1、31.2用二分法求方程的近似解,零點判定定理： 對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法,典 例 導 悟 類型一用二分法求方程的近似解 例1借助計算器或計算機，用二分法求方程ln(2x6)23x，在區(qū)間(1,2)內的近似解(精確度0.1) 解原方程即ln(2x6)23x0，令f(x)ln(2x6)23x，用計算器或計算機作出x，f(x)的對應值表如下：,由上表可以知道f(1)f(2)0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(1,2)內有零點x0. 取區(qū)間(1,2)的中點x

2、11.5， 用計算器可得f(1.5)1.00， 由于f(1)f(1.5)0，那么x0(1,1.5)， 再取(1,1.5)的中點x21.25，,用計算器可得f(1.25)0.19， 由于f(1.25)f(1.5)0， 那么x0(1.25,1.5)， 同理，可得x0(1.25,1.375)，x0(1.25,1.3125) 由于|1.31251.25|0.1，所以方程ln(2x6)23x在區(qū)間(1,2)內的近似解為1.3125.,2用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟 (1)確定區(qū)間a，b，驗證f(a)f(b)0，給定精確度； (2)求區(qū)間(a，b)的中點x1； (3)計算f(x1)；,若f(x1

3、)0，則x1就是函數(shù)的零點； 若f(a)f(x1)0，則令bx1(此時零點x0(a，x1)； 若f(x1)f(b)0，則令ax1(此時零點x0(x1，b) (4)判斷是否達到精確度：即若|ab|，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)(4),思考感悟 能否用二分法求任何函數(shù)(圖象是連續(xù)的)的近似零點？ 提示：不能看一個函數(shù)能否用二分法求其零點關鍵要看是否具備應用二分法的條件，即函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且在該零點左右函數(shù)值異號,自 我 檢 測 1以下函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點的是() 答案：D,2下面關于二分法的敘述，正確的是() A用二分法可求函數(shù)所有零點的近似值 B用二分

4、法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位 C二分法無規(guī)律可循，無法在計算機上完成 D只有在求函數(shù)零點時才用二分法 答案：B,答案：B,4用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經計算f(0)0，可得其中一個零點x0_. 解析：f(0)0， f(0)f(0.5)0， 故f(x)在(0,0.5)內必有零點 答案：(0,0.5),解：f(2)f(4)0，x0(2,3),變式體驗1利用計算器，求方程x3lgx18的近似解(精確度0.1) . 解：這個解記為x0， 設f(x)18x3lgx，用計算器計算，得 f(2)0，f(2.5)0，f(3)0，f(2.75)0，則x0(2.5,2.7

5、5),f(2.5)0，f(2.625)0，f(2.625)0，則x0(2.5625,2.625) 由于|2.56252.625|0.1，所以原方程的近似解為x02.5625.,類型二用二分法求函數(shù)零點的近似值 例2判斷函數(shù)yx3x1在區(qū)間(1,1.5)內有無零點，如果有，求出一個近似零點(精確度0.1) 分析由題目可獲取以下主要信息： 判斷函數(shù)在區(qū)間(1,1.5)內有無零點，可用根的存在性定理判斷； 精確度0.1解答本題在判斷出在(1,1.5)內有零點后可用二分法求解,解因為f(1)10，且函數(shù)yx3x1的圖象是連續(xù)的曲線，所以它在區(qū)間(1,1.5)內有零點，用二分法逐次計算，列表如下：,由于

6、|1.343751.3125|0.031250.1， 所以函數(shù)的一個近似零點可取1.3125.,變式體驗2求函數(shù)f(x)x25的負零點(精確度0.1) 解：由于f(2)10， 故取區(qū)間(3，2)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如圖：,由于|2.25(2.1875)|0.06250.1， 所以函數(shù)的一個近似負零點可取2.25.,類型三二分法的實際應用 例3一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點，如果線路不通的原因是由于焊接點脫落所致，要想檢驗出哪一處焊接點脫落，問運用二分法至多需要檢測的次數(shù)是多少？,解對焊接點一一檢測很麻煩，當然也是不需要的如圖1所示，只需選線路AB的中點C，然

7、后判斷出焊接點脫落處所在的線路是AC還是BC，然后依次循環(huán)上述過程即可很快檢測出焊接點脫落的位置根據(jù)二分法的思想，具體分析如下： 第1次取中點把焊接點數(shù)減半為64232個， 第2次取中點把焊接點數(shù)減半為32216個， 第3次取中點把焊接點數(shù)減半為1628個，,第4次取中點把焊接點數(shù)減半為824個， 第5次取中點把焊接點數(shù)減半為422個， 第6次取中點把焊接點數(shù)減半為221個， 所以至多需要檢測6次 點評本題實際上是二分法思想在實際問題中的應用，通過取區(qū)間(或線路)的中點，依次使區(qū)間的長度(或焊接點個數(shù))減半，就逐步逼近了函數(shù)的零點(或焊接點脫落處)，從而使問題得到解決,變式體驗32008年初我

8、國南方遭遇了50年不遇的雪災雪災發(fā)生后，停水斷電，交通受阻一日，某市A地到B地的電話線路發(fā)生故障，這是一條10 km長的線路，每隔50 m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？,解：可以利用二分法的思想進行方案的設計 如圖2，可首先從中點C開始查起，用隨身攜帶的工具檢查，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段， 再到BC段中點D檢查，若CD段正常，則故障在BD段， 再到BD段中點E檢查，如此這般，每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短一半，經過7次查找，即可將故障范圍縮小到50100 m之間，即可容易找到,思 悟 升 華 1求函數(shù)零點的近似值時，所要求的精確度不同，得到的結果也不相同，精確度為，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，若其長度小于，即認為已達到所要求的精確度，可停止計算，此時區(qū)間內的任意值可作為零點的近似值；否則應繼續(xù)計算，直到|ab|為止,2用二分法求函數(shù)零點的近似值時，最好是將計算過程中所得到的各個區(qū)間、中點坐標，區(qū)間中點的函數(shù)值等列在一個表格中，這樣可以更清楚地發(fā)現(xiàn)零點所在區(qū)間,3用二分法求出的零點一般是零點的近似值，但并不是所有函數(shù)