1、1.3 函數(shù)的基本性質(zhì),1.3.1函數(shù)的單調(diào)性,一、函數(shù)單調(diào)性定義,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),1增函數(shù),一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) ,2減函數(shù),2.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；,注意：,1.必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1，x2；當(dāng)x1f(x2) 分別是增函數(shù)和減函數(shù).,例1.下圖

2、是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個(gè)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)？,解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有,其中y=f(x)在區(qū)間-5, -2), 1, 3)上是減函數(shù)， 在區(qū)間-2, 1), 3, 5 上是增函數(shù).,-5, -2), -2,1), 1, 3), 3, 5.,二.典例精析,例2、物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。,證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1V2，則,由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0,又k0,于是,所

3、以，函數(shù) 是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.,取值,定號(hào),結(jié)論,例3.證明：函數(shù) 在 上是增函數(shù).,證明：在區(qū)間 上任取兩個(gè)值 且,，且,所以函數(shù) 在區(qū)間上 是增函數(shù).,思考：如何證明一個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增的呢？,取值,判號(hào),定論,三、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟,取值： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差：f(x1)f(x2)； 變形：（因式分解和配方等）乘積或商式； 定號(hào)：（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論：（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）,利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：,四、歸納小結(jié),3.函數(shù)單調(diào)性的證明，證明一般分五步

4、： 取 值 作 差 化簡(jiǎn) 判號(hào) 下結(jié)論,2.會(huì)利用函數(shù)圖像找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,1.函數(shù)單調(diào)性的定義,Monday, September 28, 2020,（二）,1.3.1單調(diào)性與最大(小)值,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?如果存在實(shí)數(shù)M滿足:,(1)對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M.,則稱M是函數(shù)的最大值(maximum value),1.函數(shù)的最大值：,構(gòu)建數(shù)學(xué),上面我們從直觀的感受知道了最值的概念,下面給出嚴(yán)格的定義.,2.函數(shù)最大值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的,即對(duì)于任意的xI,都有f(x)M,注意:1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值,即存在x0I

5、,使得f(x0) = M；,(1)對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M.,則稱M是函數(shù)的最小值(minimum value),設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?如果存在實(shí)數(shù)M滿足:,2.函數(shù)的最小值：,函數(shù)的最大值從圖象上看是在指定的區(qū)間里最高位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo),好象有一種一覽眾山小的情景.同樣函數(shù)的最小值從圖象上看是在指定的區(qū)間里最低位置對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，好像有一種坐井觀天的情景.,想一想,請(qǐng)大家思考, 是否每個(gè)函數(shù)都有最大值,最小值？舉例說明.,一個(gè) 函數(shù)不一定有最值.,有的函數(shù)可能只有一個(gè)最大(或小)值.,如果一個(gè)函數(shù)存在最值，那么函數(shù)的最值都是唯一的,但取最

6、值時(shí)的自變量可以有多個(gè).,歸納總結(jié),例1.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂. 如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為 那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m)?,數(shù)學(xué)運(yùn)用,例1.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂. 如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為 那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m)?,解:作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象.,則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳

7、時(shí)刻,縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.,數(shù)學(xué)運(yùn)用,由二次函數(shù)的知識(shí),對(duì)于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:,答:煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29 m.,例1.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂. 如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為 那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m)?,函數(shù)有最大值,【1】求函數(shù)y=x2-2x-1的值域和最值. (1) x0, 3 (2) x(2, 4 (3) x-2, -1,ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.,值域-2,2,ym

8、ax=f(4)=7.,值域(-1,7,ymax=f(-2)=7.,值域2,7,ymin=f(-1)=2,練一練,例2.求函數(shù) 在區(qū)間2，6上的最大值和最小值,解:設(shè)x1, x2是區(qū)間2,6上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1x2,則,由20,(x1-1)(x2-1)0,于是,因此,函數(shù) 在區(qū)間2,6上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值.,所以,函數(shù) 是區(qū)間2,6上的減函數(shù).,當(dāng)x=2時(shí)取最大值,當(dāng)x=6時(shí)取最小值,即,【2】已知函數(shù) 求函數(shù)的最大值和最小值,練一練,【3】在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-,-2上遞減,在-2,+)上遞增,則f(x)在1,2上的值域_.,21,49,練一練,例3.

9、某種商品進(jìn)貨單價(jià)為40元,按單價(jià)每個(gè)50元售出,能賣出500個(gè).如果零售價(jià)在50元的基礎(chǔ)上每上漲1元,其銷售量就減少10個(gè),問零售價(jià)上漲到多少元時(shí),出售這批貨物能取得最高利潤(rùn).,分析:利潤(rùn)=(零售價(jià)-進(jìn)貨單價(jià))銷售量.,解:設(shè)利潤(rùn)為y元,零售價(jià)上漲了x元, 則 y=(50+x -40)(500-10 x),(其中0x50),即零售價(jià)上漲到70元時(shí),這批貨物能取得最高利潤(rùn).最高利潤(rùn)為9000元.,0x50, x =20時(shí),y有最大值., ymax= 9000.,課堂小結(jié),1.函數(shù)的最大(小)值的定義及幾何意義,2.三類函數(shù)的最值的求法,利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值.,利用圖象

10、求函數(shù)的最大(小)值.,利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b).,函數(shù)在其定義域上的最大值,其幾何意義是圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo);最小值為圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).,1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最 大(小)值,2. 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值,3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b);,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞增則函數(shù)

11、y=f(x)在x=b處有最小值f(b).,利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法,習(xí)題課,（三）,1.3.1單調(diào)性與最大(小)值,在 上是增函數(shù) 在 上是減函數(shù),在 上是增函數(shù) 在 上是減函數(shù),在(-,+)上是減函數(shù),在(-,+)上是增函數(shù),一次函數(shù)y=kx+b(k0),1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;,2.判斷函數(shù)的單調(diào)性(證明);,5.求函數(shù)的最值或值域,3.比較函數(shù)的大小,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,4.求參數(shù)的取值范圍,【例1】函數(shù) y=x2 -2|x|-3 的單調(diào)遞增區(qū)間是_;,-1,0,1,+),-2,1,-1,一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,【1】 求函數(shù) y=|x+1|1x| 的單調(diào)區(qū)間.,解:由 y

12、= | x + 1 |1x |,知,故函數(shù)的增區(qū)間為1, 1.,練一練,【2】畫出函數(shù)y = |x2-2x3|的圖象.,解:當(dāng) x2-2x-30 ,即 x 1 或 x3 時(shí),y = x2-2x3,=( x-1)24.,當(dāng) x2-2x30,即 1x3時(shí),y =(x2-2x-3),=(x-1)2+4.,【3】求函數(shù)y=2|x-1|-3|x|的最大值.,解:(1)當(dāng)x0時(shí),y=-2(x-1)+3x=x+2;,(2)當(dāng)0 x1時(shí),y=-2(x-1)-3x=-5x+2;,(3)當(dāng)x1時(shí),y=2(x-1)+3x=-x-2.,備課資料,1.函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為_.,2.函數(shù)y=|2x-1|的單調(diào)增區(qū)間是_.

13、,鞏固練習(xí),【例2】證明函數(shù) 在,上是減函數(shù).,二、判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性,證明：任取,因此 在 上是減函數(shù).,【例2】證明函數(shù) 在,二、判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性,上是減函數(shù).,另解:,向上平移,向左平移,2 個(gè)單位,3個(gè)單位,所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是,練一練,【1】寫出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,例3.已知函數(shù) 對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有 比較f(1), f(2), f(3)的大小.,三、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,【1】已知函數(shù)f(x)在(0,+)上是減函數(shù),則 的大小關(guān)系為_.,練一練,1.設(shè)函數(shù)y=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間2,+)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解:函數(shù)y=x2+2(a-1

14、)x+2的對(duì)稱軸方程為x=1-a,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是1-a,+), 2,+)是1-a,+)的一個(gè)子集, 1-a2即a-1.,即所求的實(shí)數(shù)取值范圍是a-1.,由二次函數(shù)性質(zhì)知,四、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,【1】函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-,6內(nèi)遞減,則a的取值范圍是( ) A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3,D,【2】在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-,-2上遞減,在-2,+)上遞增,則f(x)在1,2上的值域_.,21,39,練一練,【3】已知f(x)是R上的增函數(shù), 若a+b0,則有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).,證明:由a+b0,得a-b,

15、b-a.,又因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù), f(a) f(-b), f(b)f(-a), ,+得f(a)+f(b) f(-a)+f(-b).,練一練,分析:設(shè),則,確定 正負(fù)號(hào)的關(guān)鍵,是確定,的正負(fù)號(hào).,由于x1, x2在同一區(qū)間內(nèi),要使 則需,要使 則需,例5.求函數(shù) 的最大值.,五、求函數(shù)的最大(小)值或值域,例5.求函數(shù) 的最大值.,解:任取x1, x2 , x1, x22,4,且x1 x2,當(dāng) 時(shí),所以函數(shù)f(x)在2,4上是減函數(shù).,同理函數(shù)f(x)在4,10上是增函數(shù).,五、求函數(shù)的最大(小)值或值域,解：函數(shù),在2,4上是減函數(shù).,所以f(x)在2,4上有最大值,函數(shù),在4,10上

16、是增函數(shù).,所以f(x)在4,10上有最大值,所以函數(shù)f(x)在2,10上的最大值是,例.函數(shù)f(x)是定義在(0,+)上的遞減函數(shù),且f(x) f(2x-3),求x的取值范圍.,解: 函數(shù)f(x) 在(0,+)上為減函數(shù),x的取值范圍是.,解之, 得,六、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式,【例】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值.,解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 當(dāng)a2時(shí),當(dāng)2a4 時(shí)，,當(dāng)a4時(shí), f(x)min=f(2)=64a;,f(x)在 2,4 上是增函數(shù), f(x)min=f(a)=2a2.,f(x)在2,4上是減函數(shù)., f(x)min=f(4) = 1

17、88a.,七、有關(guān)最值討論題,課堂小結(jié),1.函數(shù)單調(diào)性的定義：,圖象法,定義法,2.函數(shù)單調(diào)性的判定：,3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：,(1)設(shè)元:對(duì)任意x1,x2D,且x1x2 (2)作差:f(x1)-f(x2) (3)變形 (4)判號(hào) (5)定論,*求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,若函數(shù)f(x),g(x)在給定的區(qū)間I上具有單調(diào)性, (1)k0時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=kf(x)+b具有相同的單調(diào)性； (2)若f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí),函數(shù)f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性. (3)若函數(shù)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù). (4)若f(x)0,g(x)0,且f(x

18、)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)也是增(減)函數(shù);若f(x)0,g(x)0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)是減(增)函數(shù).,4、單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律總結(jié):,復(fù)合函數(shù)：,y=fg(x),令 u=g(x),則 y=f(u),內(nèi)函數(shù),外函數(shù),y=fg(x),原函數(shù),以x為自變量,以u(píng)為自變量,以x為自變量,5、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論：,當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)同增同減時(shí),原函數(shù)增;,當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)一增一減時(shí),原函數(shù)減.,函數(shù)的奇偶性,書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無 崖 苦 作 舟,少 壯 不 努 力 ，老 大 徒 傷 悲,成功=艱苦

19、的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話,引 例,1.已知函數(shù)f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并畫出它的圖象,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2),f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1),f(-x)=(-x)2=x2 f(-x)=f(x),思考 :(1)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？ (2)從解析式上如何體現(xiàn)上述特征？,偶函數(shù)的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=f (x),圖像特征:關(guān)于y軸對(duì)稱.,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)

20、(even function).,1. 偶函數(shù)的概念,2.已知f(x)=x3,畫出它的圖象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 f(-2)= - f(2),f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1),f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x),思考 : 通過練習(xí),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?,(-x,-y),(x,y),奇函數(shù)的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=-f (x),圖像特征:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那

21、么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function).,2.奇函數(shù)的概念,如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.,(1)奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立,即若f(x)為奇函數(shù), 則f(-x)=f(x)成立.若f(x)為偶函數(shù), 則f(-x)= f(x) 成立.,(2)判斷函數(shù)是否具有奇偶性.首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提,注意事項(xiàng),注意：,(1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).,(2)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是

22、，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱),(3)奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即 若f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)有成立.,(4)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.,注：1.奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,例1.判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù),（1）不是 （2）不是,例2. 函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù),則該函數(shù)的值域是_.,例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性,定義域?qū)ΨQ的非零常數(shù)函數(shù)僅是偶函數(shù),而零函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).,2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì):,(

23、2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù),.,奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于： 判斷函數(shù)的奇偶性. 簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫法,(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù).,如:f(x)為偶函數(shù),且其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),求方程f(x)=0的所有實(shí)根之和,例3.已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x22x,求當(dāng) x0時(shí),f(x)的解析式,并畫出此函數(shù)f(x)的圖象.,解:f(x)是奇函數(shù),f(-x)=f(x).,當(dāng)x0時(shí),f(x)=x22x,當(dāng)x0時(shí),-x0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 -f(x)= (x2+2x), f(x)=-x2-2x.,例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(