1、.抽象函數(shù)性質(zhì)綜述抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學生對于數(shù)學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關(guān)系的認識.函數(shù)的周期性、對稱性一般與抽象函數(shù)結(jié)合，綜合函數(shù)的其它性質(zhì)一起考查.函數(shù)的周期性要緊扣周期函數(shù)的定義. 要注意，函數(shù)的周期性只涉及到一個函數(shù).函數(shù)的對稱性比較復(fù)雜，要分清是一個函數(shù)的對稱性，還是兩個函數(shù)的對稱性；分清是軸對稱還是中心對稱 .一、基本定義1、定義1：（周期函數(shù)）對于函數(shù)f ( x) ，如果存在一個非零常數(shù)T ，使得當 x 取定義域的每一個值時，都有 f (xT)f ( x) ，那么，函數(shù)f (x)

2、 就叫做周期函數(shù) . 非零常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期 .2、定義2：（同一函數(shù)圖象的對稱性）若函數(shù)yf ( x) 圖象上任一點關(guān)于點P （或直線 l ）的對稱點仍在函數(shù) yf ( x) 的圖象上，則稱函數(shù)yf (x) 的圖象關(guān)于點P （或直線 l ）對稱 .3、定義3：（兩個函數(shù)圖象的對稱性）若函數(shù)yf ( x) 圖象上任一點關(guān)于點P （或直線 l ）的對稱點在函數(shù) yg( x) 的圖象上；反過來，函數(shù)y g ( x) 圖象上任一點關(guān)于點P （或直線 l ）的對稱點也在函數(shù)yf ( x) 的圖象上，則稱函數(shù)yf ( x) 與 yg(x)的圖象關(guān)于點P （或直線 l ）對稱 .二、關(guān)于周期性、

3、對稱性的幾個基本結(jié)論及證明1、若函數(shù) yf ( x) 的定義域為 R ，且 f (ax)f ( xb) 恒成立，則函數(shù)yf (x)是以 Tab 為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù) yf ( x) 的定義域為R ，且 f (ax)f (bx) 恒成立，則函數(shù)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xab2對稱；3、若函數(shù) yf ( x) 的定義域為R ，且 f (ax)f (b x) 恒成立，則函數(shù)y f ( x) 的圖象關(guān)于點( ab ,0) 對稱；2、若函數(shù) yf ( x) 的定義域為R，且 f (a x)f ( xb) 恒成立， 則函數(shù) yf (x)是以 T2(ab)為周期4的周期函數(shù)；5、若函數(shù) yf

4、( x) 的定義域為 R ，則函數(shù) yf (ax) 與 yf (bx) 的圖象關(guān)于直線 xba對稱；26、若函數(shù) yf ( x) 的定義域為 R ，則函數(shù) yf (ax) 與 yf (bx) 的圖象關(guān)于點 ( ba ,0) 對稱 .2略證： 1、Qf ( x a b) f ( xb)a f ( xb)bf ( x) ， 函數(shù) yf ( x) 是以 Tab 為周期的周期函數(shù) .2 、 函 數(shù) yf ( x) 圖 象 上 的 任 一 點 P(x0, y0 ) （ 滿 足 f ( x0 )a by0 ） 關(guān) 于 直 線 x的 對 稱 點 為2.Q(a b x0, y0 ) ，Qf (abx0 )f

5、(b x0 )af b(bx0 )f ( x0 ) y0點 Q 仍在函數(shù) yf ( x) 的圖象上，從而函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線xa b 對稱 .23 、 函 數(shù) yf (x) 圖 象 上 的 任 一 點 P( x0 , y0 ) （ 滿 足 f ( x0 )y0） 關(guān) 于 點 ( ab ,0)的 對 稱 點 為2Q(a b x0, y0 ) ，Qf ( a bx0 )f ( bx0 )af b(bx0 )f ( x0 )y0點 Q 仍在函數(shù) yf ( x) 的圖象上，從而函數(shù)y f (x) 的圖象關(guān)于點 (ab,0)對稱 .24、 Q f (x2a 2b)f ( xa2b)af (

6、xa2b)bf (x a b)f ( x b)af ( xb)bf (x) ,函數(shù) yf ( x) 是以 T2(a b) 為周期的周期函數(shù) .5、函數(shù) yf (ax) 圖象上的任一點P( x0 , y0 ) （滿足 f (ax0 )y0 ）關(guān)于直線xb a 的對稱點為2Q(b a x , y )，Qf b(bax0 )f ( ax0 )y000點 Q 在函數(shù) yf (bx) 的圖象上；反之函數(shù) yf (bx) 的圖象上任一點關(guān)于直線bax的對稱點2也在函數(shù) yf ( ax) 圖象上 . 從而函數(shù) yf (a x) 與 yf (bx) 的圖象關(guān)于直線bax對稱 .26 、 函 數(shù) yf (ax)

7、 圖 象 上 的 任一 點 P( x0 , y0 ) （ 滿 足 f (x0 )y0 ） 關(guān) 于 點 (ba ,0)的 對稱 點 為2Q(b a x0, y0) ，Qf b (bax0 )f (a x0 )y0點 Q 在函數(shù) yf (bx) 的圖象上；反之函數(shù)yf (bx) 的圖象上任一點關(guān)于點(ba ,0) 的對稱2點也在函數(shù) yf (ax) 圖象上 . 從而函數(shù) yf (ax) 與 yf (bx) 的圖象關(guān)于點(ba ,0) 對稱 .2三、關(guān)于周期性、對稱性的若干易混淆的常用結(jié)論1、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f ( x)f (x) ，則函數(shù) yf (x) 的圖象關(guān)于y 軸對稱；函數(shù) y

8、f ( x) 和函數(shù)y f ( x) 的圖象也關(guān)于 y 軸對稱 .2、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f ( x)f ( x) ，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)yf ( x) 和函數(shù)yf (x) 的圖象也關(guān)于原點對稱 .3、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f (x a)f (ax) ，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱； 而函數(shù) yf ( xa) 和函數(shù) yf (ax) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱 .4、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f(x a)f (a x)，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于原點對稱 . 而函數(shù) yf ( xa) 和函數(shù) yf (ax) 的圖象關(guān)于點

9、(a,0) 對稱 .5 、 若 函數(shù) yf (x) 滿 足 f(mx) f (m x) ， 則 函 數(shù) yf ( x) 的 圖 象 關(guān) 于直 線 xm 對 稱 ； 而 函 數(shù)yf (mx) 和函數(shù) y f (mx) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 .6 、 若 函 數(shù) yf (x) 滿 足 f (m x)f(m x) ， 則 函 數(shù) yf ( x) 的 圖 象 關(guān) 于 點 ( m,0) 對 稱 ； 而 函 數(shù)y f (m x) 和函數(shù) yf ( m x) 的圖象關(guān)于原點對稱 .7、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f (x)f (2bx)，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xb 對稱；函數(shù) yf (

10、x) 和函數(shù) yf (2bx) 的圖象也關(guān)于直線xb 對稱 .8、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f (x)f (2bx) ，則函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點(b,0)對稱； 函數(shù) yf ( x) 和函數(shù) yf (2bx) 的圖象也關(guān)于點 (b,0)對稱 .9、若函數(shù) yf ( x) 滿足 f (mx)f (xm) ，則函數(shù)yf ( x) 是以 T 2m 為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)y f ( x) 滿足 f ( mx)f (xm) ，則函數(shù) yf (x) 是以 T4m 為周期的周期函數(shù) .四、函數(shù)周期性與對稱性的關(guān)系1、定義在 R 上的函數(shù)f (x) , 若同時關(guān)于直線 xa和 xb( ab)

11、 對稱 , 即對于任意的實數(shù) x , 函數(shù) f ( x)同時滿足 f (ax)f (ax) ， f (bx)f (bx) ，則函數(shù) f(x) 是以 T2(ab) 為周期的周期函數(shù) .2、定義在 R 上的函數(shù)f (x) , 若同時關(guān)于點 ( a,0) 和點 (b,0)( ab) 對稱 , 即對于任意的實數(shù) x , 函數(shù) f ( x)同時滿足 f (ax)f (a x) ， f (bx)f (bx) ，則函數(shù) f ( x) 是以 T2( ab) 為周期的周期函數(shù) .3、定義在R 上的函數(shù)f ( x) ,若同時關(guān)于直線x a 和點 (b,0)( ab) 對稱 ,即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù)f (x)

12、 同時滿足 f (ax)f (ax) ，f (bx)f (bx) ，則函數(shù) f ( x) 是以 T4 a b 為周期的周期函數(shù) .略證：1、 Qf x2(ab)f a( xa2b)f a (xa2b) =f (2 bx)f b(bx)f b(bx)f ( x) ， 函數(shù) yf ( x) 是以 T2( ab) 為周期的周期函數(shù) .2、 3 同理可證 .五、函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關(guān)系1、定義在 R 上的函數(shù) f (x) , 若同時關(guān)于直線 x a 和 x2a 對稱 , 即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 同時滿足 f (a x)f (ax) ， f (2a x)f (2a x) ，則

13、函數(shù) f ( x) 是以 T 2a 為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù) .2、定義在 R 上的函數(shù) f ( x) , 若同時關(guān)于直線 x a 和點 (2 a,0) 對稱 , 即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 同時滿足 f (ax)f (a x) ， f (2ax)f (2ax) ，則函數(shù) f (x) 是以 T 4a 為周期的周期函數(shù)， 且是奇函數(shù) .3、定義在R 上的函數(shù) f (x) , 若同時關(guān)于點(a,0) 和直線 x2a 對稱 , 即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 同時滿足 f (ax)f (a x) ， f (2a x) f (2ax) ，則函數(shù) f ( x) 是以 T

14、4a 為周期的周期函數(shù)， 且是偶函數(shù) .4、定義在 R 上的函數(shù) f ( x) , 若同時關(guān)于點(a,0) 和點 (2 a,0) 對稱 , 即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 同時滿足 f (a x)f (a x) ， f (2ax)f (2ax) ，則函數(shù) f ( x) 是以 T 2a 為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù) .5、若偶函數(shù)f ( x) 關(guān)于直線 xa 對稱，即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 滿足 f (ax)f (a x) ，則f (x) 是以 T2a 為周期的周期函數(shù) .6、若偶函數(shù)f (x) 關(guān)于點 (a,0)對稱，即對于任意的實數(shù) x , 函數(shù) f ( x)

15、滿足 f (a x)f (ax) ，則 f ( x).是以 T4a 為周期的周期函數(shù) .7、若奇函數(shù)f ( x) 關(guān)于直線 x a 對稱，即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 滿足 f (ax)f (ax) ，則f (x) 是以 T4a為周期的周期函數(shù) .8、若奇函數(shù) f (x) 關(guān)于點 (a,0) 對稱，即對于任意的實數(shù)x , 函數(shù) f ( x) 滿足 f (ax)f (ax) ，則 f ( x)是以 T2a 為周期的周期函數(shù) .略證：1、由上述四中的第1點即可得函數(shù)f (x) 是以 T2a為周期的周期函數(shù) ,又 Q f ( x)f a(xa)f a(x a)f (2 ax)f (2

16、a x)f a (ax)f a(ax)f (x)函數(shù) yf ( x) 是偶函數(shù) .2、 3、 4同理可證 .5 、 6、7、 8 可利用上述四中的結(jié)論證得. 以上各條結(jié)論均可結(jié)合正弦、余弦函數(shù)為特例來加以理解 .六、其它結(jié)論1、若函數(shù) yf (xa) 為偶函數(shù)，則函數(shù)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線 xa 對稱 .2、若函數(shù) yf (xa) 為奇函數(shù)，則函數(shù)yf ( x) 的圖象關(guān)于點 (a,0) 對稱 .注：上述兩個結(jié)論可以通過圖象的平移來理解.、定義在R上的函數(shù) f ( x) 滿足 f (a x)f (ax) ，且方程 f ( x)0 恰有2n個實根，則這2n個實根3的和為 2na .4、定義在 R 上的函數(shù) yf ( x) 滿足 f ( ax)f (bx)c(a, b, c為常數(shù) ) ，則函數(shù) y f(x)的圖象關(guān)于點(a b, c)對稱 .22略證；任取 xR ，令 x1a x,x2b x，則 x1x2ab ， f (x1 )f (x2 )c ，由中點公式知點(x1, f (x1) 與點 (x2 , f (x2 ) 關(guān)于點 ( ab , c ) 對稱 . 由 x 的任意性，知函數(shù)yf ( x) 的圖22ab c象關(guān)于點 (,) 對稱 .5、能得出函數(shù)為周期函數(shù)的常見結(jié)論還有：函數(shù) yfx 滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x（其中 a 為常數(shù)） ,f xfxa