（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線（1）寫出的參數(shù)方程；（2）設直線與的交點為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極坐標建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程解：（1）設為圓上任意一點，按題中要求變換后的點根據(jù)題意得，所以由得故的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由解得或不妨設